Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

algebra1

.pdf
Скачиваний:
21
Добавлен:
21.03.2016
Размер:
1.92 Mб
Скачать

произведение двух положительных и произведение двух отрицательных чисел положительно, а произведение двух чисел разных знаков отрицательно;

абсолютная величина произведения двух вещественных чисел равна произведению абсолютных величин сомножителей;

логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов сомножителей;

если a положительное, а x и y произвольные вещественные числа, то ax+y = axay.

На языке теории групп это означает, что отображения ; :

R

 

! R

,

: R+ ! R+, : R+ ! R , определенные формулами

 

 

 

(x) = 1;

åñëè

x < 0;

(x) = jxj; (x) = log x;

(x) = ax;

1;

åñëè

x > 0,

 

 

 

 

 

 

являются гомоморфизмами групп.

С несколькими гомоморфизмами мы встречались и при изучении комплексных чисел. Хорошо запомнившиеся утверждения: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, на языке теории групп означают, что отображения

j j; r(cos ' + i sin ') cos ' + i sin '

( 2C ; r; '2R; r > 0)

являются гомоморфизмами из C соответственно в R+

è â T . Íà-

конец, еще один пример гомоморфизма доставляет экспонента ком- плексного числа exp : C+ ! C , которая, напомним. сопоставляет

комплексному числу = a + bi 2 C (где a и b вещественные числа) число e = ea(cos b + i sin b).

Как и для модулей комплексных чисел отображение, сопоставляющее кватерниону его норму является гомоморфизмом из H в R :

мы доказывали, что норма произведения кватернионов равна произведению норм сомножителей. В одной из следующих глав мы увидим, что важную роль играет ядро этого гомоморфизма группа кватернионов, норма которых равна 1.

4 Полная линейная группа и е¼ подгруппы

Пусть k поле, а n 1 целое число. Мультипликативная группа kn кольца матриц порядка n над полем k называется полной линейной группой порядка n над полем k; обычно она обозначается через

GL(n; k) èëè GLn(k). Поскольку обратимые элементы кольца матриц это то же самое, что невырожденные матрица, или матрицы с

331

определителем, отличным от 0, полная линейная группа состоит из всех невырожденных матриц порядка n над k (иными словами, из

всех матриц с ненулевыми определителями).

Одна из теорем об определителях звучала так: определитель про-

изведения равен произведению определителей. Таким образом, отображение det : GL(n; k) ! k , сопоставляющее каждой матрице A из

GL(n; k) е¼ определитель jAj, является гомоморфизмом групп. Ядром гомоморфизма det : GL(n; k) ! k является подгруппа

полной линейной группы, состоящая из всех матриц, определитель которых равен 1. Эта подгруппа называется специальной линейной группой порядка n над полем k; стандартное обозначение для специ-

альной линейной группы SL(n; k) или SLn(k).

Нам уже известны и другие подгруппы полных линейных групп. Мы видели, что произведение ортогональных матриц и матрица, обратная к ортогональной снова ортогональные матрицы. Таким образом, ортогональные матрицы составляют подгруппу O(n) группы

GL(n; R). Эта группа называется ортогональной группой. Если C ортогональная матрица, то E = C>C, поэтому

1 = jEj = jC>j jCj = jCj2;

значит, определитель ортогональной матрицы может быть равен только +1 или 1. Ортогональные матрицы с определителем +1 называ-

ются собственно ортогональными матрицами; множество SO(n) всех собственно ортогональных матриц порядка n равно пересечению подгрупп O(n) и SL(n; R) группы GL(n; R) и потому тоже является подгруппой GL(n; R). Аналогично, множество U(n) всех унитарных матриц порядка n и множество SU(n) унитарных матриц, определитель которых равен 1, являются подгруппами группы GL(n; C).

