algebra

5. Линейная зависимость и независимость векторов в терминах внешней алгебры

Предложение 21. Пусть V векторное пространство, ^V внешняя алгебра на V . Для того чтобы векторы v1; : : : ; vm 2 V были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы v1^: : :^vm 6= 0.

Доказательство. Пусть векторы v1; : : : ; vm линейно независимы; то- гда существует содержащий эти векторы базис v1; : : : ; vm; vm+1; : : : ; vn. По предложению 19 элементы v , где подмножество f1; : : : ; ng, составляют базис внешней алгебры ^V ; следовательно, все элементы

v отличны от нулевого вектора. В частности,

v1 ^ : : : ^ vm = vf1;:::;mg 6= 0:

Наоборот, пусть векторы v1; v2; : : : ; vm линейно зависимы; тогда один из них линейная комбинация остальных векторов. Поскольку при перестановке сомножителей внешнее произведение векторов может лишь изменить знак, мы, не умоляя общности, можем счи- тать, что v1 линейная комбинация v2; : : : ; vm, òî åñòü ÷òî v1 = a2v2 + : : : + amvm для некоторых ai 2 k. Тогда

поскольку для каждого j 2 в произведении vj ^v2 ^: : :^vj ^: : :^vm есть два одинаковых сомножителя, и по лемме 5 такое произведение равно 0.

x 3: Внешняя алгебра и определители

1. Внешнее произведение n линейных комбинаций n векторов

Напомним, что для квадратной матрицы A с компонентами из поля через jAj обозначается е¼ определитель.

Теорема 4. Пусть V векторное пространство над полем k, Aквадратная матрица порядка n с компонентами из k, и пусть u1; : : : ; un; v1; : : : ; vn такие векторы из V , что

0 1 0 1 v1 u1

B . C = A B . C:

@ A @ A vn un

31

Тогда во внешней алгебре ^V

v1 ^ : : : ^ vn = jAj(u1 ^ : : : ^ un):

Доказательство. Как и в большей части этого курса, через Aij ìû обозначаем элемент матрицы A, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца; матричное равенство из формулировки теоремы

означает, что для каждого i вектор vi

n

P

Aijuj векторов u1; : : : ; un.

j=1

Сосчитаем внешнее произведение векторов v1; : : : ; vn в алгебре

^V :

(перемножаем суммы, выбрав в каждом сомножителе по слагаемому, перемножив их и сложив все такие произведения)

X

=A1j1 : : : Anjn (uj1 ^ ^ ujn ):

j1;:::;jn

В получившейся сумме много нулевых слагаемых: если среди индексов j1; : : : ; jn есть два одинаковых, то по лемме 5 uj1 ^ ^ ujn = 0. Поэтому в сумме можно оставить лишь те слагаемые, для которых все индексы j1; : : : ; jn различны. Но все js

не превосходящие n, и то, что они попарно различны, означает, что (j1; : : : ; jn) перестановка множества f1; : : : ; ng. В главе об определителях мы обозначали множество таких перестановок через Pn. Таким образом,

По лемме 4 uj1 ^ ^ ujn = ( 1)I(j1;:::;jn)u1 ^ ^ un, следовательно

X

;:::;j )

Но сумма в скобках это определитель jAj матрицы A, так что окончательно получаем:

v1 ^ : : : ^ vn = jAj(u1 ^ : : : ^ un)

32

2. Определитель произведения квадратных матриц

Мы знаем, что определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей. Используя теорию внешних алгебр, дадим новое и очень короткое доказательство этого результата.

Теорема 5. Пусть A; B 2 kn две квадратные матрицы порядка n с компонентами из поля k. Тогда jABj = jAj jBj:

Доказательство. Пусть V векторное пространство над k, размерность которого не меньше n (например, в качестве V можно взять kn), и пусть u1; : : : ; un линейно независимые векторы из V . Поло-

Пользуясь теоремой 4, сосчитаем двумя способами внешнее произведение w1 ^ : : : ^ wn:

w1 ^ : : : ^ wn = jABj(u1 ^ : : : ^ un);

w1 ^ : : : ^ wn = jAj(v1 ^ : : : ^ vn) = jAj(jBj(u1 ^ : : : ^ un)) = = (jAj jBj)(u1 ^ : : : ^ un):

Но вектор u1^: : :^un 2 ^V ненулевой, потому что векторы u1; : : : ; un 2 V линейно независимы; поэтому равны коэффициенты jABj, jAj jBj при этом векторе в двух представлениях произведения w1 ^ : : : ^ wn.

3. Внешнее произведение m линейных комбинаций n векторов

Прежде, чем сформулировать утверждение, которое мы докажем в этом пункте, введем одно обозначение. Пусть A 2 km n матрица

с m строками и n столбцами, и пусть подмножество множества f1; : : : ; ng. Через A мы будем обозначать подматрицу A, состоящую из всех строк и из столбцов с номерами из .

