algebra1

Таким образом, если бы матрица A была перестановочна со всеми матрицами eij, i 6= j, то все ее диагональные элементы были бы равны между собой, а остальные элементы равны 0, то есть матрица A

принадлежала бы, вопреки предположению, центру группы SLn(k). Следовательно, существуют такие i; j, 1 i; j n, что Aeij 6= eijA.

Лемма 17. В H есть матрица D вида E + X, где X ненуле-

вая матрица, у которой ненулевые элементы могут быть только в первых двух строках.

Доказательство. Пусть i 6= j таковы, что Aeij 6= eijA; тогда

A(E + eij) 6= (E + eij)A;

а потому коммутатор D1 = [E + eij; A] 2 H отличен от единичной матрицы, так что матрица X1 = D1 E ненулевая. С другой стороны,

X1 = [E + eij; A] E = (E + eij)A(E eij) 1A 1 E = = (E + eij)A(E eij)A 1 E = eij (E + eij)AeijA 1:

Ранг произведения (E eij)A 1eijA не больше, чем ранг одного из сомножителей eij, который равен 1; поэтому X разность двух матриц, ранги которых не больше 1, и значит, rank X1 2. Таким образом, в H есть матрица вида D1 = E + X1, ãäå X1 6= 0, rank X1 2.

Элементарными преобразованиями над строками матрицы X1 å¼ можно привести к матрице X2, у которой все строки, кроме первых двух, нулевые (и даже к ступенчатой матрице, но для нас это сейчас неважно). На матричном языке это означает, что существует невырожденная матрица C1, такая что C1X1 = X2. Определитель матрицы C1 не обязательно равен 1; но матрица C, полученная из

C1 делением третьей строки на det C1, уже принадлежит SLn(k), и по-прежнему CX1 = X2. У произведения X = CX1C 1 = X2C 1, êàê

и у матрицы X2, только первые две строки могут быть ненулевыми, а матрица D = E + X = C(E + X1)C 1 = CD1C 1 вместе с матрицей

D1 принадлежит нормальной подгруппе H группы SLn(k).

Пусть D = E +X 2 H матрица, удовлетворяющая требованиям леммы 17. Напомним, что здесь X 6= 0 матрица, у которой ненулевые элементы могут встречаться только в первых двух строках.

381

Если rank X = 1, то предложение 39 доказано. Пусть rank X = 2;

тогда ненулевые элементы есть и в первой, и во второй строках матрицы X. Покажем, что найдутся такие i 6= j, что Xeij = 0, eijX 6= 0 или, наоборот, Xeij 6= 0, eijX = 0. Действительно, если в первом столбце матрицы X есть ненулевые элементы, то Xe13 6= 0, потому что третий столбец матрицы Xe13 равен первому столбцу матрицы X, а e13X = 0, потому что третья строка матрицы X нулевая. Если же первый столбец матрицы X нулевой, то Xe12 = 0, à e12X 6= 0, потому что первая строка матрицы e12X равна второй строке матрицы X, в которой, как мы отметили выше, есть ненулевые элементы.

Пусть для определенности eijX 6= 0, Xeij = 0 (противоположный случай рассматривается точно так же, и даже чуть-чуть проще). То-

ãäà

Deij = (E + X)eij = eij; D 1eij = D 1(Deij) = eij:

Коммутатор B = [E + eij; D] принадлежит H, и остается показать, что ранг матрицы Y = B E равен 1. В самом деле,

Y= [E + eij; D] E = (E + eij)D(E eij)D 1 E =

=eij (Deij)D 1 eij(Deij)D 1 = eij eijD 1 eijeijD 1 =

=eij(D E)D 1 = eijXD 1:

Матрица Y ненулевая, потому что Y D = Xeij 6= 0, à

rank Y = rank eij(XD 1) rank eij = 1:

Значит, rank Y = 1.

Этим завершается доказательство предложения 39, а значит, и теоремы 24.

x 11: Операторные множества

1 Определение операторного множества

Мы говорим, что группа G действует на множестве M как группа левых операторов, если для каждого элемента m 2 M и каждого элемента g 2 G задан элемент g m 2 M, причем выполняются следующие свойства:

(1)e m = m для каждого m 2 M (как обычно, здесь e обозначает единичный элемент группы G);

(2)(g1g2) m = g1 (g2 m) äëÿ âñåõ g1; g2 2 G, m 2 M.

Âэтом случае мы говорим также, что M левое операторное множество над группой G или, короче, левое G-операторное множество.

