algebra1

деформации система векторов всегда оставалась базисом. Сформулируем это свойство более точно.

Пусть u1; : : : ; un è v1; : : : ; vn два базиса вещественного пространства V ; непрерывной деформацией базиса u1; : : : ; un в базис v1; : : : ; vn называется набор функций u1(t); : : : ; um(t), заданных на отрезке [ 0; 1] вещественном прямой и принимающих значения в пространстве V ,

удовлетворяющих следующим условиям:

(1) все функции u1(t); : : : ; un(t) непрерывны на [ 0; 1] (то есть все координаты векторов u1(t); : : : ; un(t) 2 V в любом базисе пространства V являются непрерывными функциями от t);

(2)для любого t 2 [ 0; 1] векторы u1(t); : : : ; un(t) составляют базис пространства V ;

(3)u1(0) = u1; : : : ; un(0) = un;

(4)u1(1) = v1; : : : ; un(1) = vn.

Если для двух базисов существует непрерывная деформация первого из этих базисов во второй, то мы говорим, что первый базис может быть непрерывно деформирован во второй.

Теорема 7. Базис конечномерного пространства над полем вещественных чисел не может быть непрерывно деформирован ни в какой противоположно ориентированный к нему базис.

Доказательство. Пусть u1; : : : ; un è v1; : : : ; vn противоположно ори- ентированные базисы конечномерного вещественного пространства V , и пусть u1(t); : : : ; un(t) (где 0 t 1) непрерывная деформация базиса u1; : : : ; un в базис v1; : : : ; vn. Пусть C матрица перехода от базиса u1; : : : ; un к базису v1; : : : ; vn; поскольку базисы противоположно ориентированы, jCj < 0.

Для любого t 2 [ 0; 1] векторы u1(t); : : : ; un(t) составляют базис пространства V ; пусть C(t) матрица перехода от базиса u1; : : : ; un к базису u1(t); : : : ; un(t). Как и любая матрица перехода, матрица C(t) невырождена при всех t. В частности, C(0) и C(1) это матрицы перехода от базиса u1; : : : ; un к совпадающему с ним базису u1(0); : : : ; un(0) и к базису u1(1); : : : ; un(1), совпадающему с базисом v1; : : : ; vn, òàê ÷òî C(0) = E, C(1) = C.

Все компоненты матрицы C(t) являются координатами векторов u1(t); : : : ; un(t) в базисе u1; : : : ; un, и значит, непрерывными функциями от t. Поскольку определитель многочлен от компонент матрицы, непрерывной будет и функция f(t) = jC(t)j. При любом t 2 [ 0; 1] матрица C(t) невырождена, и потому f(t) = jC(t)j 6= 0; но

f(0) = jC(0)j = jEj = 1 > 0; f(1) = jC(1)j = jCj < 0:

По классической теореме математического анализа это невозможно.

291

Для доказательства обратного утверждения нам понадобится следующий факт, справедливый не только для вещественных матриц, но для матриц над любым полем K.

Предложение 4. Пусть k поле. Всякая матрица A 2 kn, îïðå- делитель которой равен 1, является произведением матриц трансвекций.

Доказательство. Напомним, что матрицей трансвекции Est( ) 2 kn, где 1 s; t n, s 6= t, 2 k, называется матрица, у которой все

диагональные элементы равны 1, элемент, стоящий в s-й строке и t-м столбце, равен , а остальные элементы равны 0. Обратная к

матрице трансвекции Est( ) тоже матрица трансвекции Est( ). Предложение доказываем индукцией по порядку матрицы. Если A 2 k1, jAj = 1, то A = (1) произведение 0 матриц трансвекций.

