algebra1

Предложение 11. (1) Определитель не меняется, если к любой его

строке прибавить линейную комбинацию других строк, и он умножается на a, если одну из его строк умножить на элемент a 2 k.

(2) Пусть A; B; C матрицы из kn, и пусть a; b; c их j-е строки. Если a 2 k и a = ab + c, а остальные строки во всех матрицах одинаковы, то jAj = ajBj + jCj.

(3)Определитель матрицы из kn, у которой равны две строки, равен 0.

(4)Если матрица B получена из матрицы A 2 kn перестановкой двух строк, то jBj = jAj.

6 Определитель ступенчатой матрицы

Квадратная матрица называется верхней (нижней) треугольной, если все е¼ компоненты, находящиеся ниже (выше) диагонали, равны 0. Аналогично, разбитые на блоки матрицы

у которых все диагональные блоки квадратные (возможно, разных порядков), а все блоки, стоящие ниже (выше) диагонали, нулевые, называются соответственно верхней и нижней блочно-треугольными матрицами. Ясно, что треугольная матрица это блочно-треугольная матрица, порядки всех диагональных блоков которой равны 1.

Предложение 12. Определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей всех диагональных блоков. В частности, определитель треугольной матрицы равен произведению всех е¼ диагональных элементов.

Доказательство. Поскольку нижняя блочно-треугольная матрица при транспонировании превращается в верхнюю блочно-треугольную матрицу, достаточно ограничиться доказательством утверждения для верхних блочно-треугольных матриц. Далее, достаточно доказать утверждение для случая двух диагональных блоков; общий случай получится отсюда тривиальной индукцией.

Рассмотрим сначала два частных случая.

Лемма 4. Для любой матрицы C 2 km n определитель матрицы

равен 1.

221

Доказательство. Пусть

Для всех i, 1 i m, и всех j, 1 j n, прибавим к (m + j)- му столбцу матрицы A е¼ i-й столбец, умноженный на cij; тогда матрица A превратится в единичную матрицу порядка m + n. Все

эти преобразования не меняют определитель (условие (2) теоремы 1), поэтому jAj = jEm+nj = 1.

Лемма 5. Пусть A 2 km, B 2 kn. Тогда

Доказательство. Оба утверждения доказываются одинаково; докажем первое. Определим функцию f : km ! k, положив для матрицы

Функция f удовлетворяет условиям (1), (2), (3) теоремы 1. Действительно,

а если матрицы B, C получены из матрицы A соответственно прибавлением к j-му столбцу линейной комбинации других столбцов и умножением j-го столбца на элемент a 2 k, то матрицы

Поэтому по теореме 1

222

Теперь легко доказать утверждение предложения 12 и для любой верхней блочно-треугольной матрицы с двумя блоками. Пусть

A C

D = 0 B ;

ãäå A 2 km, B 2 kn, C 2 km n. Разложим блочно-треугольную матрицу D в произведение трех сомножителей:

по предложению 8 определитель матрицы D равен произведению

определителей всех трех сомножителей. Но по лемме 4 определитель среднего сомножителя равен 1, а по лемме 5 определители левого и правого сомножителей равны соответственно jBj, jAj. Таким обра-

çîì, jDj = jBj 1 jAj = jAj jBj:

7 Вычисление определителя

Доказанные свойства определителя дают способ вычисления значе- ния определителя любой матрицы: надо привести матрицу элементарными преобразованиями к треугольной матрице, определитель которой равен произведению диагональных элементов; поскольку мы знаем, как меняется определитель матрицы при элементарных преобразованиях, мы найдем и определитель исходной матрицы.

x 4: Определители над коммутативными ассоциативными кольцами

1 Определитель как целочисленный многочлен

Пусть = Z[x11; : : : ; xnn] кольцо целочисленных многочленов от n2 переменных xij (1 i; j n). Кольцо является областью це-

лостности, и потому оно вкладывается в свое поле отношений K. Определитель всякой матрицы с компонентами из K является элементом поля K. Но если мы возьмем матрицу, компонентами кото- рой являются наши переменные xij, то е¼ определитель будет даже элементом из , то есть целочисленным многочленом от компонент матрицы, потому что по предложению 10

x11 x12 : : : x1n

x21 x22 : : : x2n

223

а это многочлен от xij с целыми коэффициентами (и даже только с коэффициентами 0; 1).

2 Определители над коммутативным ассоциативным кольцом с 1

Пусть R коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, и пусть

матрица с компонентами из R. Е¼ определителем мы будем называть значение многочлена

ïðè xij = aij. Таким образом,

Если R = k поле, то по предложению 10 наше определение совпадает с данным выше определением определителя над полем.

