algebra

Предложение 7. Для любых векторов u; u1 2 U, v; v1 2 V и любого a 2 k выполняются соотношения

(u + u1) v = u v + u1 v; u (v + v1) = u v + u v1; (au) v = u (av) = a(u v):

Доказательство. Приведем доказательство первого соотношения:

(u + u1) v = (u + u1; v) = (u; v) + (u1; v) = u v + u1 v:

Остальные соотношения получаются аналогично.

Замечание. Как и для любого умножения, мы считаем действие тензорного умножения векторов предшествующим действию сло-

жения; поэтому, например, мы можем писать u v+u1 v вместо

(u v) + (u1 v).

Из предложения 7, как и из обычных свойств дистрибутивности, получаем, что для того, чтобы тензорно перемножить несколько сумм, надо в каждой из них выбрать по слагаемому, тензорно перемножить их, а затем все такие тензорные произведения сложить.

Наше построение тензорного произведения в предыдущем пункте зависело от выбора базисов u1; : : : ; un è v1; : : : ; vn в пространствах U и V ; для этих конкретных базисов векторы ui vj = (ui; vj) = wij составляют базис пространства U V = W . Покажем, что то же

самое справедливо для любых базисов.

Предложение 8. Пусть U, V векторные пространства над по-

ëåì k, u01; : : : ; u0n базис U, v10 ; : : : ; vm0 базис V . Тогда векторы u0s vt0 (1 s n, 1 t m) составляют базис тензорного произ-

ведения U V .

Доказательство. Количество векторов u0s vt0 равно размерности nm пространства U V ; поэтому достаточно показать, что эти векторы

порождают U V . В свою очередь, для этого достаточно убедиться, что все векторы ui vj, составляющие базис U V , являются

XX

Пользуясь свойствами тензорного умножения векторов из предложения 7, получаем

nm

11

что и было нужно.

В заключение этого пункта отметим, что не каждый элемент тензорного произведения пространств U, V имеет вид u v, где u 2 U,

v 2 V . Например, пусть U и V двумерные пространства с базиса-

ìè u1; u2 è v1; v2 соответственно. Тогда ни для каких u = au1 + bu2, v = cv1 +dv2 не будет u1 v1 +u2 v2 = u v. Действительно, сравнивая коэффициенты при базисных элементах ui vj в левой и правой частях равенства

u1 v1 + u2 v2 = (au1 + bu2) (cv1 + dv2) =

= (ac)u1 v1 + (ad)u1 v2 + (bc)u2 v1 + (bd)u2 v2;

мы получим для a; b; c; d систему уравнений

ac = 1; bd = 1; ad = 0; bc = 0;

которая, очевидно, не имеет решений, так как один из элементов b; c должен быть равен 0, а тогда или ac = 0 6= 1, или bd = 0 6= 1.

Тем не менее, элементы вида u v порождают пространство U V .

Предложение 9. Если подпространство W тензорного произведения U V пространств U, V содержит все векторы u v, где u 2 U, v 2 V , то W = U V .

Доказательство. Пусть u1; : : : ; un è v1; : : : ; vm базисы пространств U и V . Подпространство W содержит, в частности, все векторы ui vj, 1 i n, 1 j m. Но эти векторы составляют базис тензорного произведения U V , так что W = U V

5. Канонические гомоморфизмы для тензорных произведений

В этом пункте мы укажем несколько гомоморфизмов, связывающих тензорные произведения пространств. Эти гомоморфизмы зависят только от пространств, а не от специального выбора базисов в них. Мы не будем стремиться к тому, чтобы придумывать для этих гомоморфизмов какие-то естественные обозначения, а будем, не мудрствуя лукаво, обозначать их буквой с индексами. Эти обозначения

будут действовать только в этом и следующем параграфах. Всюду дальше U, V , W , X конечномерные векторные пространства над

полем k.

Предложение 10 ("коммутативность" тензорного умножения) . Существует единственный изоморфизм 1 : U V ! V U, такой что 1(u v) = v u для любых u 2 U, v 2 V .

