algebra

2. Геометрический смысл равенства внешних произведений двух систем векторов

Предложение 22. Пусть V евклидово пространство, u1; : : : ; um è v1; : : : ; vp два семейства векторов из V . Для того чтобы выполнялось равенство

u1 ^ : : : ^ um = v1 ^ : : : ^ vp

необходимо и достаточно, чтобы или обе системы векторов были линейно зависимы, или чтобы выполнялись условия:

(1)m = p и обе системы векторов линейно независимы;

(2)линейные оболочки обеих систем векторов совпадают;

(3)в этой общей линейной оболочке равны ориентированные объ-

¼ми параллелепипеда с ребрами u1; : : : ; um и параллелепипеда с реб- ðàìè v1; : : : ; vm.

Доказательство. Необходимость. Если оба внешних произведения равны 0, то по предложению 21 обе системы векторов линейно зависимы. Пусть

u1 ^ : : : ^ um = v1 ^ : : : ^ vp 6= 0;

тогда векторы u1; : : : ; um линейно независимы, но для любого j p u1 ^ : : : ^ um ^ vj = v1 ^ : : : ^ vj ^ : : : ^ vp ^ vj = 0;

потому что в последнем произведении два одинаковых множителя vj. Отсюда следует, что векторы u1; : : : ; um; vj линейно зависимы, и по- этому вектор vj, присоединение которого к линейно независимой си- стеме векторов u1; : : : ; um превращает е¼ в линейно зависимую систему, принадлежит линейной оболочке hu1; : : : ; umi векторов u1; : : : ; um. Итак, все векторы v1; : : : ; vp принадлежат пространству hu1; : : : ; umi, и потому

hv1; : : : ; vpi hu1; : : : ; umi:

Аналогично доказывается второе включение. Оба множества векто- ðîâ u1; : : : ; um; v1; : : : ; vp линейно независимы и порождают эту общую линейную оболочку; поэтому они оба составляют базисы линейной оболочки, откуда следует, что m = p = dimhu1; : : : ; umi.

Пусть e1; : : : ; em ортогональный нормированный базис подпространства hu1; : : : ; umi = hv1; : : : ; vmi евклидова пространства V , и пусть A, B матрицы½ компонентами которых являются соответ-

ственно координаты векторов ui и векторов vj, òàê ÷òî

41

Из равенства u1 ^ : : : ^ um = v1 ^ : : : ^ vm следует, что

jAj(e1 ^ : : : ^ em) = u1 ^ : : : ^ um = v1 ^ : : : ^ vm = jBj(e1 ^ : : : ^ em);

поскольку векторы e1; : : : ; em линейно независимы, и потому e1 ^: : :^ em 6= 0, отсюда следует, что jAj = jBj. Вспоминая определение ориентированного объ¼ма, получаем, что

Vmor(u1; : : : ; um) = jAj = jBj = Vmor(v1; : : : ; vm):

Достаточность. Если оба множества векторов линейно зависимы, то оба внешних произведения равны 0, и значит, эти произведения равны. Пусть теперь выполняются условия (1), (2), (3), и пусть e1; : : : ; em ортогональный нормированный базис подпространства hu1; : : : ; umi = hv1; : : : ; vmi евклидова пространства V . Далее, пусть A, B матрицы½ компонентами которых являются соответственно

координаты векторов ui и векторов vj, òàê ÷òî

Из равенства ориентированных объ¼мов следует, что

jAj = Vmor(u1; : : : ; um) = Vmor(v1; : : : ; vm) = jBj:

Поэтому

u1 ^ : : : ^ um = jAj(e1 ^ : : : ^ em) = jBj(e1 ^ : : : ^ em) = v1 ^ : : : ^ vm:

x 5: Интегрирование дифференциальных форм

1. Аффинные отображения и их дифференциалы

Пусть U, V аффинные пространства над полем k, и пусть U; V их касательные векторные пространства. Напомним, что, например,

для U это означает, что любым двум точкам A; B 2 U отвечает век-

!

òîð AB 2 U, причем выполняются некоторые естественные свойства,

которые мы здесь не напоминаем. Если A 2 U, u 2 U, то единствен-

!

ную точку B 2 U, для которой AB = u, мы часто обозначаем через

A + u.

Отображение F мы называем аффинным, если существуют точка O 2 U и линейное отображение A : U ! V , такие что для любого точки B 2 U будет

!

F (B) = F (O) + A(OB):

42

Иначе то же условие можно записать так: для любого вектора u 2 U будет F (O + u) = F (O) + A(u). Линейное отображение A называется дифференциалом аффинного отображения F и обозначается dF .

Предложение 23 (из разряда пустяковых). Пусть F : U ! V аффинное отображение, и пусть dF : U ! V его дифференциал. Тогда не только для точки O, но и для любой точки A 2 U и любого вектора u 2 U будет F (A + u) = F (A) + dF (u).