В полной линейной группе GL(n; k) есть много и других подгрупп. Укажем, не вдаваясь в детали, некоторые из них:

группа диагональных матриц порядка n;

группа верхних (нижних) треугольных матриц порядка n;

группа верхних (нижних) блочно-треугольных матриц с фиксированными порядками диагональных блоков n1; : : : ; nr, сумма которых n1 + : : : + nr равна n;

группа перестановочных матриц порядка n.

5 Циклические подгруппы групп

Пусть G произвольная группа, и пусть g 2 G. Как мы видели выше, степени элемента g составляют подгруппу < g > группы G.

332

Далее, отображение ' аддитивной группы целых чисел Z в группу G, определенное формулой '(n) = gn, является гомоморфизмом групп, потому что для любых m; n 2 Z

'(m + n) = gm+n = gmgn = '(m)'(n):

Ясно, что группа <g> совпадает с образом этого гомоморфизма '. Примерами циклических подгрупп служат группы Tn корней n-й степени из 1: группа Tn является циклической подгруппой мультипликативной группы поля комплексных чисел, порожденной любым

первообразным корнем n-й степени из 1.

Пусть G произвольная группа, а g е¼ элемент. Если все степени gi элемента g различны (то есть если gi 6= gj для любых i; j 2 Z, i 6= j), то говорят, что g элемент бесконечного порядка. Пусть теперь существуют такие различные целые числа i; j, что gi = gj; íå ограничивая общности, мы можем считать, что через i обозначено меньшее из этих чисел, так что n = j i > 0. Мы имеем:

gn = gj i = gjg i = gj(gi) 1 = gj(gj) 1 = e:

Таким образом, существуют такие положительные целые числа n, что gn = e; наименьшее из этих чисел называется порядком элемента g. Иначе говоря, если g 2 G элемент конечного порядка n, то n > 0, gn = e, íî gm 6= e ïðè 0 < m < n.

Число элементов конечной группы называется порядком этой группы.

Предложение 15. Пусть G группа, и пусть g 2 G элемент конечного порядка n. Тогда циклическая подгруппа <g> группы G, порожденная элементом g, состоит ровно из n различных элементов e = g0; g; g2; : : : ; gn 1, так что порядок группы <g> равен n.

Доказательство. Эти элементы различны: если 0 i < j < n, то 0 < j i < n и gj i = e, а это противоречит тому, что n наименьшее натуральное число, для которого gn = e. Пусть теперь h любой элемент из <g>; тогда h = gm для какого-то целого числа m 2 Z. По теореме о делении с остатком существуют такие целые числа q; r, что m = nq + r, 0 r < n, поэтому

h = gm = gnq+r = (gn)qgr = eqgr = gr 2 fg0; g1; : : : ; gn 1g:

6 Группы преобразований

Пусть X некоторое множество; преобразованием множества X называется любое биективное отображение X на себя. Обозначим че- рез SX множество всех преобразований f : X ! X множества X. На

333

множестве SX всех преобразований множества X определим умножение, взяв в качестве произведения преобразований f; g : X ! X преобразование f g : X ! X, заданное правилом

(f g)(x) = f(g(x)) для любого x 2 X

(композиция преобразований). Легко видеть, что отображение f g

биективно и потому является преобразованием, то есть элементом SX . Действительно, если x 2 X, то, поскольку f сюръективно, существует элемент y 2 X, такой что f(y) = x, а поскольку g сюръ-

ективно, существует элемент z 2 X, такой что g(z) = y; но тогда (f g)(z) = f(g(z)) = f(y) = x, что показывает сюръективность f g. Далее, если x; y 2 X и (f g)(x) = (f g)(y), то, поскольку отображение f инъективно, g(x) = g(y), а поскольку отображение g инъективно, x = y; таким образом, отображение f g инъективно.

Предложение 16. Относительно введенного умножения множество преобразований SX является группой.

Эта группа называется группой преобразований множества X.

Доказательство. Надо проверить, что выполняются все три аксиомы группы.

