algebra1

Доказательство. Пусть = (i; j), и пусть p2; : : : ; pn 2 все элемен-

ты из f1; : : : ; ng, отличные от i, j. Тогда = (i; j)(p1) : : : (pn 2). Таким образом, k( ) = n 1 и sgn( ) = ( 1)n+(n 1) = 1.

Лемма 5. Если транспозиция, то для любой подстановки из группы Sn справедливо соотношение sgn( ) = sgn( ).

Доказательство. Достаточно доказать, что k( ) = k( ) 1. Пусть

= (i; j), = 1 2 : : : k, ãäå 1; : : : ; k попарно не пересекаю- щиеся циклы, объединение которых совпадает со всем множеством f1; : : : ; ng (так что k = k( )). Возможны два случая.

Случай 1. Элементы i, j принадлежат одному циклу. Меняя, если нужно, нумерацию циклов, мы можем считать, что i и j принадлежат циклу k, òî åñòü ÷òî k = (i; p1; : : : ; pr; j; q1; : : : ; ql). Тогда

= 1 : : : k 1(i; p1; : : : ; pr; j; q1; : : : ; ql)(i; j) =

=1 : : : k 1(i; q1; : : : ; ql)(j; p1; : : : ; pr):

Âпоследнем произведении все циклы попарно не пересекаются, и каждый элемент из f1; : : : ; ng принадлежит какому-то из циклов; по-

этому k( ) = k + 1 = k( ) + 1.

Случай 2. Элементы i, j принадлежат разным циклам. Меняя,

если необходимо, нумерацию циклов, мы можем считать, что элемент i принадлежит циклу k 1 = (i; q1; : : : ; ql), а элемент j следующему за ним циклу k = (j; p1; : : : ; pr). Тогда

= 1 : : : k 2(i; q1; : : : ; ql)(j; p1; : : : ; pr)(i; j) =

=1 : : : k 2(i; p1; : : : ; pr; j; q1; : : : ; ql):

Âпоследнем произведении все циклы попарно не пересекаются, и каждый элемент из f1; : : : ; ng принадлежит какому-то из циклов; по-

этому k( ) = k 1 = k( ) 1.

Лемма 6. Если 2 Sn произведение r транспозиций (не обязательно попарно не пересекающихся), то sgn( ) = ( 1)r.

Доказательство. Индукция по r; при r = 1 наше утверждение сов-

падает с леммой 4. Пусть теперь = 1 : : : r, ãäå r > 1 è 1; : : : ; rтранспозиции, и пусть уже доказано, что sgn( 1 : : : r 1) = ( 1)r 1.

По лемме 5

sgn( ) = sgn( 1 : : : r 1 r) = sgn( 1 : : : r 1) = ( 1)r 1 = ( 1)r:

Доказательство теоремы 3. По теореме 2, подстановки и раскладываются в произведения транспозиций. Пусть произведение

341

l транспозиций, а произведение r транспозиций; тогда произведение l + r транспозиций, и по лемме 6

sgn( ) = ( 1)l+r = ( 1)l( 1)r = sgn( ) sgn( ):

А это и означает, что отображение sgn является гомоморфизмом групп.

Следствие. Если одна и та же подстановка представлена в виде произведения r транспозиций и l транспозиций, то числа r и l имеют одинаковую четность.

Доказательство. По лемме 3, ( 1)r = sgn( ) = ( 1)l.

Ядро гомоморфизма sgn : Sn ! f1g называется знакопеременной группой порядка n и обозначается через An. Знакопеременная группа состоит из всех подстановок, в любом представлении которых в произведение транспозиций четное число сомножителей.

4 Знак подстановки и инверсии в соответствующей перестановке

На множестве f1; 2; : : : ; ng есть естественный порядок, и это позволя-

ет дать другой способ вычисления знака подстановки, не требующий предварительного разложения подстановки в произведение циклов или транспозиций. Напомним, что набор (i1; : : : ; in) из n-й декартовой степени множества f1; 2; : : : ; ng называется перестановкой этого

множества, если все его компоненты is различны; тогда среди чи- ñåë i1; : : : ; in встречаются все числа 1; : : : ; n. Элементы is, it îáðà- зуют инверсию в перестановке i1; i2; : : : ; in, если числа s t, is it разных знаков, то есть большее число предшествует меньшему. Общее количество инверсий в перестановке i1; : : : ; in

I(i1; : : : ; in).

Теорема 4. Пусть 2 Sn; тогда sgn( ) = ( 1)I( (1); (2);:::; (n)).