3 Свойства определителей над произвольным кольцом

Выше мы доказали много свойств определителей над полем. При этом зачастую очень существенно использовалось, что основное кольцо это поле. Однако, почти все свойства определителей над полем, как постулированные в определении, так и доказанные выше, остаются справедливыми и для определителей над произвольным ассоциативным коммутативным кольцом с единицей.

Предложение 13. Пусть R коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

224

(1) Определитель матрицы A 2 Rn не меняется, если к любому е¼ столбцу (строке) прибавить другой столбец (строку), умноженный на b 2 R, и он умножается на a, если один из его столбцов

(строк) умножить на элемент a 2 R.

(2) Пусть A; B; C матрицы из Rn, и пусть a; b; c их j-е столбцы (строки). Если a 2 R и a = ab + c а остальные столбцы (строки) во всех матрицах одинаковы, то jAj = ajBj + jCj.

(3)Определитель матрицы из Rn, у которой равны два столбца (две строки), равен 0.

(4)Если матрица B получена из матрицы A 2 kn перестановкой двух столбцов (строк), то jBj = jAj.

(5)Если A; B матрицы из Rn, òî jABj = jAj jBj.

(6)Для любой матрицы A 2 Rn будет jATj = jAj.

(7)Определитель блочно-треугольной матрицы с компонентами

из R равен произведению определителей всех диагональных блоков.

В частности, определитель треугольной матрицы равен произведению всех е¼ диагональных элементов.

Все утверждения по существу представляют собой равенства зна- чений многочленов и доказываются одинаково. Приведем здесь для примера доказательства утверждений (2) и (5).

Доказательство утверждения (2). Пусть K поле отношений кольца целочисленных многочленов от n2 + n + 1 переменных xis, yi, zi, u (1 i; s n, s 6= j). Пусть X; Y; Z 2 Kn матрицы, в i-й строке которых во всех столбцах, кроме j-го, стоят элементы xis, а в j-м столбцесоответственно элементы uyij + zij, yij, zij. Для матриц над полем K свойство (2) уже доказано, поэтому

jXj = ujY j + jZj:

Все определители в этом соотношении целочисленные многочлены от переменных. Придадим переменной u значение a, а всем осталь-

ным переменным значения из R, при которых матрицы Y , Z превратятся в матрицы B, C; тогда матрица X превратится в матрицу A. При таких значениях переменных значения многочленов jXj; jY j; jZj; u равны соответственно jAj; jBj; jCj; a; поскольку значе-

ния суммы и произведения многочленов равны соответственно сумме и произведению значений, мы получаем требуемое равенство

jAj = ajBj + jCj:

Доказательство утверждения (5). Пусть K поле отношений кольца целочисленных многочленов от 2n2 переменных xij; yij, 1 i; j n,

225

и пусть

P

Обозначим через zij = s=1 xisysj компоненты матрицы XY . Для

матриц над полем уже доказано, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей. Таким образом,

Все определители в этом соотношении целочисленные многочлены îò xij; yij, и многочлен в правой части равен произведению многочленов jXj, jY j. Пусть теперь A; B квадратные матрицы порядка n с

компонентами aij; bij 2 R. Ïðè xij = aij, yij = bij значения опреде- лителей jXj, jY j равны соответственно jAj, jBj, значения компонент

zij = xisysj определителя в правой части равенства равны ком- понентам Pns=1 aisbsj произведения AB, а значение самого определи-

теля в правой части равно jABj. Поскольку значение произведения

многочленов равно произведению значений, мы получаем требуемое равенство jAj jBj = jABj.

x 5: Алгебраическое дополнение и минор. Взаимная матрица

1 Алгебраическое дополнение и минор

Всюду в этом параграфе

фиксированная матрица с компонентами из коммутативного ассоциативного кольца с единицей R. Алгебраическим дополнением эле-

мента aij этой матрицы называется определитель матрицы, полученной из матрицы A заменой j-ãî столбца на столбец ei, единственный

226

ненулевой элемент которого равен 1 и стоит в i-й строке, а мино- ром элемента aij называется определитель матрицы, полученной из A выбрасыванием i-й строчки и j-го столбца. Алгебраическое дополнение элемента aij принято обозначать через Aij, а минор через Mij. Таким образом,

а через 0 обозначены нулевые столбцы соответствующих высот.