Ассоциативность. Для любых f; g; h 2 SX произведения (f g) h и f (g h) равны, потому что для всех x 2 X

((f g) h)(x) = (f g)(h(x)) = f(g(h(x))) = f((g h)(x)) = (f (g h))(x):

Существование единицы. Обозначим через e : X ! X тождественное преобразование X, то есть преобразование, определенное правилом: e(x) = x для любого x 2 X (то, что e биективно и потому является преобразованием, очевидно). Для любого преобразования f 2 SX выполняются соотношения f e = e f = f, так как для любого x 2 X

(f e)(x) = f(e(x)) = f(x); (e f)(x) = e(f(x)) = f(x):

Существование обратного элемента. Пусть f 2 SX ; обозначим через g(x) единственный элемент из X, такой что f(g(x)) = x (такой элемент существует, потому что отображение f сюръективно, и он единствен, потому что f инъективно). В частности, f(g(f(x))) = f(x) и, поскольку f инъективно, g(f(x)) = x для любого x 2 X. Послед-

нее соотношение показывает, что определенное нами отображение g : X ! X сюръективно, а из соотношения f(g(x)) = x сразу следует

инъективность g: если x; y 2 X и g(x) = g(y), то

x = f(g(x)) = f(g(y)) = y:

334

Таким образом, g 2 SX . Покажем, что g обратный к f элемент, то есть что f g = g f = e; действительно, для любого x 2 X

(f g)(x) = f(g(x)) = x = e(x); (g f)(x) = g(f(x)) = x = e(x):

Группа SX всех преобразований множества X важна и сама по себе; однако, многие е¼ подгруппы играют существеннейшую роль во многих областях естествознания (не только математики). Чаще всего эти подгруппы выделяются следующим образом. В качестве X берет-

ся множество, снабженное некоторой дополнительной структурой, и рассматривается множество всех тех преобразований множества X,

которые сохраняют эту структуру. Во многих случаях это множество оказывается подгруппой группы SX . Например, пусть X = E

множество точек аффинного евклидова пространства (скажем, X

плоскость или обычное трехмерное пространство); на н¼м, кроме векторной, есть ещ¼ метрическая структура расстояние между точками. Преобразование множества E, сохраняющее все расстояния

между точками, называется движением аффинного пространства E.

Ясно, что если при каждом из преобразований сохраняются все расстояния между точками, то они сохраняются и при обратных преобразованиях, и при любых композициях этих преобразований. Таким образом, движения аффинного пространства составляют подгруппу группы преобразований.

Более широкой. чем группа всех движений аффинного евклидова пространства E, является группа преобразований подобия E. Преоб-

разование E называется преобразованием подобия, если под его дей-

ствием все расстояния между точками умножаются на одно и то же положительное число, называемое коэффициентом подобия. Ясно, что произведение преобразований подобия снова преобразование подобия (с коэффициентом, равным произведению коэффициентов подобия сомножителей), и что обратное к преобразованию подобиятоже преобразование подобия, так что преобразования подобия аффинного евклидова пространства составляют подгруппу группы всех преобразований этого пространства.

В группе движений аффинного пространства есть много важных подгрупп. Например, все параллельные переносы составляют подгруппу группы движений. Другие примеры подгрупп группы движений получаются следующим образом. Пусть U подмножество

аффинного евклидова пространства E. Рассмотрим множество всех таких движений пространства E, что (U) = U (иначе говоря, для любой точки A 2 U точка (A) принадлежит U, и существует такая точка B 2 U, что (B) = A). Это множество составляет подгруп-

пу группы движений, которая называется группой самосовмещений множества U. Если множество U состоит из единственной точки O,

335

обозначается через

то группа самосовмещений сводится к группе вращений пространства E вокруг точки O.