Доказательство. Подстановка раскладывается в произведение транс-

позиций 1; : : : ; m; по лемме 6 sgn( ) = ( 1)m, и потому достаточно доказать индукцией по m, что ( 1)I( (1);:::; (n)) = ( 1)m. Åñëè m = 0,

то тождественная подстановка, и в подстановке

(( (1); : : : ; (n))) = (1; : : : ; n)

нет инверсий, так что ( 1)I( (1);:::; (n)) = ( 1)0 = ( 1)m. Индукцион-

ный переход, очевидно, сводится к следующему утверждению: если0 2 Sn, а = (s; t) транспозиция, то

( 1)I( 0 (1);:::; 0 (n)) = ( 1)I( 0(1);:::; 0(n)):

342

Но (s) = t, (t) = s, следовательно 0 (s) = 0(t), 0 (t) = s, à åñëè r 6= s; t, òî 0 (r) = 0(r). Поэтому перестановка

( 0 (1); ::; 0 (s); ::; 0 (t); ::; 0 (n)) = ( 0(1); ::; 0(t); ::; 0(s); ::; 0(n))

получается из перестановки ( 0(1); ::; 0(s); ::; 0(t); ::; 0(n)) переменой местами элементов 0(s) è 0(t), и по лемме 1 из главы VIII

( 1)I( 0 (1);:::; 0 (n)) = ( 1)I( 0(1);:::; 0(n)):

Замечание. Благодаря теореме 4 мы можем переписать явные фор-

мулы, выражающие определитель матрицы через е¼ компоненты, используя вместо суммирования по перестановкам суммирование по элементам симметрической группы:

x 5: Действия над подмножествами группы. Смежные классы

1 Умножение и обращение подмножеств группы

Во многих случаях оказывается полезным выполнять действия не над отдельными элементами группы, а над е¼ произвольными подмножествами.

Пусть G группа, X; Y ее подмножества (быть может, одно из этих подмножеств, или даже оба, пустое). Их произведением XY называется множество всех элементов вида xy, где x 2 X, y 2 Y . Обратным к множеству X называется множество X 1 всех элементов âèäà x 1, где x пробегает множество X. Таким образом,

XY = fxy j x 2 X; y 2 Y g; X 1 = fx 1 j x 2 Xg:

Одноэлементные подмножества группы G мы будем отождествлять с самими этими элементами и писать g вместо fgg.

Предложение 17. Для любых подмножеств X; Y; Z группы G выполняются соотношения

(XY )Z = X(Y Z); (XY ) 1 = Y 1X 1; (X 1) 1 = X; eX = Xe = X

(как обычно, через e обозначена единица группы G).

343

Доказательство. Действительно,

(XY )Z =fuz j u2XY; z 2Zg=f(xy)z j x2X; y 2Y; z 2Zg=

=f(x(yz) j x2X; y 2Y; z 2Zg=f(xv j x2X; v 2Y Zg=X(Y Z); (XY ) 1 =fv 1 j v 2XY g=f(xy) 1 j x2X; y 2Y g=

=fy 1x 1 j x2X; y 2Y g=fuv j u2Y 1; v 2X 1g=Y 1X 1;

Предложение 18. Пусть H непустое подмножество группы G. Следующие условия равносильны:

(1)H подгруппа группы G;

(2)HH = H, H 1 = H;

(3)HH H, H 1 H;

(4)H 1H = H;

(5)HH 1 = H;

(6)H 1H H;

(7)HH 1 H.

Доказательство. Поскольку включения (2))(3))(6), (2))(4))(6),

(2))(5))(7) тривиальны, остается доказать только, что (1) )(2),

(6))(1), (7))(1).

(1))(2). Если H подгруппа G, то e 2 H, и потому

HH He = fhe j h 2 Hg = fh j h 2 Hg = H;

обратное включение HH H очевидно, потому что произведение любых двух элементов из подгруппы H принадлежит H. Далее, если h 2 H, то h 1 2 H, и потому H 1 = fh 1 j h 2 Hg H. Отсюда следует и обратное включение: H = (H 1) 1 H 1.

(6))(1). Условие H 1H H означает, что для любых элементов h1; h2 2 H элемент h1 1h2 принадлежит H; по лемме 2 это равносильно тому, что H подгруппа G.

Точно так же показывается, что (7) )(1).

