algebra

Поэтому

Линейное отображение переводит левую часть этого равенства в S T = (S 0 T ), а правую в

Таким образом,

Св¼ртка тензора. Пусть T (p; q)-тензор, где обе валентности p, q не меньше 1. Выберем s p, t q; св¼ртка тензора T по s-му нижнему и t-му верхнему индексам сопоставляет ему (p 1; q 1)-

тензор. Чтобы не загромождать обозначения, ограничимся описанием св¼ртки для (3; 2)-тензора по второму нижнему и первому верх-

нему индексам; из этого примера станет совершенно ясно, как опре-

делить св¼ртку в общем случае.

Пусть T 2 V1 V2 V3 V1 V2, ãäå V1 = V2 = V , V1 = V2 = V3 =

V . Ñâ¼ðòêà 12 это композиция канонических гомоморфизмов

= (V V ) (V V V ) ! k (V V V ) ! V V V;

где композиция соответствующих изоморфизмов "ассоциативности" и "коммутативности", гомоморфизм св¼ртки из предложения 16, сопоставляющий тензорному произведению v v элемент v (v), 1 тождественный изоморфизм V V V на себя, 3 канонический изоморфизм из предложения 12. Ясно, что

21

Итак, координаты св¼ртки получаются приравниванием соответствующих верхнего и нижнего индексов и суммированием по этому об-

щему индексу:

n

Отметим, что, как обычно бывает в теории тензоров, по индексу i,

который имеется вверху и внизу, производится суммирование. Часто операция св¼ртки комбинируется с тензорным произведе-

нием тензоров: сначала несколько тензоров перемножаются, а затем в произведении осуществляются св¼ртки. Например, пусть A; B 2

V V , координаты которых Ais, Bjt записаны в виде компонент мат- риц, которые мы тоже обозначаем через A и B, причем верхние ин-

дексы обозначают номера строк, а нижние номера столбцов этих матриц. Пусть C = 21(A B); тогда для любых i; j; s; t

X

(A B)itsj = AisBjt; Cji = ( 21(A B))ij = AisBjs: s

Мы видим, что Cji компоненты произведения матриц A и B. Таким образом, произведение матриц это их тензорное произведение с последующей св¼рткой.

5. Тензоры на пространствах с невырожденной би-

линейной формой. Поднятие и опускание индексов

x 4: Полилинейные отображения

Пусть U1; : : : ; Un векторные пространства над полем k, и пусть Vеще одно векторное пространство над k. Рассмотрим декартово

22

произведение U1 : : : Un пространств U1; : : : ; Un. Напомним, что

U1 : : : Un = f (u1; : : : ; un) j ui 2 Ui äëÿ âñåõ i; 1 i n g:

Отображение : U1 : : : Un ! V называется полилинейным отображением, если для каждого i, 1 i n, и каждых векторов uj 2 Uj, выбранных для всех j 6= i, отображение Ui ! V , сопоставляющее любому элементу u 2 Ui элемент

(u1; : : : ; ui 1; u; ui+1; : : : ; un) 2 V;

является линейным отображением.

Пусть U1; : : : ; Un; V; W векторные пространства над полем k, и пусть : U1 : : : Un ! V полилинейное отображение, а A : V ! W линейное отображение. Тогда

A

U1 : : : Un ! V ! W

тоже полилинейное отображение.

Î

23

Глава XVIII

Внешняя алгебра

x 1: Алгебра Грассмана

1. Число инверсий I(; )

Пусть n положительное целое число, и пусть = fi1 < i2 < : : : < irg, = fj1 < : : : < jsg два подмножества множества f1; 2; : : : ; ng. Если \ пустое множество, то через I(; ) мы будем обозначать число инверсий в перестановке (i1; : : : ; ir; j1; : : : ; jr) множества [ . Иначе говоря, I(; ) это число пар c 2 , d 2 , таких что c > d.

Укажем два свойства символа I(; ), которые нам понадобятся в дальнейшем.

Лемма 1. Пусть ; ; попарно не пересекающиеся подмножества множества f1; : : : ; ng. Тогда

I(; [ ) = I(; ) + I(; ); I( [ ; ) = I(; ) + I(; ):

Доказательство. Лемма очевидна. Пусть элемент c 2 образует инверсию с элементом d 2 [ . Элемент d принадлежит одному и только одному из непересекающихся множеств ; , поэтому число инверсий, образованных элементом c с элементами из [ , складывается из числа инверсий, образованных c с элементами из и числа инверсий, образованных c с элементами из . Это верно для всех элементов из , поэтому I(; [ ) = I(; ) + I(; ). Второе соотношение доказывается аналогично.

