Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

algebra

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
21.03.2016
Размер:
432.01 Кб
Скачать
Предложение 1.

Глава XVII

Полилинейная алгебра

x 1: Дуальное пространство

1. Дуальное пространство. Дуальный базис

Пусть V векторное пространство над полем k. Само поле k тоже является векторным пространством над k. Как мы видели выше,

множество всех линейных отображений из одного векторного пространства в другое векторное пространство над тем же полем. В частности, векторным пространством над k является множество

всех линейных отображений из V в k; оно называется дуальным (или двойственным) к V пространством и обозначается V . Элементы про- странства V (то есть линейные отображения из V в k) называются линейными функционалами на V .

Пусть V конечномерное пространство над полем k, и пусть v1; : : : ; vn его базис. Для того, чтобы задать линейный функционал на V , достаточно указать его значения на базисных элементах. Для каждого i, 1 i n, обозначим через vi функционал, отоб-

ражающий vi в 1, а все остальные элементы базиса в 0. Таким

образом,

vi(vi) = 1; vi(vj) = 0 ïðè j 6= i:

Для любого базиса v1; : : : ; vn пространства V функционалы v1; : : : ; vn составляют базис дуального пространства V .

Этот базис называется дуальным к базису v1; : : : ; vn.

 

 

 

 

 

n

 

 

Доказательство. Пусть линейная комбинация

ajvj

функциона-

 

 

 

 

 

=1

 

 

ëîâ v

; : : : ; v

n

является нулевым функционалом (ajP; : : : ; a

n 2

k). Тогда

1

 

 

 

1

 

для любого i, 1 i n,

 

 

 

 

n

ajvj)(vi) = aivi(vi) + ( ajvj)(vi) = ai 1 +

 

 

0 = (

aj 0 = ai:

 

j=1

 

 

j6=i

j6=i

 

 

X

 

 

X

X

 

1

Таким образом, a1 = : : : = an = 0, а это значит, что функционалы v1; : : : ; vn линейно независимы.

Пусть теперь v произвольный элемент V , и пусть ai = v (vi) (1 i n). Тогда для любого i

n

X X X

(v ajvj)(vi) = v (vi) aivi(vi) ajvj(vi) = ai ai 1 aj 0 = 0;

j=1

j6=i

j6=i

 

 

n

n

значит, v j=1 ajvj нулевой функционал, и потому v = j=1 ajvj. Òà-

ким образом,P

V

P

произвольный функционал из

 

представляется в виде

 

 

линейной комбинации функционалов v1; : : : ; vn, то есть эти функци- оналы порождают V

Следствие. Если V конечномерное пространство, то dim V = dim V .

Замечание. Функционалы vi могут быть определены и для базисов

бесконечномерного пространства. Они тоже будут линейно независимы; однако, они не порождают все дуальное пространство, мощность базиса которого равна мощности множества подмножеств базиса исходного пространства.

2. Билинейное спаривание пространств

Пусть U; V два векторных пространства над одним и тем же полем k. Спариванием U и V называется любое отображение U V ! k; элемент из k, в который при этом отображении переходит пара (u; v) 2 U V , обозначается через hu; vi. Спаривание называется линейным по первому аргументу, если для любого v 2 V отображение из U в k, сопоставляющее каждому u 2 U элемент hu; vi 2 k, является

линейным. Иначе говоря, спаривание линейно по первому аргументу, если для каждых u1; u2 2 U, v 2 V , a 2 k выполняется соотношение

hau1 + u2; vi = ahu1; vi + hu2; vi:

Аналогично, спаривание h ; i называется линейным по второму ар-

гументу, если для каждых u 2 U, v1; v2 2 V , a 2 k выполняется соотношение

hu; av1 + v2i = ahu; v1i + hu; v2i:

Спаривание, линейное по обоим аргументам, называется билинейным спариванием.

Билинейное спаривание h ; i пространств U и V называется невырожденным слева, если для всякого ненулевого вектора u 2 U существует такой вектор v 2 V , что hu; vi 6= 0. Оно называется невырожденным справа, если для всякого ненулевого вектора v 2 V существует такой вектор u 2 U, что hu; vi 6= 0.

2

Предложение 3.
Предложение 2.

Пусть V векторное пространство над полем k, V дуальное ему пространство. Зададим спаривание V и V , положив hv ; vi = v (v) для любого функционала v 2 V и любого вектора v 2 V . Это спаривание билинейно; оно невырождено слева и справа.