382

Часто для обозначения того, что множество M рассматривается как

левое G-операторное множество, используется запись GM.

Вместо знака для обозначения действия элементов из G упо-

требляются и другие обозначения; чаще всего это использование скобок или вообще отсутствие какого-либо знака, так что вместо g m

пишут g(m) или gm. Начиная отсюда, мы, если не оговорено другое, всегда будем обозначать результат действия оператора g 2 G на элемент m 2 M через gm. При таком обозначении аксиомы левого

операторного множества принимают вид: em = m, (g1g2)m = g1(g2m) для любых m 2 M, g1; g2 2 G.

В следующем утверждении собрано несколько простейших свойств операторных множеств.

Предложение 40. Пусть G группа, а M = GM левое G-опера- торное множество.

(1)Åñëè m1; m2 2 M, g 2 G è m2 = gm1, òî m1 = g 1m2.

(2)Для любого элемента m 2 M множество Gm всех таких эле- ментов g 2 G, что gm = m, является подгруппой группы G.

(3)Для любого g 2 G отображение, сопоставляющее элементу m 2 M элемент gm 2 M, является преобразованием множества M (то есть биективным отображением множества M на себя).

Доказательство. (1) Если m2 = gm1, òî

m1 = em1 = (g 1g)m1 = g 1(gm1) = g 1m2:

(2) Поскольку em = m, единичный элемент e принадлежит мно-

жеству Gm. Åñëè g 2 Gm, òî gm = m è ïî (1) m = g 1m, òàê ÷òî g 1 2 Gm. Åñëè g1; g2 2 Gm, òî g1m = g2m = m è

(g1g2)m = g1(g2m) = g1m = m;

òî åñòü g1g2 2 Gm.

(3) Åñëè gm1 = gm2, òî ïî (1)

m1 = g 1(gm2) = (g 1g)m2 = em2 = m2;

значит, отображение m gm инъективно. Кроме того, для любого m 2 M будет m = em = (gg 1)m = g(g 1m), так что отображение сюръективно.

Группа Gm из пункта (2) предложения 40 называется стационарной подгруппой (или стабилизатором) точки m G-операторного множества M. Еще раз повторим, что если M левое операторное множество над группой G, то стабилизатором точки m 2 M называется множество Gm = fg 2 G j gm = mg.

383

2 Правые операторные множества

Понятие правого операторного множества аналогично понятию левого операторного множества. Говорят, что группа G действует на

множестве M как группа правых операторов, если для каждого элемента m 2 M и каждого элемента g 2 G задан элемент m g 2 M, причем выполняются следующие свойства:

(1)m e = m для каждого m 2 M;

(2)m (g1g2) = (m g1) g2 äëÿ âñåõ g1; g2 2 G, m 2 M.

Âэтом случае мы говорим также, что M правое операторное множество над группой G или, короче, правое G-операторное множество. Часто для обозначения того, что множество M рассматривается как

правое G-операторное множество, используется запись MG. Обычно вместо m g пишут mg; распространено также обозначение mg.

Отметим, что разница между левым и правым операторным множеством не только в том, пишем мы оператор слева или справа от элемента, на который он действует: при действии произведения g1g2 на элемент m 2 M в случае левого операторного множества снача-

ла на m действует второй сомножитель, а затем первый, а в случае

правого операторного множества сначала первый сомножитель, а затем второй. Конечно, эта разница несущественна в случае абелевой группы G, однако при неабелевой группе операторов это важно.

Впрочем, любое левое G-операторное множество можно легко превратить в правое, изменив действие операторов, и наоборот.

Предложение 41. Пусть M = GM левое операторное множество над группой G. Определим правое действие оператора g 2 G на множестве M формулой: mg = g 1m для всех m 2 M. Относи-

тельно этого действия множество M становится правым операторным множеством над G.

Доказательство. Проверим, что выполняются аксиомы правого операторного множества. Действительно, для всех m 2 M, g; h 2 G

me = e 1m = em = m;

mgh = (gh) 1m = (h 1g 1)m = h 1(g 1m) = h 1(mg) = (mg)h:

3 Гомоморфизмы и операторные подмножества операторных множеств

До конца главы под операторным множеством мы всегда подразумеваем левое операторное множество. 1 Пусть GM операторное

1В петербургской алгебраической школе отдают предпочтение левой записи операторов, хотя многие другие математики чаще пользуются правой записью.