Лемма 2. Пусть = fi1 < : : : < img подмножество множества f1; : : : ; ng, а { его дополнение в f1; : : : ; ng. Тогда

m

X

I(; {) = (is s):

s=1

24

Доказательство. Для каждого s m среди is 1 натуральных чи- сел, меньших is, s 1 число (а именно, i1; i2; : : : ; is 1) принадлежит, а остальные (is 1) (s 1) = is s чисел принадлежат { . Таким

2. Алгебра Грассмана

Алгеброй Грассмана Gn размерности n над полем k называется алгебра над k с базисом fe g, где пробегает все подмножества множества f1; : : : ; ng, а произведение базисных элементов задается правилом

Теорема 2. Алгебра Грассмана Gn ассоциативная алгебра с единицей. Е¼ размерность над k равна 2n.

Доказательство. Базисные элементы алгебры Gn занумерованы под- множествами множества из n элементов f1; : : : ; ng, число которых равно 2n; поэтому dim Gn = 2n. Далее, для любого подмножества множества f1; : : : ; ng, очевидно,

I(;; ) = I( ; ;) = 0; ; [ = [ ; = ;

поэтому e; ^ e = e , e ^ e; = e , òàê ÷òî e; единица алгебры Gn. Остается убедиться в ассоциативности алгебры Gn. Для этого до- статочно проверить, что для любых базисных элементов e , e , e

алгебры Gn выполняется соотношение

(e ^ e ) ^ e = e ^ (e ^ e ):

Если хотя два из множеств ; ; имеют непустое пересечение, то оба произведения равны 0; например, если \ 6= ;, то \( [ ) 6= ;, (Gamma \ ) [ 6= ;и тогда

(e ^ e ) ^ e = e [ ^ e = 0; e ^ (e ^ e ) = e ^ ( e [ ) = 0:

Пусть теперь все три множества ; ; попарно не пересекаются. Пользуясь леммой 1, находим:

(e ^e )^e = ( 1)I(;)e [ ^e = ( 1)I(;)( 1)I([ ;)e([)[ = = ( 1)I(;)+I(;)+I(;)e [ [ ;

e ^(e ^e ) = e ^(( 1)I(;)e [ ) = ( 1)I(; [)( 1)I(;)e [([) = = ( 1)I(;)+I(;)+I(;)e [ [ :

Этим доказательство теоремы завершается.

25

x 2: Внешняя алгебра на пространстве

1. Алгебры, порожденные пространством антикоммутирующих векторов

Пусть V векторное пространство над полем k. Далее, пусть A V

алгебра над k, обладающая следующими свойствами:

(1)A ассоциативная алгебра с единицей 1;

(2)åñëè v 2 V A, òî v2 = 0;

(3)V порождает A (это значит, что если B подалгебра A, содержащая V , то B = A).

Изучим свойства таких алгебр.

Лемма 3. uv = vu для любых u; v 2 V .

Доказательство. По свойству (2) для любых u; v 2 V будет (u+v)2 = u2 = v2, поэтому

uv + vu = (u + v)(u + v) u u v v = 0:

Именно поэтому мы говорим, что алгебра порождена антикоммутирующими векторами. Заметим, что если характеристика поля k отлична от 2, то из антикоммутативности следует, что v2 = 0 для любого v 2 V ; однако, над полями характеристики 2 это не так.

Лемма 4. Пусть v1; : : : ; vm любые элементы из V , а (i1; : : : ; im)перестановка множества f1; 2; : : : ; mg. Тогда

vi1 vi2 : : : vim = ( 1)I(i1;:::;im)v1v2 : : : vm:

Доказательство. От натуральной перестановки (1; : : : ; m) к пере-

становке (i1; : : : ; im) можно перейти при помощи S транспозиций соседних элементов, где S I(i1; : : : ; im) (mod 2). Это значит, что произведение v1v2 : : : vm можно перевести в произведение vi1 vi2 : : : vim , совершив S перестановок соседних сомножителей, . Каждая такая

перестановка сомножителей по лемме 3 умножает произведение на1, поэтому

vi1 vi2 : : : vim = ( 1)Sv1v2 : : : vm = ( 1)I(i1;:::;im)v1v2 : : : vm:

Лемма 5. Если среди элементов v1; : : : ; vm 2 V есть равные, то v1 : : : vm = 0.