12

Доказательство. Отображение : U V ! V U, заданное фор-

мулой

(u; v) = v u для любых u 2 U; v 2 V

билинейно, поэтому существует такое линейное отображение 1 : U V ! V U, ÷òî 1(u v) = (u; v) = v u для любых u 2 U, v 2 V . Образ 1 содержит все векторы вида v u = 1(u v), поэтому по предложению 9 Im 1 = V U. Поскольку размерности тензорных произведений U V и V U обе равны произведению размерностей

пространств U и V ,

dim Ker 1 = dim(U V ) dim Im 1 = dim(U V ) dim(V U) = 0:

Èòàê, 1 сюръективное линейное отображение с нулевым ядром, то есть изоморфизм векторных пространств.

Предложение 11 ("ассоциативность" тензорного умножения) . Существует единственный изоморфизм 2 : (U V ) W ! U (V W ), такой что 2((u v) w) = u (v w) для любых u 2 U, v 2 V , w 2 W .

Доказательство. Пусть u1; : : : ; un, v1; : : : ; vn, w1; : : : ; wr какие-то базисы пространств U, V , W . Тогда векторы ui vj составляют ба- зис U V , и потому векторы (ui vj) wp составляют базис про- странства (U V ) W (1 i n, 1 j m, 1 p r). Точно так же показывается, что векторы ui (vj wp) составляют базис пространства U (V W ). Определим теперь линейное отображение

2 : (U V ) W ! U (V W ), задав его на базисных элементах формулой

2((ui vj) wr) = ui (vj wr):

Образ этого отображения содержит базис fui (vj wp)g пространства U (V W ), поэтому этот образ совпадает со всем простран-

ством. Размерности обоих тройных тензорных произведений равны произведению размерностей пространств U, V , W ; как и при доказа-

тельстве предыдущего предложения, получаем отсюда, что Ker 2 = 0, и, таким образом, 2 изоморфизм векторных пространств.

Осталось показать, что отображение 2 обладает характеристиче- ским свойством, указанным в формулировке предложения, и потому не зависит от выбора базисов сомножителей тензорных произведений. Пусть

произвольные элементы пространств U, V , W . Тогда

13

(перемножаем суммы, взяв в каждом сомножителе по слагаемому, перемножив их и сложив полученные произведения; затем пользуем- ся линейностью 2, определением 2 и снова правилом перемножения сумм)

Èòàê, 2((u v) w) = u (v w) для всех u 2 U, v 2 V , w 2 W , а не только для элементов выбранных базисов.

Предложение 12. Существует единственный изоморфизм

3 : k U ! U;

такой что 3(a u) = au для любых a 2 k, u 2 U.

Доказательство. Пространство k одномерно и в качестве его базиса можно взять единичный элемент 1. Отображение : U ! k U, определенное формулой (u) = 1 u, линейно: для любых u1; u2 2 U, a 2 k

(au1 + u2) = 1 (au1 + u2) = a 1 u1 + 1 u2 = a (u1) + (u2):

Оно инъективно, так как любой элемент u 6= 0 может быть вклю- чен в базис U, а тогда (u) = 1 u один из элементов базиса пространства k U и потому (u) 6= 0. Далее,

dim(k U) = dim k dim U = 1 dim U = dim U;

поэтому инъективное линейное отображение : U ! k U сюръективно. Следовательно, изоморфизм U на k U. Обратный к нему изоморфизм 3 : k U ! U обладает нужным свойством:

3(a u) = 3(1 au) = 3( (au)) = au:

Таким образом, тензорное умножение "коммутативно", "ассоциативно" и для него есть "единичный элемент" k.

Предложение 13. Пусть A : U ! W , B : V ! X линейные

отображения. Существует единственное линейное отображение

A B : U V ! W X, такое что (A B)(u v) = Au Bv

для любых u 2 U, v 2 V .