Пусть теперь множество U состоит из n точек плоскости, лежащих в вершинах правильного n-угольника, или из вершин правильно-

го многогранника в трехмерном пространстве; его группа самосовмещений называется группой вращений правильного n-угольника (со-

ответственно, правильного многогранника). В частности, для трехмерного пространства такими группами могут быть только группы вращений тетраэдра, октаэдра, икосаэдра, куба и додекаэдра. Впро- чем, центры граней октаэдра и икосаэдра являются соответственно вершинами куба и додекаэдра, поэтому любое их самосовмещение является также самосовмещением множеств вершин последних двух многогранников, и потому группы вращений куба и додекаэдра естественным образом отождествляются с группами вращений октаэдра и икосаэдра. Таким образом, существуют лишь три группы вращений правильных многогранников в трехмерном пространстве группы тетраэдра, октаэдра, икосаэдра (слово "вращений" в названиях этих групп обычно опускается).

В качестве ещ¼ одного примера группы самосовмещений укажем кристаллические группы. Пусть E n-мерное евклидово аффинное

пространство. Подмножество L множества E называется решеткой в E, если оно обладает свойствами:

у любой точки A 2 L есть окрестность, не содержащая других точек из L;

существуют n линейно независимых векторов v1; : : : ; vn â ñî- ответствующем E векторном пространстве E, таких что для любой точки A 2 L и любых целых чисел a1; : : : ; an точка A + a1v1 + : : : + anvn тоже принадлежит L.

Группы самосовмещений решеток и называются кристаллическими группами. Они играют важную роль не только в кристаллографии, но и во многих разделах теоретической физики.

x 4: Симметрические группы

1 Группа Sn

Преобразования конечного множества называются его подстановками. В случае, когда X = f1; 2; : : : ; ng, группа SX

Sn и называется симметрической группой порядка n. Элемент 2 Sn полностью задается таблицей значений функции . Такую таблицу, а значит, и саму подстановку , удобно записывать в виде двухстроч- ной таблицы, в верхней строке которой стоят элементы множества

336

f1; 2; : : : ; ng (не обязательно в возрастающем порядке), а под каждым элементом i из этого множества стоит элемент, в который подстановка переводит i. Приведем несколько примеров подстановок из S5:

5

2

4

1

3

;

4

1

5

3

2

;

1

2

3

4

5

:

1

2

3

4

5

 

3

4

1

5

2

 

5

2

4

1

3

 

Отметим, что первые две таблицы задают на самом деле одну и ту же подстановку, а подстановка, описываемая третьей таблицей, обратна к подстановке, задаваемой первыми двумя таблицами.

Нетрудно сосчитать, сколько элементов содержится в группе Sn; их столько же, сколько таблиц вида

 

 

 

1 2 3 : : :

n

;

i1 i2 i3 : : :

in

 

ãäå i1; i2; : : : ; in попарно различные числа из множества f1; 2; : : : ; ng. В качестве i1 мы можем взять любое из n чисел 1; 2; : : : ; n. В каждом из этих n случаев в качестве i2 можно взять любое из n 1 чисел ряда 1; 2; : : : ; n, отличных от i1. Таким образом, для пары i1, i2 åñòü n(n 1) возможностей. Точно так же, для элемента i3 остается n 2 возможности, . . . , для элемента in 1 2 возможности, а последний элемент in уже определяется однозначно. Итак, группа Sn состоит из n(n 1)(n 2) 2 1 = n! элементов.

При записи умножения подстановок знак умножения обычно не

пишется. Отметим, что для обращения подстановки, заданной своей таблицей значений, достаточно поменять местами строки таблицы. Напомним еще, что при умножении подстановок сначала действует правый сомножитель, а затем левый. Приведем несколько примеров вычислений в группе подстановок.