Доказательство. Пусть v; v1; v2 2 V , v ; v1; v2 2 V , a 2 k. Поскольку v линейный функционал, имеем:

hv ; av1 + v2i = v (av1 + v2) = av (v1) + v (v2) = ahv ; v1i + hv ; v2i:

Далее, по определению действий над линейными отображениями (в частности, над линейными функционалами) будет

hav1 + v2; vi = (av1 + v2)(v) = av1(v) + v2(v) = ahv1; vi + hv2; vi:

Итак, спаривание линейно по обоим аргументам.

Если v 2 V ненулевой функционал на V , то существует вектор v 2 V , такой что hv ; vi = v (v) 6= 0, а это значит, что спаривание невырождено слева. Пусть теперь v 2 V , v 6= 0. Существует базис V , содержащий вектор v 6= 0; для функционала v , отображающего v в 1, а остальные элементы базиса в 0, будет hv ; vi = v (v) = 1 6= 0. Таким образом, спаривание невырождено справа.

Пусть h ; i билинейное спаривание векторных пространств U и V над полем k. Обозначим через L : U ! V , R : V ! U отображения, заданные формулами

(L(u))(v) = (R(v))(u) = hu; vi äëÿ âñåõ u 2 U; v 2 V:

Отображения L и R линейны. Если спаривание h ; i невырождено слева и справа, а пространства U и V конечномерны, то L и R изоморфизмы векторных пространств (то есть биективные линейные отображения).

Доказательство. Заметим сначала, что, поскольку спаривание линейно по второму аргументу, отображение L(u) линейно, то есть действительно L(u) 2 V для любого u 2 U. Далее, из линейности спа-

ривания по первому аргументу получаем, что для любых u1; u2 2 U, a 2 k и любого v 2 V

(L(au1 + u2))(v) = hau1 + u2; vi = ahu1; vi + hu2; vi = = a(L(u1))(v) + (L(u2))(v) = (aL(u1) + L(u2))(v);

òî åñòü L(au1 + u2) = aL(u1) + L(u2). Таким образом, L линейное отображение из U в V . Точно так же показывается, что R

линейное отображение из V в U .

3

Если спаривание невырождено слева, то Ker L = 0, так как для любого u 6= 0 из U существует вектор v 2 V , такой что (L(u))(v) = hu; vi =6 0. Тогда Im L подпространство V , и потому

dim V = dim V dim Im L = dim U dim Ker L = dim U:

Точно так же, из невырожденности спаривания справа следует, что

dim U

 

dim V . Таким образом, dim Im L = dim U = dim V = dim V ,

 

 

(напомним, что если подпространство конечно-

и значит, Im L = V

 

мерного пространства имеет ту же размерность, что и вс¼ пространство, то подпространство совпадает со всем пространством). Итак, линейное отображение L инъективно и сюръективно, то есть явля- ется изоморфизмом U на V . Аналогично доказывается, что если

спаривание невырождено слева и справа, то R изоморфизм V на

U .

Следствие. Если пространство V конечномерное, то пространство (V ) канонически изоморфно пространству V .

Доказательство. Билинейное спаривание пространств V и V из

предложения 2 невырождено слева и справа; поэтому по предложению 3 отображение R является изоморфизмом V на дуальное к V

пространство (V ) .

3. Билинейные формы на пространстве

Билинейное спаривание пространства V с самим собой называется билинейной формой на V . Обычно она обозначается не угловыми

скобками, а круглыми, как скалярное произведение на евклидовом пространстве, и часто тоже называется скалярным произведением. Отметим, что скалярное произведение на унитарном пространстве не является билинейной формой, поскольку оно только полулинейно по второму аргументу. Иногда (особенно если приходится рассматривать несколько билинейных форм) такая форма записывается как функция двух переменных. Таким образом, если h ; i билиней-

ная форма на V , то при u; v 2 V для элемента hu; vi поля k могут в различных ситуациях использоваться обозначения (u; v), (u; v) и т.п.

Предложение 4. Пусть ( ; ) билинейная форма на конечномерном пространстве V , и пусть L; R : V ! V отображения, за- данные формулами

(L(u))(v) = (R(v))(u) = (u; v) äëÿ âñåõ u; v 2 V:

Следующие условия равносильны:

4

(1)билинейная форма ( ; ) невырождена слева;

(2)билинейная форма ( ; ) невырождена справа;

(3)L изоморфизм векторного пространства V на дуальное ему векторное пространство V ;

(4)R изоморфизм векторного пространства V на дуальное ему векторное пространство V .