Доказательство. Пользуясь линейностью dF , получаем:

Всякое векторное пространство V является в то же время и аффинным пространством с касательным пространством V , если для

ление применимо и в случае, когда второе аффинное пространство является векторным пространством. Хотя это логически и не необходимо, повторим определение и для этого случая:

Отображение F аффинного пространства U в векторное пространство V называется аффинным отображением с дифференциалом dF : U ! V , если для любой точки A 2 U и любого вектора u 2 U будет F (A + u) = F (A) + dF (u).

Рассмотрим важный частный случай аффинных отображений. Пусть O; e1; : : : ; en система координат в аффинном пространстве V; напомним, что O некоторая точка из V (начало координат),

à e1; : : : ; en базис V . Каждой точке A 2 V отвечает в этой си-

стеме набор координат (x1; : : : ; xn) это такие элементы из k, что

!

OA = x1e1 +: : :+xiei +: : :+xnen. Обозначим через xi : V ! k отобра-

жение, сопоставляющее каждой точке A из V е¼ i-ю координату xi â этой системе. Легко видеть что xi аффинное отображение, причем

dxi(ej) = 0 ïðè j 6= i:

Таким образом, функционалы dx1; : : : ; dxn составляют базис простран- ства V , дуальный к базису e1; : : : ; en пространства V . Это новое

обозначение для дуального базиса; ранее мы его обозначали через e1; : : : ; en.

2. Дифференциальные формы

Пусть V касательное пространство к аффинному пространству V, а V дуальное к нему пространство. Внешняя алгебра ^V раскла- дывается в прямую сумму своих однородных компонент

^V = k V : : : ^rV : : : ^nV ;

43

элементы из ^rV называются постоянными r-мерными внешними

составляют базис пространства ^rV , поэтому каждая r-мерная дифференциальная форма на V может быть записана в виде

3. Интегрирование постоянных дифференциальных форм по параллелепипедам

Напомним, что, например, что интеграл по "маленькому кусочку" кривой на плоскости от формы f(x; y)dx + g(x; y)dy зависит (с точ- ностью до бесконечно малых более высокого порядка) от значения формы на этом кусочке, который в первом приближении может счи- таться отрезком прямой, и от его длины и направления. Аналогично, интеграл в трехмерном пространстве по "маленькому кусочку" поверхности зависит от расположения кусочка в пространстве и его площади. Выше мы видели, что внешнее произведение r векторов

v1; : : : ; vr пространства V определяет подпространство пространства V , в котором находится параллелепипед с ребрами v1; : : : ; vr è îðè- ентированный объем этого параллелепипеда, но не сами ребра параллелепипеда. Поэтому внешнее произведение определяет "направление"и "меру"r-мерных объектов в пространстве, вообще говоря,

большей размерности. Поэтому внешнее произведение векторов естественный объект, по которому может производиться интегрирование.

Пусть V n-мерное аффинное пространство над полем k с касательным пространством V , ! 2 ^rV постоянная r-мерная дифференциальная форма на V, и пусть P (v1; : : : ; vr) r-мерный па-

раллелепипед в V с ребрами v1; : : : ; vr 2 V . Выше было построено каноническое спаривание h::; ::i пространств ^V и ^V . Определим

интеграл от постоянной дифференциальной формы ! 2 ^rV ïî ïà- раллелепипеду P (v1; : : : ; vr) следующим образом:

Z

! = h!; v1 ^ : : : ^ vri:

P (v1;:::;vr)

Отметим, что наше определение осмысленно при любом поле k. В случае, когда k = R, а V евклидово аффинное пространство, оно,

44

как нетрудно видеть, совпадает с определением, принятым в математическом анализе. Ниже мы распространим определение интеграла на более широкий класс дифференциальных форм линейные дифференциальные формы (опять над произвольным полем), и докажем для них аналог теоремы Стокса.

Сначала напомним некоторые сведения об объ¼мах. Пусть V евклидово пространство размерности n. В таких пространствах определены ориентированные объ¼мы n-мерных параллелепипедов. За еди-

ницу измерения объ¼ма принимается объ¼м параллелепипеда, ребра которого составляют некоторый ортогональный нормированный базис пространства; тогда ориентированный объ¼м параллелепипеда с ребрами v1; : : : ; vn равен определителю матрицы, компоненты кото-

рой являются координатами векторов vi в выбранном базисе.

По аналогии мы можем определить ориентированный объ¼м и в пространствах над любым полем. Выберем базис e1; : : : ; en простран- ства V и будем считать, что объ¼м параллелепипеда, ребрами кото-

рого являются элементы этого базиса, равен 1. Тогда ориентированным объ¼мом (относительно выбранного базиса) параллелепипеда с ребрами v1; : : : ; vn будем называть определитель матрицы, компонен-

ты которой являются координатами векторов vi в базисе e1; : : : ; en. Конечно, такой ориентированный объ¼м зависит от выбора базиса; однако, если ориентированные объ¼мы двух параллелепипедов равны относительно какого-то базиса, они равны и относительно любого другого базиса. Добавим ещ¼, что в начальных главах этого курса мы

и определяли определители матриц как ориентированные объ¼мы относительно стандартного базиса пространства kn.

45