 

 

 

2

 

1

3

2

3 1

=

1 3

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

3

1

 

2

3

=

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

1

2

1 3

3

2

1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

3

1

 

2

3

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

4 1 5 2

 

3 5 2 4 1

 

3

= 3

1

2 4 5

;

 

 

1

2

3

4

 

5

1

2

 

3

4

 

5

 

1

2

3

 

4

5

 

 

 

 

 

 

1 2 3 4 5

 

1

 

1 2 3 4 5

=

 

 

 

 

 

 

 

5 2 4 1 3

 

4 1 5 2 3

 

 

 

 

=

1 2 3 4 5

4 1 5 2 3 = 3 4 1 2 5

:

 

5

2

4

 

1

3

1

 

2

3

 

4

5

 

1

 

2

3

4

5

 

 

337

Сравнивая первые два из этих примеров, замечаем, что уже при n = 3 перестановка сомножителей из группы Sn, вообще говоря, ме- няет произведение. Таким образом, группа Sn неабелева (за исклю- чением случаев n = 1 и n = 2).

2 Разложение подстановки в произведение циклов

Пусть i1; i2; : : : ; ir попарно различные числа из f1; : : : ; ng. Подстановка, переводящая i1 â i2, i2 â i3, . . . , ir 1 â ir, ir â i1, и оставляющая на месте все остальные элементы множества f1; : : : ; ng, называется

циклом и обозначается (i1; i2; : : : ; ir). Число r называется длиной цикла. Цикл (i) длины 1 оставляет все элементы множества X на месте.

Теорема 1. Любую подстановку множества f1; : : : ; ng можно пред-

ставить в виде произведения нескольких циклов, никакие два из которых не содержат одинаковых элементов, причем каждый элемент множества f1; : : : ; ng принадлежит некоторому циклу. Это

представление единственно с точностью до порядка сомножителей.

Доказательство. Прежде, чем начать доказательство, проиллюстрируем теорему примером, который сделает ясным, как ее доказывать. Пусть

=

3

2

7

1

8

5

4

6

:

 

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Подстановка переводит 1 в 3, 3 в 7, 7 в 4, а 4 опять в 1; таким образом, из подстановки выделяется цикл (1; 3; 7; 4). Элемент 2 множества f1; 2; : : : ; 8g не принадлежит этому циклу, и он переводится подстановкой в себя, так что мы выделили еще один цикл (2).

Элемент 5 не содержится ни в одном из уже выбранных циклов, и(5) = 8, (8) = 6, (6) = 5. Итак, выделился еще один цикл (5; 8; 6),

и каждый элемент множества f1; 2; : : : ; 8g принадлежит одному из циклов, так что = (1; 3; 7; 4)(2)(5; 8; 6).

Обобщим это рассуждение на случай произвольной подстановки. Пусть 2 Sn; доказательство существования разложения в произве-

дение циклов будем вести индукцией по количеству a( ) таких элементов i 2 f1; : : : ; ng, что (i) 6= i. Если a( ) = 0, то не двигает ни один из элементов множества f1; : : : ; ng, и = (1)(2) : : : (n). Пусть теорема уже доказана для всех подстановок 0, для которых a( 0) < a( ). Выберем произвольный элемент j 2 f1; : : : ; ng и положим

j1 = j; j2 = (j1); j3 = (j2); : : : ; js+1 = (js); : : : :

338

оставляет неподвижными эле-

Поскольку множество f1; : : : ; ng конечно, среди элементов js будут повторяющиеся. Пусть jr+1 первый из элементов ji, совпадающий с одним из предшествующих элементов (r 1); покажем, что jr+1 = j1. Действительно, если jr+1 = jl, l 2, òî (jl 1) = jl = jr+1 = (jr), и, поскольку инъективное отображение, jr совпадает с предше- ствующим ему элементом jl 1, а это противоречит тому, что jr+1 áûë первым из элементов ji, совпадающих с каким-то из предшествующих элементов. Таким образом, мы выделили в подстановке цикл

= (j1; : : : ; jr).