Пусть n 2,

1 < i n, то левый верхний элемент матрицы B = E1i((1 a11)ai1 )A равен 1. В обоих случаях матрица B имеет вид

а матрица A получается из B умножением на одну или две матрицы трансвекций. Далее, у матрицы

C = E21( b21) : : : En1( bn1)BE12( b12) : : : E1n( b1n)

все недиагональные элементы первой строки и первого столбца равны 0, так что эта матрица имеет вид

1 0

C = 0 D ;

292

ãäå D 2 kn 1. Ясно, что det D = 1, и по индукционному предположению существуют матрицы трансвекций V1; : : : ; VM 2 kn 1, такие что D = V1 : : : VM . Для любого i, 1 i M матрица

1 0

Ui = 0 Vi

тоже матрица трансвекции, и

Тогда

B= E21(b21) : : : En1(bn1)CE12(b12) : : : E1n(b1n) =

=E21(b21) : : : En1(bn1)U1 : : : UM E12(b12) : : : E1n(b1n)

является представлением матрицы B в виде произведения матриц трансвекций. Вместе с B произведением матриц трансвекций будет и матрица A, получающаяся из B умножением на одну или две матрицы трансвекций.

Теорема 8. Любой базис конечномерного векторного пространства над полем вещественных чисел может быть непрерывно деформирован в любой одинаково ориентированный с ним базис.

Доказательство. Пусть u1; : : : ; un è v1; : : : ; vn два базиса веще- ственного векторного пространства V , и пусть C матрица перехода от первого базиса ко второму, так что

(v1; : : : ; vn) = (u1; : : : ; un)C:

Определитель d матрицы C положителен, а определитель матрицы

равен 1. По предложению 4 матрица C1 раскладывается в произве- дение матриц трансвекций:

C1 = Ei1j1 ( 1) : : : EiN jN ( N ):

Положим

293

Тогда C(0) единичная матрица, а матрица

равна матрице C.

Теперь легко видеть, что набор функций

(u1(t); : : : ; un(t)) = (u1; : : : ; un)C(t) (0 t 1)

представляет собой непрерывную деформацию базиса u1; : : : ; un â базис v1; : : : ; vn. Действительно, для любого t 2 [0; 1] матрица C(t) невырождена, потому что ее определитель jC(t)j = et ln d отличен от

0; следовательно, векторы u1(t); : : : ; un(t) составляют базис V . Далее, координаты векторов u1(t); : : : ; un(t) в базисе u1; : : : ; un являются компонентами матрицы C(t), которые, очевидно, непрерывно зависят от t. Наконец,

(u1(0); : : : ; un(0)) = (u1; : : : ; un)C(0) = (u1; : : : ; un)E = (u1; : : : ; un); (u1(1); : : : ; un(1)) = (u1; : : : ; un)C(1) = (u1; : : : ; un)C = (v1; : : : ; vn):

Этим завершается доказательство теоремы.

5 Ориентированный объем

Вернемся к формуле для объема параллелепипеда в евклидовом про- странстве E. Пусть e1; : : : ; en какой-то ортогональный нормированный базис этого пространства. Далее, пусть u1; : : : ; un 2 E и пусть Aматрица, строки которой являются строками координат векторов u1; : : : ; un в базисе e1; : : : ; en. Как мы видели выше, абсолютная вели- чина определителя матрицы A равна n-мерному объему n-мерного

параллелепипеда, натянутого на векторы u1; : : : ; un. Но теперь мы можем интерпретировать и знак этого определителя. Отметим, что если матрица A невырождена, то u1; : : : ; un базис E, и матрицей перехода от базиса e1; : : : ; en к базису u1; : : : ; un является матрица A>, определитель которой, конечно, равен jAj. Таким образом, возможны

следующие 3 случая:

jAj = 0, если векторы u1; : : : ; un не составляют базис пространства E (то есть линейно зависимы);

jAj > 0, если векторы u1; : : : ; un составляют базис пространства E, одинаково ориентированный с базисом e1; : : : ; en;

jAj < 0, если векторы u1; : : : ; un составляют базис пространства E, ориентация которого противоположна ориентации базиса e1; : : : ; en.

294

Поэтому естественно назвать jAj ориентированным объемом парал-

лелепипеда, натянутого на векторы u1; : : : ; un. Мы будем обозначать åãî Vnor(u1; : : : ; un).