Замечание. Обычно обозначение Aij используется нами в другом смысле это элемент матрицы A, лежащий на пересечении i-й строки и j-го столбца. Однако, обозначение Aij для алгебраическо- го дополнения элемента aij матрицы A является традиционным, и нам приходится использовать его и в этом смысле. Из контекста всегда будет ясно, что такое Aij элемент матрицы A или алгебраическое дополнение этого элемента.

2 Связь минора и алгебраического дополнения

Предложение 14. Минор и алгебраическое дополнение элемента aij матрицы A связаны соотношением

Aij = ( 1)i+jMij:

Доказательство. Алгебраическое дополнение Aij элемента aij ÿâëÿ- ется определителем матрицы

Y0 Z

Переставим в ней i-ю строку со всеми последующими строками, а затем j-й столбец со всеми последующими столбцами; в результате

227

этих (n i) + (n j) перестановок строк и столбцов определитель умножится на ( 1)2n i j = ( 1) i j, а сама матрица примет вид

0 1

W X 0

@Y Z 0A:

L R 1

Эта матрица блочно-треугольная, поэтому по предложению 12 е¼ определитель ( 1) i jAij равен произведению определителей диаго-

нальных блоков. Таким образом,

3 Тождества для элементов матрицы и их алгебраических дополнений

Предложение 15. Для любых индексов i; j выполняются соотношения

Иными словами, сумма произведений элементов любой строки матрицы A на их алгебраические дополнения равна определителю мат-

рицы A, а сумма произведений элементов любой строки матрицы A на алгебраические дополнения элементов другой строки равна 0; точно так же, сумма произведений элементов любого столбца матрицы A на их алгебраические дополнения равна определителю матрицы A, а сумма произведений элементов любого столбца матрицы A на алгебраические дополнения элементов другого столбца равна 0.

Доказательство. Поскольку минор Mij, а значит, и алгебраическое дополнение Aij = ( 1)i+jMij не меняются при транспонировании, достаточно по предложению 9 доказать утверждение лишь для столбцов. Подставим в матрицу A вместо j-го столбца е¼ i-й столбец

По предложению 3 определитель получившейся матрицы B равен линейной комбинации определителей Aij матриц, полученных из мат- рицы A заменой j-го столбца на столбец ei, с коэффициентами aij. Íî

228

при j = i получившаяся матрица B ничем не отличается от матрицы A (мы заменили j-й столбец на него же), а при j 6= i у матрицы B два одинаковых столбца (j-й и i-й), так что она вырождена и потому ее определитель равен 0. Таким образом,

4 Взаимная матрица

Соотношения из только что доказанного предложения удобно записать в матричной форме. Составим из алгебраических дополнений всех элементов матрицы A матрицу

Обратим внимание на то, что алгебраическое дополнение элемента aij стоит в матрице Ae не в i-й строке и j-м столбце, а на симметрич-

ной позиции в j-й строке и i-м столбце, так что (Ae)ji = Aij. Ýòà

матрица Ae называется взаимной (или присоединенной) для матрицы

A. Как легко убедиться, мы можем, используя взаимную матрицу, пе-

реписать свойства алгебраических дополнений из теоремы 15 в виде компактных матричных равенств.

Теорема 2. AAe = AAe = jAj E.

Доказательство. Для любых индексов i; j

так что элемент, стоящий в i-й строке и j-м столбце матрицы AAe, такой же, как элемент матрицы jAj E, занимающий ту же пози-

цию. Точно так же доказывается, что совпадают соответствующие элементы матриц AAe , jAj E.

Следствие. Пусть A невырожденная квадратная матрица с компонентами из некоторого поля k. Тогда обратная к ней матрица находится по формуле

A 1 = jA1j Ae :

229

Доказательство. В самом деле, поскольку матрица A невырождена, е¼ определитель отличен от 0, и выражение jA1j Ae осмысленно. Оста- ется проверить, что эта матрица является обратной к матрице A; но

это сразу следует из основного тождества для взаимной матрицы:

x 6: Определитель Вандермонда

Пусть a1; a2; : : : ; an элементы какого-то коммутативного ассоциативного кольца с единицей R. Определителем Вандермонда называется определитель

Для вычисления этого определителя вычтем из каждого его столбца, начиная с последнего, предыдущий столбец, умноженный на a1:

V (a1; a2; a3; : : : ; an) =

Получившийся определитель раскладывается в произведению единственного ненулевого элемента 1 первой строки на его алгебраическое дополнение, которое здесь совпадает с минором; таким образом, наш определитель равен

230