Предложение 19. Для того чтобы подгруппа H группы G была

нормальной подгруппой, необходимо, чтобы для всех подмножеств K группы G выполнялись соотношения KH = HK, и достаточ-

но, чтобы эти соотношения выполнялись для всех одноэлементных подмножеств (то есть чтобы для каждого элемента g 2 G было

gH = Hg).

344

Доказательство. Пусть H нормальная подгруппа группы G; тогда для любых элементов h 2 H, g 2 G элементы ghg 1 = (g 1) 1hg 1 è g 1hg, принадлежат H. Поэтому для любого подмножества K G

KH = fkh j k 2 K; h 2 Hg = f(khk 1)k j k 2 K; h 2 Hg HK; HK = fhk j k 2 K; h 2 Hg = fk(k 1hk) j k 2 K; h 2 Hg KH;

так что KH = HK. Обратно, если gH = Hg для всех g 2 G, то для любых h 2 H, g 2 G элемент hg принадлежит Hg = gH, и потому элемент g 1hg принадлежит множеству g 1gH = eH = H, а это и значит, что H нормальная подгруппа G.

2 Смежные классы

Пусть G группа, а H е¼ подгруппа. Подмножество X группы G называется левым смежным классом группы G по подгруппе H, если существует такой элемент g 2 G, что X = gH. Множество всех левых смежных классов группы G по подгруппе H обозначается через G=H; это подмножество множества P (G) всех подмножеств группы G.

Предложение 20. Пусть H подгруппа группы G, и пусть X левый смежный класс G по H. Для любого элемента x 2 X смежный класс X равен xH.

Доказательство. Поскольку X левый смежный класс G по H, существует элемент g 2 G, такой что X = gH. Далее, x 2 X = gH, поэтому существует такой элемент h 2 H, что x = gh, и значит

xH = ghH g H H = gH; gH = xh 1H x H H = xH:

Предложение 21. Пусть H подгруппа группы G. Левые смежные классы G по H либо совпадают, либо не пересекаются. Каждый элемент из G принадлежит некоторому левому смежному классу по H.

Доказательство. Второе утверждение очевидно: элемент g = ge принадлежит классу gH. Первое утверждение тоже просто: если в пересечении классов g1H; g2H 2 G=H есть какой-то элемент x, то по предложению 20 g1H = xH = g2H.

Из этого предложения следует, что группа G разбивается в объ-

единение попарно не пересекающихся левых смежных классов группы G по подгруппе H:

[

G = X:

X2G=H

345

3 Теорема Лагранжа

Пусть G группа, а H ее подгруппа; мощность множества левых смежных классов G=H называется индексом подгруппы H в группе G и обозначается (G : H). Если множество G=H конечно, то его мощность, то есть индекс (G : H) это количество элементов в нем. Ясно, что если группа G конечна, то конечен и индекс (G : H);

однако, индекс подгруппы может быть конечен и тогда, когда группа G бесконечна.

Лемма 7. Пусть G группа, H ее подгруппа, а X 2 G=H какойто левый смежный класс группы G по подгруппе H. Для любого элемента g 2 X отображение : H ! X, определенное формулой(h) = gh для любого h 2 H, биективно.

Доказательство. Из предложения 20 мы знаем, что если g 2 X, то

X = gH = fgh j h 2 Hg = f (h) j h 2 Hg;

таким образом, определенное в формулировке леммы отображение действительно отображает H в X, и, более того, на все множество X. Остается доказать инъективность , но и это очевидно: если h1; h2

такие элементы из H, что (h1) = (h2), òî gh1 = gh2, и потому h1 = g 1gh1 = g 1gh2 = h2.

Следствие. Все левые смежные классы группы G по подгруппе H равномощны, и они равномощны подгруппе H. В частности, если подгруппа H конечна, то конечны и все левые смежные классы по H, и каждый из них состоит из такого же количества элементов, как и H.

Напомним, что порядком конечной группы называется число ее элементов.

Теорема 5 (теорема Лагранжа). Пусть G конечная группа, и пусть H ее подгруппа. Тогда подгруппа H и индекс (G : H) тоже конечны, и порядок группы G равен произведению порядка подгруппы H и индекса подгруппы H в группе G.

Доказательство. Как и раньше, будем обозначать число элементов конечного множества A через jAj; используя это обозначение, мы мо-

жем переписать утверждение теоремы Лагранжа в следующем виде:

j Gj = (G : H) j Hj:

Само утверждение теоремы почти очевидно: группа G является объединением (G : H) попарно не пересекающихся левых смежных классов, каждый из которых по лемме 7 состоит из jHj элементов, и поэтому всего в группе G содержится (G : H) jHj элементов.