Отметим, что в отличие от обычного объема ориентированный объем зависит не только от порядка векторов u1; : : : ; un, íî è îò âû- бора ортогонального нормированного базиса e1; : : : ; en пространства E при их изменении он может изменить знак на противоположный.

Еще раз подчеркнем, что ориентированный объем определен только для параллелепипедов максимальной размерности, равной размерности пространства E.

Замечание. Напомним, что именно аналогия с ориентированным объ¼мом лежала в основе нашего подхода к понятию определителя матрицы. Однако, тогда мы могли сослаться лишь на случай тр¼хмерного пространства, для которого мы и были знакомы с понятием объ¼ма. Теперь же мы видим, что определитель квадратной матрицы действительно является ориентированным объ¼мом в тех случаях, когда геометрическое понятие ориентированного объ¼ма осмысленно.

295

Глава XI

Аффинные пространства

x 1: Аффинные пространства и системы координат в них

1 Определение аффинного пространства

Векторные пространства достаточно хорошо моделируют окружающее нас пространство, за исключением одного обстоятельства: все точки геометрического пространства равноправны, а в векторном пространстве выделяется привилегированный элемент нулевой вектор. Поэтому естественно определить пространство, объектами которого являются равноправные точки и с которым, конечно, каким-то естественным образом связано пространство векторов. Такой структурой является аффинное пространство, которое мы сейчас и определим.

Пусть A множество, а V векторное пространство над неко-

торым полем k; далее, пусть задано отображение A A ! V , со-

!

поставляющее каждой паре элементов A; B 2 A вектор AB 2 V .

Мы говорим, что A аффинное пространство над k с касательным векторным пространством V , если выполняются следующие три аксиомы:

(1) для любых A; B; C 2 A выполняется соотношение

! ! !

AB + BC = AC;

!

(2) åñëè A; B 2 A è AB = 0, òî A = B;

(3) для любых A 2 A, v 2 V существует элемент B 2 A, такой

!

÷òî AB = v.

Элементы из A называются точками аффинного пространства A. Аксиома (1) называется соотношением треугольника, аксиома (3) по-

казывает, что от каждой точки можно отложить вектор, равный данному, а из аксиомы (2) легко получается, что это можно сделать лишь

296

Мы, однако, будем воздерживаться от того, чтобы вычитать точки

аффинного пространства и никогда не будем писать v = B A вместо

! v = AB.

Если k поле вещественных чисел, а V евклидово пространство, то аффинное пространство с касательным пространством V на-

зывается евклидовым аффинным пространством. Евклидово аффинное пространство размерности 3 представляет собой то самое пространство точек, которое изучается классической евклидовой геометрией. Как известно, "Начала" Евклида строятся на основе некоторой системы аксиом; строгая и полная аксиоматика евклидова пространства была дана Д.Гильбертом. Подход к пространству точек евклидовой геометрии как к евклидову аффинному пространству позволяет дать еще одну аксиоматику для него. Эта аксиоматика геометрии называется аксиоматикой Г.Вейля. Хотя аксиоматика Вейля и представляется более прозрачной, чем гильбертовская, на самом деле она содержит не меньше аксиом. Кроме перечисленных выше трех аксиом аффинного пространства, она включает в себя аксиомы поля, аксиомы векторного пространства, аксиому, утверждающую, что размерность касательного пространства равна 3, аксиомы, выделяющие в классе всех полей поле вещественных чисел, аксиомы евклидова векторного пространства.

2 Системы координат в аффинном пространстве

Линейной системой координат в конечномерном аффинном пространстве A называется набор, состоящий из точки O 2 A, называемой

началом координат, и базиса v1; : : : ; vn касательного пространства V .

Если X точка из A, то ее координатами в выбранной системе коор-

!

динат называются координаты вектора OX в базисе v1 : : : ; vn. Таким образом, следующие высказывания равносильны:

x1; : : : ; xn координаты точки X в нашей системе координат;

!

OX = x1v1 + : : : + xnvn;

X = O + x1v1 + : : : + xnvn.