Доказательство. (1) ) (3). По предложению 3 отображение L линейно. Если билинейная форма невырождена слева, Ker L = 0, так как для любого u 6= 0 из V существует вектор v 2 V , такой что

(L(u))(v) = hu; vi 6= 0. Поэтому

dim Im L = dim V dim Ker L = dim V = dim V ;

и значит, подпространство Im L пространства V , имеющее ту же размерность, что и вс¼ пространство V , совпадает с V . Èòàê, ëè- нейное отображение L инъективно и сюръективно, то есть является изоморфизмом V на V .

(3) ) (2). Пусть L : V ! V изоморфизм; в частности, отображение L сюръективно. Если v 2 V , v 6= 0, то существует функционал v 2 V , такой что v (v) 6= 0. Поскольку L сюръективное отображение, существует вектор u 2 V , такой что L(u) = v . Òî- гда (u; v) = (L(u))(v) = v (v) 6= 0. Это и значит, что форма ( ; )

невырождена справа.

Включение 2 ) 4 доказывается точно так же, как и включение

(1) ) (3), а включение (4) ) (1) как включение (3) ) (2).

Следствие. Если на конечномерном пространстве V задана невырожденная слева (справа) билинейная форма, то пространство V канонически изоморфно пространству V . При этом есть даже два канонических изоморфизма L и R пространства V на дуальное пространство V .

Вообще говоря, эти два канонических изоморфизма различны; они совпадают только если форма симметрична, то есть если (u; v) =

(v; u) для любых u; v 2 V . В частности, они совпадают для евклидова пространства.

4. Изменение дуального базиса при замене базиса пространства

Пусть u1; : : : ; un è v1; : : : ; vn два базиса пространства V , а u1; : : : ; un, v1; : : : ; vn дуальные им базисы пространства V . Выясним, как свя-

заны между собой матрица перехода C от базиса u1; : : : ; un ê áà- çèñó v1; : : : ; vn и матрица перехода D от базиса u1; : : : ; un к базису v1; : : : ; vn.

5

Cij),

Как обычно, для матрицы A через Aij обозначаем элемент, стоя- щий в матрице A на пересечении i-й строчки и j-го столбца. В част-

ности, для единичной матрицы En элемент (En)ij равен 1, если i = j, и равен 0, если i 6= j. Из определения матриц перехода следует, что

(v1; : : : ; vn) = (u1; : : : ; un)C; (v1; : : : ; vn) = (u1; : : : ; un)D;

òî åñòü

n

n

 

 

X

X

 

vj = Ctjut;

vi = Dsius:

 

t=1

s=1

Тогда для любых i; j

nn

X

X

X

(En)ij = hvi; vji = h

Dsius;

Ctjuti = DsiCtjhus; uti =

s=1

t=1

s;t

nn

XX

=

DsiCsj = (D>)isCsj = (D>C)ij:

s=1

s=1

Таким образом, все компоненты матрицы D>C равны соответству-

ющим компонентам единичной матрицы, так что D>C = En, îòêó- да следует, что D = (C 1)> = (C>) 1. Матрица (C>) 1 называется

контрагредиентной матрицей для матрицы C.

5. Тензорные обозначения для матриц перехода

Åñëè u1; : : : ; un è v1; : : : ; vn два базиса пространства V , а u1; : : : ; un, v1; : : : ; vn дуальные им базисы пространства V , то, как мы видели

в предыдущем пункте,

(v1; : : : ; vn) = (u1; : : : ; un)C; (v1; : : : ; vn) = (u1; : : : ; un)D;

где C матрица перехода от первого базиса пространства V ко вто- ðîìó, à D = (C 1)> = (C>) 1. Из этих равенств следует:

(u1; : : : ; un) = (v1; : : : ; vn)C 1 = (v1; : : : ; vn)D>; (u1; : : : ; un) = (v1; : : : ; vn)D 1 = (v1; : : : ; vn)D>:

Из предыдущих соотношений следует тогда:

n

n

n

n

X

X

X

Xi

vj = Cijui; vj = Dijui; uj = Djivi; uj = Cjivi

i=1

i=1

i=1

=1

(потому что (C>)ij = Cji, (D>)ij = Dji).

