algebra1

попарно ортогональны и отличны от 0; однако, к ним нельзя доба-

вить ни одной ненулевой непрерывной функции так, чтобы полу- чившаяся система была ортогональной. В то же время, эти функции не составляют базис пространства непрерывных на [ 0; 1] функ-

ций не всякая непрерывная функция является конечной линейной комбинацией функций из этого множества. Подробнее об этом рассказывается в курсе математического анализа при изучении рядов Фурье.

2 Процесс ортогонализации Грама - Шмидта

Пусть v1; v2; : : : ; vm линейно независимые векторы из евклидова иди унитарного пространства V . Повторяя конструкцию из предыду-

щего пункта, построим попарно ортогональные нормированные векторы e1; e2; : : : ; em 2 V , такие что для любого i, 1 i m, линей-

ная оболочка векторов e1; : : : ; ei совпадает с линейной оболочкой векторов v1; : : : ; vi. Построение ведется индукцией по i. Вектор v1, êàê часть линейно независимого множества векторов, отличен от нулевого вектора; положим e1 = v1=jjv1jj. Пусть 1 i < m, и пусть уже построены попарно ортогональные нормированные векторы e1; : : : ; ei, такие что

<e1; : : : ; ei>=<v1; : : : ; vi> :

Тогда вектор w = vi+1 (vi+1; e1)e1 : : : (vi+1; ei)ei ортогонален векто- ðàì e1; : : : ; ei и отличен от нулевого вектора. Положим ei+1 = w=jjwjj. Векторы e1; : : : ; ei; ei+1 попарно ортогональны и не равны 0, поэтому они линейно независимы. Все эти векторы содержатся в (i+1)-мерном

пространстве <v1; : : : ; vi; vi+1> и порождают это пространство (потому что они линейно независимы и их количество равно размерности пространства).

Будем говорить, что так построенные векторы e1; e2; : : : ; em чены из векторов v1; : : : ; vm ортогонализацией; изложенный выше алгорифм их построения называется процессом ортогонализации ГрамаШмидта.

3 Скалярное произведение в ортогональном нормированном базисе

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами в некотором базисе, особенно просто выражается через координаты в случае, когда базис ортогональный и нормированный.

Предложение 1. Пусть e1; : : : ; en ортогональный нормированный базис унитарного или евклидова пространства V , и пусть u, v

281

векторы из V , столбцы координат которых в этом базисе равны соответственно

(конечно, для евклидовых пространств эта формула записывается несколько проще: (u; v) = a1b1 + : : : + anbn = X>Y ).

Доказательство. Поскольку скалярное произведение полуторалиней-

íî åñëè i 6= j, òî (ei; ej) = 0, и в предыдущей сумме можно оставить только те слагаемые, для которых i = j, так что

4 Унитарные матрицы

В следующем пункте мы увидим, что матрицами перехода от одного ортогонального нормированного базиса к другому в евклидовом пространстве являются ортогональные матрицы. Их аналогом в комплексном случае являются унитарные матрицы, которые мы сей- час определим. Для матрицы с комплексными компонентами C мы

будем обозначать через

C матрицу, полученную из C заменой всех

компонент на сопряженные к ним комплексные числа; матрица

C

называется комплексно сопряженной к C матрицей. Пусть C 2 Cnкомплексная квадратная матрица порядка n. Она называется уни-

тарной, если >

C C = E. Из этого условия следует, что матрица C невырождена, так как иначе ее ранг был бы строго меньше n и мы получили бы неверное соотношение

Поэтому унитарная матрица обратима, и

C 1 = EC 1 = C>CC 1 = C>:

В частности, если C унитарная матрица, то CC> = CC 1 = E.

2 >

Точно так же показывается, что если C Cn è CC = E, òî ìàò-

1 è >

рица C обратима, обратная к ней матрица равна C C C = E, то есть матрица C унитарна. Заменяя на комплексно сопряженные

282

все матрицы в соотношениях > >

C C = E, CC = E, мы получим,

> >

что равенства C C = E, CC = E тоже равносильны унитарности матрицы C.