14

Доказательство. Пусть u1; : : : ; un, v1; : : : ; vm какие-то базисы про- странств U, V . Тогда векторы ui vj составляют базис U V . Определим теперь линейное отображение A B : U V ! W X, задав его на базисных элементах формулой

(A B)(ui vj) = Aui Bvj:

Покажем, что отображение A B обладает характеристическим свойством, указанным в формулировке предложения. Пусть

nm

XX

произвольные элементы пространств U, V , W . Тогда

(перемножаем суммы, взяв в каждом сомножителе по слагаемому, перемножив их и сложив полученные произведения; затем пользуемся линейностью A B, определением A B, снова правилом перемно-

жения сумм и линейностью отображений A и B)

Предложение 14. Существует единственный изоморфизм

4 : U V ! (U V ) ;

такой что ( 4(u v ))(u v) = u (u)v (v) для любых u 2 U , v 2 V , u 2 U, v 2 V .

Доказательство. Пусть

u1; : : : ; un; v1; : : : ; vm; u1; : : : ; un; v1; : : : ; vm

базисы U, V и дуальные им базисы U , V . Тогда fui vjg, fus vtg

базисы U V и U V . Определим билинейное спаривание про-

странств U V и U V , задав его на элементах базисов формулами

15

Это спаривание невырождено слева, так как если hPastus vt; xi = 0

s;t

для любого x 2 U V , то, в частности, для всех i; j будет

X X

0 = h astus vt; ui vji = asthus vt; ui vji = aij:

s;t s;t

Точно так же показывается, что это спаривание невырождено справа.

Следовательно, существует зависящий только от спаривания изоморфизм 4 : U V ! (U V ) .

Остается показать, что отображение 4 обладает характеристи- ческим свойством, указанным в формулировке предложения. Пусть

m

и аналогично v (v) = P bjdj.

j=1

В следующем предложении помимо тензорного произведения присутствует ещ¼ одно хорошо нам известное векторное пространство пространство линейных отображений одного пространства U в дру-

гое пространство V . Мы обозначаем его Hom(U; V ); это частный

случай группы гомоморфизмов одного модуля в другой: ведь векторные пространства модули над основным полем k.

Предложение 15. Существует единственный изоморфизм 5 : U V ! Hom(U; V ), такой что для любых элементов u 2 U ,

u 2 U, v 2 V

( 5(u v))(u) = u (u)v:

16

Доказательство. Пусть u1; : : : ; un базис U, u1; : : : ; un

ему базис U , v1; : : : ; vm базис V ; тогда векторы ui vj (1 i n, 1 j m) составляют базис U V . Определим линейное отобра-

жение 5 : U V ! Hom(U; V ), задав его на базисных элементах правилом

( 5(ui vj))(u) = ui(u)v для каждого u 2 U:

Для любых i; j линейное отображение 5(ui vj) : U ! V отображает вектор ui в вектор ui(ui)vj = vj, а остальные элементы us, s 6= i, это отображение посылает в ui(us)vj = 0. Таким образом, образ 5

содержит для любых i; j отображения U в V , матрица которых в выбранных базисах имеет 1 на пересечении j-й строки и i-го столбца, а

остальные элементы равны 0. Такие линейные отображения порождают вс¼ пространство Hom(U; V ) линейных отображений из U в V ,

поэтому образ 5 совпадает со всем пространством Hom(U; V ). Размерности обоих пространств U V и Hom(U; V ) равны произведению

размерностей пространств U и V ; как и выше, отсюда следует, что

Ker 5 = 0. Итак, линейное отображение 5 инъективно и сюръек- тивно, то есть оно является изоморфизмом пространств.

Остается показать, что отображение 4 обладает характеристи- ческим свойством, указанным в формулировке предложения. Пусть

Предложение 16 (отображение св¼ртки). Существует единственное линейное отображение : U U ! k, такое что (u u) =

u (u) äëÿ âñåõ u 2 U, u 2 U .

Доказательство. Отображение : U U ! k, заданное формулой(u :u) = hu ; ui = u (u) билинейно; поэтому по определению тензорного произведения пространств U и U существует единственное линейное отображение : U U ! k, такое что (u u) = (u ; u) = u (u) для всех u 2 U, u 2 U .