До сих пор мы обозначали элемент, стоящий в матрице A на пересечении i-й строчки и j-го столбца, через Aij. В тензорном исчисле- нии приняты немного другие обозначения. Именно, элемент i-й строки и j-го столбца матрицы C обозначается через Cji (вместо

6

а элемент i-й строки и j-го столбца матрицы D обозначается через

Dij

(вместо Dij). Отметим, что верхний индекс для матрицы C обо-

значает номер строки, а для матрицы D номер столбца. В новых

обозначениях предыдущие соотношения принимают вид:

 

n

n

n

n

 

X

X

Xi

X

 

vj = Ciui; vj = Djui; uj

= Di vi; uj = Cjvi:

 

j

i

j

i

 

i=1

i=1

=1

i=1

В каждом слагаемом сумм из правых частей этих равенств один индекс (а именно, индекс i) встречается вверху и внизу, и по нему про-

изводится суммирование, а другой индекс j встречается только один

раз, и в левых частях равенств он сохраняется на тех же позициях, что и в правых частях.

В тензорном исчислении обычно бывают более сложные выражения, зависящие от нескольких верхних и нижних индексов, и всякий раз, когда индекс встречается вверху и внизу, по нему производится суммирование; сумма от таких индексов уже не зависит, а зависит только от остальных индексов, которые в слагаемых стоят только внизу или только вверху, и которые в суммах остаются на тех же местах. Многие считают, что в этих условиях знак суммы является лишним: и так ясно, что если индекс есть вверху и внизу, то по нему надо суммировать. Это составляет суть так называемых

тензорных обозначений. Например, в таких обозначениях равенство Wlstjr = UklijVistrk, в котором все индексы пробегают значения от 1 äî n,

означает, что для любых j; r; l; s; t

n

n

XXk

Wlstjr =

UklijVistrk:

i=1

=1

Мы не будем пользоваться таким соглашением, и никогда не будем опускать знак суммирования.

x 2: Тензорное произведение пространств

1. Билинейные отображения

Пусть U; V векторные пространства над полем k, и пусть W еще одно векторное пространство над k. Отображение : U V ! W декартова произведения U V пространств U и V в пространство W

называется билинейным отображением, если оно линейно по обоим аргументам. Это значит, что для каждых u0 2 U è v0 2 V линейными являются отображение V ! W , сопоставляющее любому элементу

v 2 V элемент (u0; v) 2 W , и отображение U ! W , сопоставляющее любому элементу u 2 U элемент (u; v0) 2 W .

7

Предложение 5. Пусть U; V; W; W 0 векторные пространства над полем k, и пусть : U V ! W билинейное отображение, à A : W ! W 0 линейное отображение. Тогда

A 0

U V ! W ! W

тоже билинейное отображение.

Это утверждение очевидно. Оно показывает, что, имея одно билинейное отображение, мы можем строить много других билинейных отображений, которые "протаскиваются" через него.

2. Тензорное произведение

Возникает естественный вопрос: а не существует ли такое универсальное билинейное отображение декартова произведения U V в

какое-нибудь пространство W , через которое "протаскиваются" все

билинейные отображения? Ответ положительный, и такое пространство W называется тензорным произведением пространств U и V .

Дадим точное определение.

Пусть U; V векторные пространства над полем k. Пара (W; ), состоящая из векторного пространства W над полем k и билинейного отображения : U V ! W называется тензорным произведением пространств U и V , если для любого пространства X над полем k и любого билинейного отображения : U V ! X существует единственное линейное отображение A : W ! X, такое что = A (то есть (u; v) = A (u; v) для всех u 2 U, v 2 V ).

Теорема 1. Для любых векторных пространств U, V над полем k

существует их тензорное произведение. Оно единственно с точностью до изоморфизма.

(Единственность с точностью до изоморфизма означает, что если (W; ) и W 0; 0) два тензорных произведения пространств U и V ,

то существует изоморфизм пространств : W ! W 0, такой что =0).