Пусть 0 = 1 ; подстановка 0

менты j1; : : : ; jr, а другие элементы из f1; : : : ; ng подстановка 0 äâè- гает тогда и только тогда, когда их двигает подстановка . Поэтому a( 0) = a( ) r < a( ), и по предположению индукции

0 = 1 : : : k;

ãäå 1; : : : ; k попарно не пересекающиеся циклы, причем любой элемент из f1; : : : ; ng принадлежит одному из этих циклов. Посколь- êó 0(j1) = j1, . . . , 0(jr) = jr, среди этих циклов обязательно есть одноэлементные циклы (j1); : : : ; (jr); пусть для определенности это будут циклы 1 = (j1); : : : ; r = (jr). Циклы r+1; : : : ; k попарно не пересекаются и не содержат элементы j1; : : : ; jr, а значит, не пересе- каются с циклом = (j1; : : : ; jr). При этом элементы j1; : : : ; jr входят

âцикл , а всякий другой элемент из множества f1; : : : ; ng не входит

âциклы 1; : : : ; r, а значит, входит в один из циклов r+1; : : : ; k. Таким образом, представление

= 0 = (j1) : : : (jr) r+1 : : : k = r+1 : : : k

подстановки в виде произведения циклов ; r+1; : : : ; k удовлетво- ряет всем требованиям теоремы 1.

Единственность разложения очевидна. Действительно, пусть

= 1 : : : k = 1 : : : l

разложения в произведения циклов, удовлетворяющие требованиям теоремы, и элемент i 2 f1; : : : ; ng содержится в циклах

s = (i; j2; : : : ; jr); t = (i; k2; : : : ; kp);

причем r p (ясно, что запись цикла можно начинать с любого входящего в него элемента). Тогда

j2 = (i) = k2; j3 = (j2) = (k2) = k3; : : :

: : : ; jr = (jr 1) = (kr 1) = kr; i = (jr) = (kr):

339

Таким образом, kr последний элемент цикла j, и поэтому

i = (i; j2; : : : ; jr) = (i; k2; : : : ; kr) = j:

Теорема 1 полностью доказана.

Транспозицией называется подстановка, переставляющая два различных элемента i, j множества f1; : : : ; ng и оставляющая на месте

все остальные элементы множества f1; : : : ; ng. Таким образом, транспозиция это цикл (i; j) длины 2.

Теорема 2. Всякая подстановка раскладывается в произведение конечного числа транспозиций.

Замечание. Удобно считать, что произведением пустого множества сомножителей является единичный элемент, и поэтому тождественная подстановка может рассматриваться как произведение 0 транспозиций.

Доказательство. По теореме 1 достаточно доказать, что любой цикл раскладывается в произведение транспозиций. Как мы только что отметили, цикл (i) произведение пустого множества транспозиций,

а при k 2 мы имеем следующее разложение цикла длины k в произведение транспозиций:

(i1; i2; : : : ; ik 1; ik) = (i1; i2)(i2; i3) : : : (ik 2; ik 1)(ik 1; ik):

Отметим, что в отличие от разложения подстановки в произведение непересекающихся циклов, разложение подстановки в произведение транспозиций не единственно; например,

(1; 2)(1; 3) = (2; 3)(1; 2) = (2; 4)(3; 4)(1; 2)(1; 4):

Как мы видим, даже число сомножителей может быть различным.

3 Знак подстановки

По теореме 1 всякая подстановка 2 Sn представляется в виде про- изведения попарно непересекающихся циклов, причем каждый элемент из f1; : : : ; ng принадлежит одному из циклов; обозначим через

k( ) количество этих циклов. Знаком подстановки называется число sgn( ) = ( 1)n+k( ).

Теорема 3. Отображение, сопоставляющее каждой подстановке2 Sn е¼ знак sgn( ), является гомоморфизмом из группы Sn â группу Z = f 1g.

Лемма 4. Если транспозиция, то sgn( ) = 1.

340

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]