Доказательство. Пусть vs = vt, s < t. Переставляя vs последова- тельно с vs+1; : : : ; vt 1 и учитывая, что каждая перестановка соседних сомножителей умножает произведение на 1, получим:

v1 : : : vs : : : vt : : : vm = ( 1)t s 1v1 : : : vs 1vs+1 : : : vt 1(vsvt) : : : vm = 0;

потому что vsvt = vs2 = 0.

26

Пусть v1; : : : ; vn любые элементы из V . Для подмножества = fi1 < i2 < : : : < img множества f1; 2; : : : ; ng будем обозначать через v произведение vi1 vi2 : : : vim . Дополним это определение, положив v; = 1.

Лемма 6. Пусть v1; : : : ; vn 2 V , а ; подмножества множества f1; : : : ; ng. Тогда

Если пересечение \ не пусто, то vis = vjt äëÿ каких-то s; t, и в произведении

v v = vi1 : : : vis : : : vim vj1 : : : vjt : : : vjp

есть два одинаковых сомножителя; по лемме 5 это произведение равно 0.

Пусть теперь и не пересекаются. Множество fi1; : : : ; im; j1; : : : ; jpg равно объединению [ . Далее, в перестановке (i1; : : : ; im; j1; : : : ; jp) числа is идут в возрастающем порядке и числа jt идут в возраста- ющем порядке; поэтому инверсии в этой перестановке могут быть только между элементами is 2 è jt 2 . Таким образом,

I(i1; : : : ; im; j1; : : : ; jp) = I( ; ):

Теперь по лемме 4 получаем

v v = vi1 : : : vim vj1 : : : vjp = ( 1)I(i1;:::;im;j1;:::;jp)v [ = ( 1)I(;)v [ :

Предложение 18. Пусть V векторное пространство над полем k, v1; : : : ; vn его базис пространства V , а A V алгебра над полем k, обладающая свойствами (1), (2), (3). Тогда элементы v 2 A, где пробегает все подмножества множества f1; : : : ; ng, порождают A как векторное пространство над k.

Доказательство. Пусть B линейная оболочка всех v . Ýòî ïîä- пространство A. Как видно из леммы 6, произведение двух элементов

такого вида равно 0 или (с точностью до знака) снова является элементом того же вида; поэтому всегда v v 2 B. Отсюда следует, что произведение

свойству (3) A = B.

27

2. Внешняя алгебра на пространстве

Пусть V пространство над полем k размерности n, v1; : : : ; vn åãî базис, A V алгебра над k, обладающая свойствами (1), (2), (3) из предыдущего пункта. Предложение 18 утверждает, что 2n элементов

v , где пробегает все подмножества множества f1; : : : ; ng, порождают A как векторное пространство над k; следовательно, dimk A 2n. Åñëè ïðè ýòîì dimk A = 2n, то A называется внешней алгеброй на

пространстве V .

Для всякого конечномерного векторного пространства V существует единственная с точностью до изоморфизма внешняя

алгебра на V .

(Единственность с точностью до изоморфизма означает, что если A; B V две внешние алгебры на V , то существует изоморфизм

алгебр : A ! B, такой что (v) = v для всех v 2 V ).

Доказательство. Докажем сначала единственность. Пусть A; B Vдве внешние алгебры на V . Для базиса v1; : : : ; vn пространства V

обозначим элементы v , построенные для алгебр A, B соответственно через vA è vB. Элементы vA, vB, построенные для всех подмножеств множества f1; : : : ; ng порождают пространства A и B, и поскольку их

количества равны размерности 2n этих пространств, они составляют базисы A и B. Пусть : A ! B линейное отображение, заданное на элементах базиса пространства A формулой

Поскольку линейное отображение переводит базис пространства A в базис пространства B, оно является изоморфизмом векторных пространств. Остается показать, что согласуется не только с опе-

рациями векторного пространства, но и с умножением, то есть что(xy) = (x) (y) для всех x; y 2 A. Достаточно проверить это для