346

Следствие. Если G конечная группа, то порядок любой ее подгруппы, а также индекс любой подгруппы делят порядок группы G.

Пусть опять G конечная группа, и пусть n = j Gj ее порядок. Далее, пусть g 2 G любой элемент группы G. По предложению 15 порядок циклической подгруппы группы G, порожденной элементом g, равен порядку m этого элемента, то есть наименьшему положительному числу m, такому что gm = e. По только что указанному следствию, порядок n группы G делится на m; тогда j = n=m целое число, и потому gn = gmj = (gm)j = ej = e. Мы доказали,

таким образом, следующее утверждение, которое тоже называется теоремой Лагранжа.

Теорема 6. Пусть G конечная группа порядка n. Порядок любого ее элемента делит порядок n группы G, и gn = e äëÿ âñåõ g 2 G.

Укажем одно теоретико-числовое приложение теоремы Лагранжа. Пусть n 2 натуральное число. Как мы помним, группа

(Z=(n)) обратимых элементов кольца вычетов по модулю n состоит из '(n) элементов (это определение функции Эйлера '(n)); поэто-

му по теореме Лагранжа '(n) = [1]n для любого обратимого класса2 (Z=(n)) . Таким образом, мы снова получили уже известную нам

теорему Эйлера.

4 Правые смежные классы

Выше мы рассматривали только левые смежные классы группы G по подгруппе H, то есть подмножества G вида gH. Но с тем же успехом мы могли бы рассматривать и подмножества Hg, которые естествен-

но называть правыми смежными классами. Точнее говоря, подмножество X группы G называется правым смежным классом группы G

по подгруппе H, если существует такой элемент g 2 G, что X = Hg. Множество всех правых смежных классов группы G по подгруппе H часто обозначается через HnG; как и G=H, множество HnG является подмножеством множества P (G) всех подмножеств группы G.

Для правых смежных классов справедливы все утверждения, доказанные выше для левых смежных классов. Напомним, что мы определили индекс подгруппы в группе как мощность множества левых смежных классов; поэтому, строго говоря, его следовало бы назвать левым индексом. Однако, это не было сделано, потому что, как мы сейчас покажем, мощность множества G=H левых смежных классов

совпадает с мощностью множества HnG правых смежных классов.

Предложение 22. Пусть G группа, а H ее подгруппа. Если X G левый смежный класс по подгруппе H, то X 1 ïðà- вый смежный класс по подгруппе H, и наоборот, если X правый

347

смежный класс по подгруппе H, то X 1

подгруппе H. Отображение, ставящее в соответсвие левому смежному классу X 2 G=H правый смежный класс X 1 2 HnG, является биективным отображением G=H на HnG, и потому множества G=H и HnG равномощны.

Доказательство. Если X левый смежный класс G по H, то существует такой элемент g 2 G, что X = gH, и потому

X 1 = (gH) 1 = H 1g 1 = Hg 1

правый смежный класс. Отображение : G=H ! HnG, определенное формулой (X) = X 1 инъективно: если (X) = (Y ), то

X = (X 1) 1 = ( (X)) 1 = ( (Y )) 1 = (Y 1) 1 = Y:

Оно сюръективно: если Y = Hg любой правый смежный класс, то

Y =(Y 1) 1 =((Hg) 1) 1 =(g 1H 1) 1 =(g 1H) 1 = (g 1H).

Из предложения 19 следует, что если H нормальная подгруппа группы G, то для любого элемента g 2 G содержащие этот элемент левый смежный класс gH и правый смежный класс Hg совпадают. Поэтому в наиболее важном случае нормальной подгруппы H нет

нужды различать правые и левые смежные классы, и незачем использовать обозначение HnG для множества правых смежных клас-

сов: оно совпадает с множеством G=H левых смежных классов.

x 6: Факторгруппы. Теоремы о гомоморфизмах

1 Определение факторгруппы

Вообще говоря, произведение левых смежных классов не обязано быть левым смежным классом. Однако, если H нормальная под-

группа группы G, ситуация упрощается.

Теорема 7. Пусть G группа, а H ее нормальная подгруппа. Произведение любых двух левых смежных классов g1H; g2H 2 G=H как подмножеств группы G снова является левым смежным классом группы G по подгруппе H. Относительно этого умножения множество G=H является группой, а отображение : G ! G=H, определенное формулой (g) = gH эпиморфизмом группы G на группу G=H. При этом Ker = H.