33

Пусть V векторное пространство над полем k, A 2 km n квадратная матрица из m строк и n столбцов с компонентами из k, и пусть u1; : : : ; un; v1; : : : ; vm такие векторы из V ,

÷òî 0 1 0 1 v1 u1

B . C = A B . C:

@ A @ A

Комментарии к формулировке. 1. Через j j обозначается

число элементов множества , а P означает суммирование по всем

j j=m

подмножествам множества f1; : : : ; ng, которые состоят из m элементов.

2.Если m > n, то нет ни одного подмножества множества f1; : : : ; ng, состоящего из m элементов; поэтому сумма состоит из 0 слагаемых,

èзначит, она равна 0.

3.Напомним, что если = fi1 < : : : < img, òî u = ui1 ^ : : : ^ uim .

Доказательство. Матричное равенство из формулировки теоремы

означает, что для каждого i вектор vi

n

P

Aijuj векторов u1; : : : ; un. Сосчитаем внешнее произведение век-

j=1

торов v1; : : : ; vm в алгебре ^V :

(перемножаем суммы, выбрав в каждом сомножителе по слагаемому, перемножив их и сложив все такие произведения)

X

=A1j1 : : : Amjm (uj1 ^ ^ ujm ):

j1;:::;jn

В получившейся сумме много нулевых слагаемых: если среди индексов j1; : : : ; jm есть два одинаковых, то по лемме 5 uj1 ^ ^ ujm = 0. Поэтому в сумме можно оставить лишь те слагаемые, для которых все индексы j1; : : : ; jm различны.

Сгруппируем вместе те слагаемые, для которых множество индексов fj1; : : : ; jmg одно и то же, хотя порядок, в котором встречаются эти индексы, может быть различным. Тогда сумму по всем попарно

34

различным индексам j1; : : : ; jm можно представить в виде двойной суммы

XX

;

j j=m (j1;:::;jm)

2P( )

где через P( ) обозначено множество всех перестановок множества. Поэтому

X X

v1 ^ : : : ^ vm = A1j1 : : : Amjm (uj1 ^ ^ ujm ) =

j j=m (j1;:::;jm)

2P( )

2P( )

4. Теорема Бине Коши

Мы знаем, что определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей. Но об определителе произведения можно говорить не только для квадратных матриц: произведение m n и n m квадратная матрица порядка m, и

можно сосчитать е¼ определитель. Теорема, которую мы собираемся

доказать, описывает, чему равен этот определитель.

Выше для матрицы A 2 km n и для любого подмножества множества f1; : : : ; ng мы определили определили подматрицу A , состо- ящую из всех строк и из столбцов с номерами из . Аналогично, для подмножества множества f1; : : : ; mg будем обозначать через A подматрицу A, состоящую из всех столбцов и из строк с номерами из .

Теорема 7 (Áèíå Êîøè). Пусть k поле, и пусть A 22 km n,

B 2 kn m матрицы, имеющие соответственно m строк, n столбцов и n строк, m столбцов. Тогда

;:::;n j j=m

(словами: определитель матрицы AB равен сумме произведений всевозможных определителей порядка m, составленных из столбцов матрицы A, на соответствующие им определители, составленные из строк матрицы B).

35

Доказательство. Пусть V векторное пространство над k, размерность которого не меньше m, и пусть u1; : : : ; um линейно независи- мые векторы из V . Положим

Лемма 7. Для любого подмножества множества f1; : : : ; ng, состоящего из m элементов, выполняется соотношение

v = jB j(u1 ^ : : : ^ um):

Доказательство. Пусть = fi1 < : : : < img. Вырежем в обеих ча- стях равенства

B . C = B B . C @ A @ A

vn um

подматрицы, состоящие из строк, номера которых принадлежат . Для любого s, 1 s m, is-я строка правой части равна произведению на столбец из векторов uj is-й строки матрицы B, то есть s-й строки матрицы B . Таким образом,

0 1 0 1 vi1 u1

B . C = B B . C: @ A @ A

vim um

По теореме 4 отсюда следует, что

v = vi1 ^ : : : ^ vim = jB j(u1 ^ : : : ^ um):

Вернемся к доказательству теоремы 7. Пользуясь теоремами 4, 6 и леммой 7, сосчитаем двумя способами произведение w1 ^ : : : ^ wm:

w1 ^ : : : ^ wm = jABj(u1 ^ : : : ^ um);

=m

36

Сравнивая эти выражения и учитывая, что u1 ^ : : : ^ un 6= 0, потому

;:::;n j j=m

5. Теорема Лапласа

Как мы знаем, определитель можно разложить по любой строке: он равен сумме произведений элементов этой строки на их алгебраиче- ские дополнения. Оказывается, похожим образом определитель можно разложить по нескольким строкам или столбцам. Этот результат называется теоремой Лапласа. Прежде, чем сформулировать его, дадим несколько определений.