Предложение 2. Если C унитарная матрица, то матрицы C, C>, C 1 тоже унитарны. Единичная матрица, а также произве-

дение унитарных матриц одинакового порядка снова унитарные матрицы.

Доказательство. Поскольку >

E E = E E = E, единичная матрица E унитарна. Если C, D унитарные матрицы одинакового порядка,

òî > >

C C = E, D D = E, а потому

> тоже унитарны. Наконец,

àэто значит, что матрицы C1 = C, C2 = C

для унитарной матрицы C обратная к ней матрица получается из не¼

комплексным сопряжением и транспонированием, а каждая из этих операций, как мы только что показали, сохраняет унитарность.

Это предложение, в частности, означает, что унитарные матрицы фиксированного порядка составляют группу относительно обычного умножения матриц.

5 Матрица перехода для ортогональных нормированных базисов

Мы видели, что в конечномерном евклидовом (или унитарном) пространстве существуют ортогональные нормированные базисы. Но мы пока не знаем, насколько их много и как они связаны друг с другом.

Теорема 4. Пусть e1; : : : ; en ортогональный нормированный базис евклидова (унитарного) пространства V , и пусть C квадратная матрица порядка n с компонентами из R (соответственно, из C). Для того чтобы векторы d1; : : : ; dn, определенные равенством (d1; : : : ; dn) = (e1; : : : ; en)C, составляли ортогональный нормированный базис V , необходимо и достаточно, чтобы матрица C была ортогональной (соответственно, унитарной).

283

Доказательство. Приведем доказательство только для унитарного пространства. Как обычно, через Cij обозначаем элемент, стоящий в матрице C на пересечении i-й строчки и j-го столбца. Равенство

(d1; : : : ; dn) = (e1; : : : ; en)C означает, что для любого j вектор dj равен C1je1 +: : :+Cnjej, то есть его столбец координат равен (C1j : : : ; Cnj)>.

По предложению 1, для любых i; j скалярное произведение (di; dj)

равно C1iC1j + : : : + CniCnj. Но это же выражение равно

nn

XX

Таким образом, базис d1; : : : ; dn ортогональный и нормированный то-

> >

гда и только тогда, когда элемент (C C)ij = (di; dj) матрицы C C

6 >

при i = j равен 0, а при i = j он равен 1, то есть когда C C = E. Но это и означает, что C унитарная матрица.

6 Матрица Грама для системы векторов

До сих пор в унитарных и евклидовых пространствах мы обращали внимание лишь на ортогональные нормированные базисы. Однако, иногда бывает полезно использовать и другие базисы. Для того, чтобы работать с ними, удобно использовать матрицу, составленную из скалярных произведений элементов этого базиса, или, общее, скалярных произведений произвольных систем векторов.

Пусть U унитарное или евклидово пространство. Матрицей Грама для упорядоченного набора векторов u1; : : : ; um 2 U называется m m-матрица

в которой на пересечении i-й строки и j-го столбца стоит скалярное произведение (ui; vj).

Предложение 3. Пусть u1; : : : ; um; v1; : : : ; vn две системы век- торов из U, причем

(v1; : : : ; vn) = (u1; : : : ; um)C;

где C некоторая матрица с комплексными компонентами, если U унитарное пространство, и с вещественными компонентами, если U евклидово пространство. Тогда

284

Доказательство. Для краткости обозначим через Gu è Gv матрицы Грама G(u1; : : : ; um) è G(v1; : : : ; vn), и рассмотрим еще m n-матрицу

в которой на пересечении i-й строки и j-го столбца стоит скалярное

(v1; : : : ; vn) = (u1; : : : ; um)C

для любых 1 i n, и потому для любых индексов i; j; k; l, таких что 1 i; j; l n, 1 k m будет