348

Доказательство. Напомним, что если H подгруппа группы G, то HH = H 1 = H, а если H к тому же ещ¼ и нормальная подгруппа G, то gH = Hg для любого элемента g 2 G. Пользуясь свойствами действий над подмножествами группы G, мы получаем теперь:

(g1H)(g2H) = g1(Hg2)H = g1(g2H)H = g1g2HH = (g1g2)H; (gH)H = g(HH) = gH; H(gH) = (Hg)H = (gH)H = H; (gH)(g 1H) = (Hg)(g 1H) = H(gg 1)H = HeH = H;

(g 1H)(gH) = (Hg 1)(gH) = H(g 1g)H = HeH = H:

Из первого из этих равенств следует, что произведение двух смежных классов снова смежный класс, и, таким образом, умножение смежных классов задает бинарную операцию на множестве G=H. Осталь-

ные равенства показывают, что смежный класс H = eH является для этого умножения единичным элементом, а смежный класс g 1Hобратным к смежному классу gH. Введенное умножение на G=H

ассоциативно, потому что ассоциативно умножение любых подмножеств группы G. Таким образом, G=H является группой. Тот факт,

что отображение , сопоставляющее элементу g 2 G смежный класс gH 2 G=H, является гомоморфизмом групп, тоже следует из первого

из полученных выше соотношений. Этот гомоморфизм сюръективен: если X 2 G=H, то X = gH для любого элемента g 2 X, и потому

X = gH = (g). Наконец, (g) = eG=H = H тогда и только тогда, когда gH = H, то есть когда g 2 H, и, таким образом, Ker = H.

Построенная в теореме 7 группа G=H называется факторгруппой группы G по нормальной подгруппе H, а гомоморфизм : G ! G=Hканоническим эпиморфизмом группы G на факторгруппу G=H.

2 Теоремы о гомоморфизмах

Прежде, чем перейти к утверждениям, которые принято называть теоремами о гомоморфизмах, рассмотрим взаимоотношения между факторгруппами группы и ее подгруппы по одной и той же нормальной подгруппе. Пусть G группа, H ее подгруппа, а K подгруп-

па группы H. Всякий левый смежный класс hK группы H по подгруппе K является в то же время и смежным классом по подгруппе K в группе G; таким образом, множество H=K левых смежных классов группы H по подгруппе K является подмножеством множества G=K левых смежных классов группы G по той же подгруппе K.

Предложение 23. Пусть G группа, H ее подгруппа, а K подгруппа группы H. Если K нормальная подгруппа группы G, то K является и нормальной подгруппой группы H. При этом факторгруппа H=K является подгруппой факторгруппы G=K.

349

Доказательство. Все совершенно очевидно. Пусть K нормальная подгруппа группы G; тогда gK = Kg для любого элемента g 2 G. В частности, hK = Kh для любого h 2 H G, и потому K нормальная подгруппа группы H.

Мы уже видели, что H=K G=K; для любых смежных классов h1K; h2K из факторгруппы H=K группы H по нормальной подгруппе K мы имеем:

(h1K)(h2K) 1 = (h1K)(K 1h2 1) = h1((KK 1)h2 1) = h1(Kh2 1) = = h1(h2 1K) = (h1h2 1)K 2 H=K:

Следовательно, H=K подгруппа группы G=K.

Теорема 8. Пусть ' : G ! K гомоморфизм групп, и пусть H нормальная подгруппа G, а канонический эпиморфизм группы G на факторгруппу G=H. Если H Ker ', то существует единственное отображение : G=H ! Im ', такое что ( (g)) = '(g) для всех g 2 G. Это отображение является гомоморфизмом групп; его образ Im совпадает со всей группой Im ', а ядро Ker равно подгруппе Ker '=H группы G=H.

Доказательство. Если такое отображение существует, то оно един-

ровке леммы свойством: для любого g 2 G выполняется равенство

( (g)) = (gH) = 0(g).

То, что гомоморфизм, практически очевидно: если g1H, g2Hлюбые смежные классы из G=H, то

(g1H g2H) = ( (g1) (g2)) = ( (g1g2)) = '(g1g2) = '(g1)'(g2) = = ( (g1)) ( (g2)) = (g1H) (g2H):

Образ Im гомоморфизма : G=H ! Im ' содержится в Im ' по самому определению этого гомоморфизма. Обратно, пусть k 2 Im '; тогда существует такой элемент g 2 G, что '(g) = k, и поэтому

k = '(g) = (gH) 2 Im :

350