Пусть A квадратная матрица порядка n с компонентами из поля k. Для любых подмножеств ; множества f1; : : : ; ng обозна-

чим через A подматрицу A, составленную из строк с номерами изи столбцов с номерами из . Если j j = j j = m, то матрица A

квадратная, и можно сосчитать е¼ определитель. Этот определитель jA j называется минором порядка m, составленным из строк матрицы A с номерами из и столбцов с номерами из . Минор jA{{ j, составленный из остальных строк и столбцов матрицы A, называ-

ется дополнительным к jA j минором (напомним, что символом {

обозначается дополнение множества). Алгебраическим дополнением минора jA j называется дополнительный к jA j минор, взятый со

PP

i+ j

знаком ( 1)i2 j2 .

Теорема 8 (теорема Лапласа). Пусть A квадратная матрица порядка n с компонентами из поля. Выберем любые m строк (столбцов) этой матрицы (1 m < n). Определитель матрицы A равен сумме произведений всевозможных миноров порядка m, со-

ставленных из выбранных строк (столбцов), на их алгебраические дополнения.

Используя введенные выше обозначения, теорему Лапласа для строк можно переписать следующим образом. Пусть A 2 kn, и пустьподмножество множества f1; : : : ; ng, состоящее из m элементов,

где 1 m < n. Тогда

PP

Xi+ j

Доказательство. Докажем теорему в предположении, что выбранные строки это первые m строк матрицы A, так что = f1; : : : ; mg;

37

поскольку мы знаем, как ведет себя определитель при перестановке строк, отсюда легко получается, что теорема выполняется и для произвольного множества выбранных строк. Как и при доказательстве предыдущих теорем, рассмотрим пространство V размерности

по крайней мере n, и выберем в этом пространстве n линейно независимых векторов u1; : : : ; un. Далее, положим

0 1 0 1 v1 u1

B . C = A B . C:

@ A @ A vn un

Тогда по теореме 4

v1 ^ : : : ^ vn = jAj(u1 ^ : : : ^ un):

Сосчитаем то же внешнее произведение другим способом. Обозначим через B, C подматрицы A, составленные из всех столбцов и

соответственно первых m и последних n m строк. Тогда

В последней сумме много нулевых слагаемых: если и имеют непустое пересечение, то u ^ u = 0. Поэтому можно оставить лишь те слагаемые, для которых и не пересекаются. Но тогда из условий

; f1; : : : ; ng; \ = ;; j j = m; j j = n m

следует, что = { . Таким образом,

X

v1 ^ : : : ^ vn = jB j jC{ j(u ^ u{ ) =

j j=m

X

=jB j jC{ j(( 1)I(;{))u [{ =

j j=m

38

=m

(в предпоследнем преобразовании мы воспользовались леммой 2). Сравнивая два полученных выражения для v1 ^ : : : ^ vn и учиты- âàÿ, ÷òî u1 ^ : : : ^ un 6= 0, потому что векторы v1; : : : ; vn линейно независимы, находим, что

PP

Xi+ j

Остается заметить, что B = A , C{ = A{{ .

x 4: Внешняя алгебра на дуальном пространстве

1. Каноническое спаривание внешних алгебр на пространстве и дуальном к нему

Пусть V конечномерное векторное пространство над полем k, V дуальное к нему пространство. Тогда существует единственное билинейное спаривание h::; ::i внешних алгебр ^V

Это спаривание невырождено слева и справа, так что пространство ^V канонически изоморыноа пространству (^V ) , дуальному

ê ^V .

Доказательство. Пусть e1; : : : ; en какой-то базис V , а e1; : : : ; enдуальный ему базис V . Для подмножества = fi1 < : : : < img

множества f1; : : : ; ng мы обозначаем через e внешнее произведение

ei1 ^ : : : ^ eim . По аналогии будем обозначать внешнее произведение ei1 ^ : : : ^ eim через e . Векторы e , e , где пробегает все подмножества множества f1; : : : ; ng составляют базисы пространств ^V ,

39

^V . Определим спаривание этих пространств, задав его на элементах этих базисов формулой

Обычным образом проверяется, что это спаривание невырождено слева и справа. Остается показать, что для него выполняется ха-

рактеристическое свойство, указанное в формулировке теоремы. Пусть v1; : : : ; vm 2 V , v1; : : : ; vr 2 V . Существуют такие матрицы

A 2 km n, B 2 kr n, ÷òî

Пусть теперь r = m; тогда, используя на последнем шагу теорему Бине Коши, мы получаем:

Остается заметить, что для любых 1 i; j m

nn

nn

XX

40