Знание матрицы Грама G = G(u1; : : : ; um) позволяет сосчитать скалярное произведение любых линейных комбинаций векторов u1; : : : ; um. Действительно, пусть

u = 1u1 + : : : + mum; v = 1u1 + : : : + mum;

тогда

mm

s;t

В частности, если u1; : : : ; um базис U, а X и Y столбцы коор-

>

динат векторов u; v в этом базисе, то (u; v) = X GY . Если базис

285

ортогональный и нормированный, то, очевидно, его матрица Грамаединичная матрица, и тогда предыдущая формула для скалярного произведения превращается в привычную формулу

>

(u; v) = X Y ;

выражающую скалярное произведение векторов через их координаты в ортогональном нормированном базисе.

x 3: Объем параллелепипеда

1 Определение объема параллелепипеда

Определитель матрицы Грама G(u1; : : : ; um) имеет интересный и важный геометрический смысл он представляет собой квадрат объема параллелепипеда, натянутого на векторы u1; : : : ; um. Строго говоря, прежде, чем объяснять, что такое объем параллелепипеда, надо было бы определить, что такое параллелепипед. Но мы пока этого сделать не можем, потому что параллелепипед задается не только векторами ребер, но и какой-то вершиной, и он лежит не в векторном, а в аффинном пространстве, которое появится лишь в следующей главе. 1 Однако, объем зависит только от векторов ребер, и мы можем определить его уже сейчас.

Пусть E евклидово пространство, и пусть u1; : : : ; um 1; um векторы из E. Основанием m-мерного параллелепипеда, натянутого на векторы u1; : : : ; um 1; um, называется m 1-мерный параллелепипед, натянутый на векторы u1; : : : ; um 1, а его высотой называется вектор h 2 E, такой, что разность um h принадлежит линейной оболочке <u1; : : : ; um 1 > векторов, порождающих основание, а сам вектор h ортогонален всем векторам этой линейной оболочки. Легко

видеть, что эти требования определяют высоту однозначно. Действи- тельно, если h1 другой вектор, ортогональный всем векторам основания и такой, что um h1 принадлежит <u1; : : : ; um 1>, то вектор

1Поскольку в следующей главе у нас не будет случая вернуться к определению параллелепипеда, приведем его здесь. Пусть E аффинное евклидово простран-

ñòâî, à E касательное к нему евклидово векторное пространство. Пусть A 2 E, v1; : : : ; vm 2 E; подмножество

PA(v1; : : : ; vm) = fA + 1v1 + : : : + mvm j 0 1; : : : m 1g

аффинного пространства E называется m-мерным параллелепипедом с вершиной

A 2 E, натянутым на векторы v1; : : : ; vm 2 E. Таким образом, параллелепипед

!

PA(v1; : : : ; vm) это множество всех точек X 2 E, таких что AX = 1v1 + : : : +mvm, ãäå 0 1; : : : m 1. Основанием параллелепипеда PA(v1; : : : ; vm 1; vm) называется m 1-мерный параллелепипед PA(v1; : : : ; vm 1).

286

h h1 принадлежит подпространству <u1; : : : ; um 1> евклидова пространства E и ортогонален всем векторам этого подпространства; в частности (h h1; h h1) = 0, и из положительной определенности скалярного произведения следует, что h h1 = 0.