Доказательство. Докажем сначала, что если тензорное произведение пространств U, V существует, то оно единственно с точностью до изоморфизма. Пусть (W; ) и W 0; 0) два тензорных произведения пространств U и V . Отображение 0 : U V ! W 0 билинейно;

поскольку (W; ) тензорное произведение U и V , существует такое линейное отображение : W ! W 0, ÷òî 0 = . Но отображение: U V ! W тоже билинейно, а (W 0; 0) тензорное произведение U и V ; поэтому существует такой гомоморфизм : W 0 ! W , ÷òî = 0. Отсюда следует, что ( ) = = idW . Íî (W; )

8

тензорное произведение U и V , поэтому для билинейного отображения : U V ! W существует только одно линейное отображение: W ! W , такое что = . Следовательно, = idW , и точно

так же показывается, что = idW 0. Таким образом, линейное отоб- ражение : W ! W 0 обратимо, то есть оно является изоморфизмом

векторных пространств.

Существование тензорного произведения докажем для конечномерных пространств; доказательство в общем случае практически такое же, оно отличается лишь некоторыми деталями обозначений. Пусть u1; : : : ; un è v1; : : : ; vm какие-то базисы пространств U и V ,

и пусть W пространство над k размерности nm. Выберем базис W и обозначим элементы этого базиса wij, 1 i n, 1 j n. Определим теперь отображение : U V ! W . Любые элементы u 2 U, v 2 V однозначно представляются в виде

n m

X

X

u =

aiui 2 U; v = bjvj 2 V (ai; bj 2 k);

i=1

j=1

положим

n

m

X

 

 

X

X

 

(u; v) = ( aiui;

bjvj) =

aibjwij:

 

i=1

j=1

i;j

Легко видеть, что отображение билинейно (мы опускаем тривиаль-

ную проверку этого).

Покажем, что всякое билинейное отображение : U V ! X "пропускается" через W . Построим линейное отображение A : W ! X; для того, чтобы задать его, достаточно указать образы всех элементов базиса пространства W , причем эти образы могут быть выбраны произвольным образом. В качестве A возьмем такое линейное

отображение, что Awij = (ui; vj) для всех i, j (1 i n, 1 j m). Для любых

n

m

XX

u =

aiui 2 U; v = bjvj 2 V

(ai; bj 2 k)

i=1

j=1

 

мы имеем:

nm

X

X

X

X

A (u; v) = A ( aiui;

 

bjvj) = A aibjwij =

aibjAwij =

i=1

j=1

i;j

i;j

nm

X

X

X

=

aibj (ui; vj) = ( aiui;

bjvj) = (u; v):

i;j

i=1

j=1

Для завершения доказательства того, что (W; ) тензорное произведение U и V , нам остается показать, что указанное в предыдущем

9

абзаце линейное отображение A единственное линейное отображение, такое что A (u; v) = (u; v) для всех u 2 U, v 2 V . Но это очевидно: если B : W ! X другое отображение, обладающее этим свойством, то, в частности,

Bwij = B (ui; vj) = (ui; vj) = A(wij):

Таким образом, линейные отображения A, B совпадают на всех элементах wij базиса пространства W , а значит, они совпадают на всем пространстве W .

Из доказательства теоремы, в частности, вытекает

Следствие. Размерность nm тензорного произведения W пространств U и V равна произведению размерностей n и m пространств U и

V .

3. Свободный модуль над множеством

Пусть коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, а X произвольное множество. Обозначим через X множество всех отоб- ражений из X в , и введем на нем структуру левого -модуля, положив для отображений f; g 2 X è äëÿ âñåõ x 2 X, 2

(f + g)(x) = f(x) + g(x); ( f)(x) = f(x):

Мы опускаем тривиальную проверку того, что все свойства сложения и умножения на элементы из , которые должны выполняться

в левом -модуле, действительно выполняются.

Для каждого элемента x 2 X обозначим через ex 2 X функцию, отображающую x в 1, а остальные элементы из X в 0.

4. Обозначения для тензорного произведения

Пусть (W; ) тензорное произведение пространств U, V . Введем для него новые, более удобные обозначения. Пространство W будем обозначать через U kV . Как правило, поле k у нас остается фиксированным, поэтому обычно мы будем опускать упоминание k и писать U V вместо U k V . Если u 2 U, v 2 V , то элемент (u; v) мы будем обозначать через u v. В частности, элемент wij = (ui; vj) из предыдущего пункта запишется теперь как ui vj. Â ýòèõ òåð- минах определяющее свойство тензорного произведения принимает следующий вид.

Предложение 6. Пусть U; V; W векторные пространства над полем k, а : U V ! W билинейное отображение. Тогда существует единственное линейное отображение A : U V ! W , такое что (u; v) = A(u v) для всех u 2 U, v 2 V .

10

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.