297

Пусть теперь (O0; v10 ; : : : ; vn0 ) другая линейная система координат в A; в отличие от исходной, "старой" системы координат, мы

будем называть ее "новой". Для того, чтобы привязать новую систему координат к старой, очевидно, достаточно задать координаты a1; : : : ; an

и матрицу перехода C от старого базиса v1; : : : ; vn к новому базису

тельно некоторого базиса равны разности соответствующих коорди-

нат этих векторов, а по определению координат точки мы знаем, что координаты векторов ! !0

OX и OO в базисе v1; : : : ; vn равны соответ-

ственно x1; : : : ; xn è a1; : : : ; an, мы находим, что координаты вектора

!

O0X в старом базисе равны x1 a1; : : : ; xn an. В то же время, по определению координат точки X в новой системе координат коор-

динаты того же вектора в базисе v10 ; : : : ; vn0 равны x01; : : : ; x0n. Íî ìû знаем, что столбец координат любого вектора в старом базисе полу- чается умножением матрицы перехода на столбец координат в новом базисе, так что

Полученная формула называется формулой перехода от одной линейной системы координат к другой.

Отметим, что и обратно, любая замена координат

0 1 0 1 0 1 x1 x01 a1

.C = C B . C + B . C

@A @ A @ AB

xn x0n an

с невырожденной матрицей C отвечает переходу от одной системы

координат к другой: если x1; : : : ; xn координаты точки X в системе

координат (O; v1; : : : ; vn), è åñëè x01; : : : ; x0n связаны с этими коорди- натами выше указанным соотношением, то x01; : : : ; x0n координаты

298

Таким образом, любая линейная замена координат на самом деле является переходом к другой линейной системе координат в аффинном пространстве.

В случае евклидова аффинного пространства наиболее естественными являются так называемые декартовы системы координат. Напомним, что аффинное пространство E называется евклидовым, если

его касательное пространство V евклидово векторное простран-

ство. Линейная система координат (O; e1; : : : ; en) в евклидовом аффинном пространстве E называется декартовой, если e1; : : : ; en îð- тогональный нормированный базис V . Формула перехода от одной

декартовой системы координат к другой отличается от общего слу- чая только тем, что участвующая в ней матрица перехода C орто-

гональна. В частности, при n = 2 эта формула приобретает один из видов

Эти формулы хорошо известны всем, кто изучал курс аналитиче- ской геометрии, особенно те, которые стоят в левом столбце: они описывают переход от одной декартовой системы координат к другой, так же ориентированной декартовой системе координат. Формулы в правом столбце описывают переход к противоположно ориентированной декартовой системе координат.

x 2: Линейные многообразия в аффинном пространстве

1 Определение линейного многообразия

Мы были не совсем точны, когда говорили, что аксиоматика Вейля определяет то же самое пространство, что и аксиоматика ЕвклидаГильберта. У Евклида и Гильберта основными объектами были не только точки, но и прямые и плоскости. Мы же пока не знаем, как эти

299

понятия могут быть заданы в аффинных пространствах. Аналогом и обобщением их в произвольных аффинных пространствах являются так называемые линейные многообразия, определение которых мы сейчас дадим.

Лемма 1. Пусть A аффинное пространство над полем k, V его касательное пространство, а P подмножество A. Следующие условия равносильны:

потому является r-мерным подпространством V .

(2) ) (1) тривиально: если какое-то свойство выполняется для

всех точек непустого множества, то в нем найдется точка, обладающая этим свойством.

Подмножество P аффинного пространства A называется линейным многобразием размерности r (или r-мерной плоскостью), если

выполняется любое из равносильных условий леммы 1. Иначе говоря, линейные многообразия это множества вида

A + U = fA + u j u 2 Ug;

где A точка из A, а U подпространство V . Ясно, что нульмерное многообразие в A, содержащее точку A 2 A, совпадает с точкой A. Одномерные многообразия в A называются прямыми, двумерные плоскостями. Если A n-мерное аффинное пространство, то единственное содержащееся в нем линейное многообразие размерности n совпадает с A; в этом случае линейные многообразия предыдущей размерности n 1 называются гиперплоскостями в A.

300