17

x 3: Тензоры

1. Определение тензора. Координаты тензора

Пусть V векторное пространство над полем k. Как и выше, через V обозначается пространство, дуальное к пространству V . Пусть p; qнеотрицательные целые числа; любой элемент T тензорного произведения p экземпляров пространства V и q экземпляров пространства V называется p раз ковариантным и q раз контравариантным тензором на пространстве V , или, короче (p; q)-тензором на V . Числа p; q называются соответственно ковариантной и контравариантной валентностями тензора T , а сумма p + q его полной валентностью.

Для сокращения записи мы обычно будем обозначать пространство (p; q)-тензоров через V p V q.

Пусть e1; : : : ; en базис V , e1; : : : ; en дуальный ему базис про- странства V . Элементы

указанном базисе тензорного пространства) называются координатами тензора T в базисе e1; : : : ; en пространства V .

(Подчеркнем, что обозначения для координат выбраны так, что в предыдущей сумме каждый индекс суммирования встречается в слагаемых один раз вверху и один раз внизу).

2. Изменение координат тензора при замене базиса

T = X T j1;:::;jq ei1 : : : eip ej : : : ej =

i1;:::;ip 1 q

i1;:::;ip j1;:::;jq

X

=Ts0t11;:::;s;:::;tpq es1 : : : esp et1 : : : etq :

s1;:::;sp t1;:::;tq

18

Выясним, как эти координаты связаны друг с другом. Пусть C

матрица перехода от базиса e1; : : : ; en к базису e01; : : : ; e0n, e1; : : : ; en, e01; : : : ; e0n соответствующие дуальные базисы, D = (C 1)> ìàò- рица перехода для них. Напомним, что в обозначении Csi компонент

матрицы C верхний индекс обозначает номер строки, а нижний

номер столбца, а в обозначении Djt компонент матрицы D наоборот, верхний индекс обозначает номер столбца, а нижний номер строки. Как мы видели в x 1:.5., для любых i; j

XX

(здесь и дальше все индексы суммирования пробегают значения от 1 до n). Пользуясь этими соотношениями, получаем:

(для того, чтобы перемножить несколько сумм, надо в каждом сомножителе выбрать по слагаемому, перемножить их, и получившиеся произведения сложить)

(индексы первого и второго суммирований не зависимы друг от друга, поэтому суммирования можно переставить друг с другом)

s1;:::;sp i1;:::;ip ;:::;t

Таким образом, коэффициенты в разложении T по "новому" базису пространства V p V q имеют вид

i1;:::;ip

19

S + T его элементов и произведение aT тензора T на элемент a поля k. При этом S +T , aT снова элементы пространства V p V q, òî есть (p; q)-тензоры. Координаты векторов в одном и том же базисеV q при сложении и умножении на элемент из k соответственно складываются и умножаются на этот элемент, по-

этому координаты тензоров S + T , aT в любом базисе пространства V выражаются через координаты S и T в том же базисе следующим образом:

Тензорное произведение тензоров. Пусть S 2 V p V q

(p; q)-тензор, а T 2 V r V s (r; s)-тензор. Тогда T S элемент тензорного произведения

(V p V q) (V r V s):

Но из "коммутативности" и "ассоциативности" тензорного произведения следует, что существует канонический изоморфизм

: (V p V q) (V r V s) ! V (p+r) V (q+s);

так что (S T ) является (p + r; q + s)-тензором. Его мы и будем называть (тензорным) произведением тензоров S, T и снова обозна- чать S T . Чтобы избежать двусмысленности, мы до конца этого пункта будем обозначать тензорное произведение S и T как элемент пространства (V p V q) (V r V s) через S 0 T , а как тензорчерез S T , так что S T = (S 0 T ).

Выясним, как связаны координаты произведения с координатами сомножителей. Для сокращения записи введем обозначение:

Заметим, что

(e[i1;::;ip] 0 e[u1;::;ur]) = e[i1;::;ip;u1;::;ur] [j1;::;jq] [v1;::;vs] [j1;::;jq;v1;::;vs]

В этих обозначениях

20