Теперь мы можем определить по индукции числовой инвариант, сопоставляемый каждому m-мерному параллелепипеду и называе-

мый m-мерным объемом этого параллелепипеда. Одномерным объемом одномерного параллелепипеда, натянутого на вектор u, называется длина этого вектора. Пусть (m 1)-мерный объем уже определен для всех (m 1)-мерных параллелепипедов; тогда m-мерным

объемом параллелепипеда, натянутого на векторы u1; : : : ; um 1; um, называется произведение (m 1)-мерного объема его основания на

длину его высоты h. Мы будем обозначать m-мерный объем парал-

лелепипеда, натянутого на векторы u1; : : : ; um, через Vm(u1; : : : ; um). Таким образом,

V1(u) = jjujj; Vm(u1; : : : ; um 1; um) = Vm 1(u1; : : : ; um 1) jjhjj;

где h 2 E единственный вектор, такой что

(h; u1) = : : : = (h; um 1) = 0; um h 2<u1; : : : ; um 1> :

2 Формула для объема параллелепипеда

Теорема 5. Пусть E евклидово пространство, и пусть u; : : : ; v; wкакие-то m векторов из E. Тогда квадрат m-мерного объема параллелепипеда, натянутого на векторы u; : : : ; v; w, равен определителю матрицы Грама G(u; : : : ; v; w):

Пусть m > 1 и пусть уже доказано, что Vm 1(u; : : : ; v) = G(u; : : : ; v). По определению высоты h нашего параллелепипеда существуют

такие m 1 чисел a; : : : ; b 2 R, что w = au+: : :+bv +h. Иначе говоря,

287

Обозначим через A матрицу из последнего равенства; тогда оно при-

ìåò âèä

(u; : : : ; v; w) = (u; : : : ; v; h)A:

По предложению 3

G(u; : : : ; v; w) = A>G(u; : : : ; v; h)A;

поскольку, очевидно, определитель матрицы A равен 1, а значит, равен 1 и определитель транспонированной к ней матрицы A>, ïîëó- чаем отсюда, что

det G(u; : : : ; v; w) = jA>j det G(u; : : : ; v; h) jAj = det G(u; : : : ; v; h):

Последний определитель легко считается. В самом деле, из того, что h высота, следует, что (u; h) = : : : = (v; h) = 0, и мы находим, что

определитель матрицы Грама det G(u; : : : ; v; h) равен

Íî G(u; : : : ; v) = Vm2 1(u; : : : ; v) по предположению индукции, так что

det G(u; : : : ; v; w) = det G(u; : : : ; v; h) =

= (Vm 1(u; : : : ; v) jjhjj)2 = Vm2 (u; : : : ; v; w):

Следствие. m-мерный объем m-мерного параллелепипеда, натяну-

того на векторы u1; : : : ; um, не зависит от порядка, в котором расположены эти векторы.

Доказательство. Достаточно показать, что объем не меняется при перемене местами любых двух из векторов u1; : : : ; um. Но при такой перестановке в матрице Грама G(u1; : : : ; um) меняются местами две строчки и два столбца. Каждая из этих перестановок умножает определитель матрицы на 1, так что в результате обеих перестановок

определитель матрицы Грама, равный по теореме 5 квадрату объема параллелепипеда, не изменится.

Заметим, что само определение объема выглядит зависящим от порядка векторов: для вычисления Vm(u1; u2; : : : ; um 1; um) мы должны последовательно вычислить объ¼мы

V1(u1); V2(u1; u2); : : : ; Vm 1(u1; u2; : : : ; um 1):

288

3 Выражение объема параллелепипеда через координаты векторов ребер

Как мы видим, для вычисления объема совершенно не обязательно выбирать в пространстве какой-то базис определитель в доказанной теореме зависит только от самих векторов, а их координаты нам знать не обязательно. Следующее утверждение, которое является по существу переформулировкой предыдущей теоремы, выражает объем через координаты векторов.

Теорема 6. Пусть E евклидово пространство, и пусть e1; : : : ; enкакой-то ортогональный нормированный базис этого пространства. Далее, пусть u1; : : : ; um 2 E и пусть A матрица, строки которой являются строками координат векторов u1; : : : ; um â áàçè- ñå e1; : : : ; en (или, иначе говоря, A такая матрица с вещественными компонентами, что

.C = A B . C

@A @ A ).B

um en

Тогда квадрат m-мерного объема параллелепипеда, натянутого на векторы u1; : : : ; um, равен определителю матрицы AA>.