элементов базиса пространства A. Но это очевидно, так как по лемме 4 для любых подмножеств ; множества f1; : : : ; ng

(vAvA) = (( 1)I(;)vA[ ) = ( 1)I(;)vB[ = vBvB = (vA) (V A):

Докажем теперь существование внешней алгебры на любом пространстве. Сначала рассмотрим алгебру Грассмана Gn и покажем,

что она является внешней алгеброй на подпространстве G1

N пространства Gn, порожденном элементами ef1g; : : : ; efng. По теореме 2 алгебра Gn ассоциативная алгебра с единицей, то есть условие

(1) определения внешней алгебры для Gn выполнено. Размерность этой алгебры равна 2n. Далее, если = fi1 < : : : < img, то, очевидно,

28

e = efi1g ^: : :^efimg; таким образом, все базисные элементы e алгеб- ðû Gn являются произведениями элементов из G1N , откуда следует, ÷òî G1N порождает Gn как алгебру, то есть условие (3) определения

внешней алгебры на G1N

n

вие (2). Пусть e = P aiefig произвольный элемент из G1N (ai 2 k);

i=1

тогда

n

XX

=a2i efig ^ efig + aiaj(efig ^ efjg + efjg ^ efig) =

X

=aiaj(efi;jg efi;jg) = 0:

i<j

Пусть теперь V произвольное конечномерное пространство над полем k. Если dim V = n, то существует изоморфизм пространства

V на n-мерное пространство G1n. Вложим V â Gn при помощи , отождествив произвольный элемент v 2 V с (v) 2 G1n Gn. Тогда пространство V станет подпространством Gn, равным G1n, и потому Gn внешняя алгебра на пространстве V = G1n.

В дальнейшем умножение в единственной с точностью до изоморфизма внешней алгебре на пространстве V мы будем, как и в алгебре

Грассмана, обозначать символом ^, а саму внешнюю алгебру на V будем обозначать через ^V .

3. Базисы внешней алгебры

Для любого базиса v1; : : : ; vn пространства V внешние произведения v , где пробегает все подмножества множества f1; : : : ; ng, составляют базис врешней алгебры ^V .

Доказательство. Напомним, что если = fi1 < : : : < img, òî

v = vi1 ^ : : : ^ vim :

Количество внешних произведений v равно размерности 2n вектор- ного пространства ^V , а по предложению 18 эти произведения порождают все векторное пространство ^V . Следовательно, они составляют базис алгебры ^V .

29

4. Градуировка внешней алгебры

Пусть V векторное пространство размерности n над полем k; для 1 r n обозначим через ^rV подпространство, порожденное всевозможными внешними произведениями r векторов из пространства V . Через ^0V обозначим подпространство алгебры ^V , порожденное единицей этой алгебры.

Предложение 20. (1) Для любого базиса v1; : : : ; vn пространства V произведения v , для которых число элементов j j множества равно r, составляют базис ^rV .

(2) Пространство ^V является прямой суммой подпространств

^0V; ^1V; : : : ; ^nV .

Доказательство. (1). Если = fi1 < : : : < irg, òî v = vi1 ^: : : ^vr 2 ^rV . Покажем, что элементы v , для которых j j = r, порождают

^rV . Из лемм 4 и 5 следует, что для любых j1; : : : ; jr, не обязательно расположенных в порядке возрастания, произведение vj1 ^ : : : ^ vjr либо равно 0 (если среди сомножителей есть одинаковые), либо рав-

íî vfj1;:::;jrg (если все сомножители различны); во всех случаях это произведение принадлежит линейной оболочке элементов v , j j = r. Поэтому для любых

принадлежит линейной оболочке hfv gj j=ri.

Итак, элементы fv gj j=r порождают ^rV ; поскольку они составляют часть базиса пространства ^V , они линейно независимы и, следовательно, составляют базис ^rV .

(2) Объединение базисов fv gj j=r пространств ^rV является базисом внешней алгебры ^V , поэтому

^V = ^0V ^1V : : : ^nV:

Представление пространства в виде прямой суммы подпространств, занумерованных целыми числами, называется градуировкой пространства. Таким образом, мы построили градуировку внешней алгебры

n

M

^V = ^rV:

r=0

Элементы внешней алгебры, принадлежащие ^rV , называются однородными элементами степени r.

30