Доказательство. По теореме 5 достаточно показать, что матрица AA> совпадает с матрицей Грама G(u1; : : : ; um), òî åñòü ÷òî äëÿ ëþ-

бых 1 i; j m число, стоящее в матрице AA> в i-й строчке и j-м столбце, совпадает с числом, стоящим на той же позиции в матрице G(u1; : : : ; um), то есть со скалярным произведением (ui; uj). Íî

Особо интересен случай, когда размерность пространства равна размерности параллелепипеда. Пусть e1; : : : ; en ортогональный нормированный базис евклидова пространства E, и пусть u1; : : : ; unвекторы из E. Как и выше, пусть A матрица, составленная из

координат векторов u1; : : : ; un в базисе e1; : : : ; en; тогда по теореме 6

Vn2(u1; : : : ; un) = det(AA>) = det A det A> = (det A)2;

откуда, поскольку по определению объема он всегда неотрицателен, получается более простая формула для его вычисления:

Vn(u1; : : : ; un) = j det A j:

289

Таким образом, абсолютная величина определителя jAj имеет про-

стое геометрическое истолкование: это объем параллелепипеда, на- тянутого на векторы u1; : : : ; un. Знак же этого определителя может быть истолкован геометрически и в более общей ситуации не только для евклидовых, но и для произвольных конечномерных векторных пространств над полем вещественных чисел.

4 Ориентация вещественного векторного пространства

Пусть V конечномерное векторное пространство над полем веще-

ственных чисел R. Два базиса u1; : : : ; un è v1; : : : ; vn пространства V называются одинаково ориентированными, если определитель матрицы перехода от первого базиса ко второму положителен, и они называются противоположно ориентированными, если этот определитель отрицателен (напомним, что матрица перехода всегда невырождена, и потому ее определитель отличен от 0, так что любые два базиса либо одинаково ориентированы, либо противоположно ориентированы). Обычно в пространстве некоторым образом фиксируется базис, который называется правым; тогда все одинаково ориентированные с ним базисы тоже называются правыми, а противоположно ориентированные левыми базисами.

Нетрудно убедиться, что отношение одинаковой ориентированности на множестве всех базисов пространства V является отношени-

ем эквивалентности. Действительно, всякий базис u1; : : : ; un одина- ково ориентирован с собой, потому что матрица перехода от базиса u1; : : : ; un к базису u1; : : : ; un единичная матрица, и ее определитель равен 1 > 0. Если базисы u1; : : : ; un è v1; : : : ; vn одинаково ориенти- рованы и C матрица перехода от u1; : : : ; un ê v1; : : : ; vn, òî jCj > 0;

тогда матрицей перехода от базиса v1; : : : ; vn к базису u1; : : : ; un будет матрица C 1, и ее определитель jC 1j = jCj 1 тоже положителен, так

что базисы v1; : : : ; vn è u1; : : : ; un одинаково ориентированы. Наконец, пусть u1; : : : ; un, v1; : : : ; vn, w1; : : : ; wn три базиса пространства V , и пусть C матрица перехода от первого базиса ко второму, а D матрица перехода от второго базиса к третьему. Если базисы u1; : : : ; un è v1; : : : ; vn одинаково ориентированы, и базисы v1; : : : ; vn è w1; : : : ; wn одинаково ориентированы, то jCj > 0, jDj > 0. Тогда матрицей пере-

хода от базиса u1; : : : ; un к базису w1; : : : ; wn будет матрица CD, и ее определитель jCDj = jCj jDj положителен вместе с jCj, jDj, так что

базисы u1; : : : ; un, w1; : : : ; wn одинаково ориентированы.

Основное свойство ориентации базисов состоит в том, что любой базис можно непрерывно деформировать в любой одинаково ориентированный с ним базис, и нельзя деформировать ни в какой противоположно ориентированный к нему базис так, чтобы в процессе

290