384

множество над группой G. Его подмножество N называется G-опе- раторным подмножеством M, если для любых n 2 N, g 2 G элемент gn тоже принадлежит G. Ясно, что G-операторное подмножество G- операторного множества M само является G-операторным множе-

ством.

Пусть теперь GM è GN два G-операторных множества; отображение ' : M ! N называется гомоморфизмом G-операторных множеств, если '(gm) = g'(m) для всех m 2 M, g 2 G. Биективный гомоморфизм G-операторных множеств называется изоморфизмом,

а операторные множества, для которых существует изоморфизм одного из них на другое, называются изоморфными.

Предложение 42. Тождественное отображение операторного множества на себя является изоморфизмом операторных множеств. Если ' : M ! N изоморфизм операторных множеств над груп-

ïîé G, òî ' 1 : N ! M тоже изоморфизм операторных множеств. Если : N ! K еще один изоморфизм G-операторных множеств, то ' : M ! K изоморфизм операторных множеств.

Доказательство. Первое утверждение очевидно. Если ' : N ! M, : M ! K изоморфизмы операторных множеств, то отображения '; биективны, а потому ' 1 и ' тоже биективные отоб-

ражения, и остается лишь проверить, что они являются гомоморфизмами G-операторных множеств. Пусть m 2 M, g 2 G; тогда

( ')(gm) = ('(gm)) = (g'(m)) = g ('(m)) = g( ')(m). Далее,

'(' 1(gm)) = gm = g'(' 1(m)) = '(g' 1(m)), и, поскольку отображение ' инъективно, мы получаем отсюда, что ' 1(gm) = g' 1(m).

Из этого предложения следует, что изоморфность G-операторных

множеств обладает обычными свойствами: каждое операторное множество изоморфно само себе; если операторное множество M изо-

морфно операторному множеству N, то операторное множество N изоморфно операторному множеству M; если операторное множество M изоморфно операторному множеству N, а операторное множество N изоморфно операторному множеству K, то операторное множество M изоморфно операторному множеству K. Однако, ска-

зать, что изоморфность является отношением эквивалентности, мы не можем: отношение эквивалентности определяется на каком-то множестве, а множества всех G-операторных множеств, как и множе-

ства всех множеств, не существует.

4 Однородные пространства

Лемма 18. Пусть G группа, а M непустое G-операторное множество. Следующие условия равносильны:

385

(1)для любых двух элементов m1; m2 2 M существует элемент g 2 G, такой что m2 = gm1;

(2)существует такой элемент m 2 M, что для любого элемента m0 2 M существует элемент g 2 G, такой что m0 = gm;

(3)для любого элемента m 2 M имеем: M = fgm j g 2 Gg.

Доказательство. (2) ) (1). Пусть m 2 M такой элемент, что для любого элемента m0 2 M существует элемент g 2 G, такой что m0 = gm, и пусть m1; m2 2 M. Тогда существуют такие g1; g2 2 G,

÷òî m1 = g1m, m2 = g2m, è äëÿ g = g2g 1

1 получаем:

m2 = g2m = ((g2g1 1)g1)m = (gg1)m = g(g1m) = gm1:

(1) ) (3). Если m 2 M, g 2 G, то gm 2 M, потому что M G-операторное множество; таким образом, fgm j g 2 Gg M. Если теперь m1 2 M, то по условию (1) существует элемент g 2 G, такой что m1 = gm; поэтому m1 2 fgm j g 2 Gg, òàê ÷òî M fgm j g 2 Gg.

(3) ) (2) очевидно.

Если G-операторное множество M удовлетворяет любому из рав-

носильных условий леммы 18, а потому и всем этим условиям, то говорят, что группа G действует на множестве M транзитивно, а са-

мо множество M называется однородным пространством для группы операторов G или однородным G-операторным множеством.

Укажем важный пример однородных пространств. Пусть G группа, а H ее подгруппа. Превратим множество G=H левых смежных классов группы G по подгруппе H в G-операторное множество, определив действие оператора g 2 G на смежный класс 2 G=H формулой g = g (поясним, что g понимается как произведение одноэлементного подмножества g и подмножества группы G). Это определение корректно; действительно, если g1 2 G любой элемент из , то = g1H, и потому g = g(g1H) = (gg1)H левый смежный класс G по H, то есть элемент из G=H. Аксиомы операторного

множества легко следуют из свойств действий над подмножествами группы:

e = e = ; (g1g2) = g1(g2 ) = g1 (g2 )

для любого смежного класса 2 G=H и любых элементов g1; g2 2 G. Покажем, что группа G действует на G=H транзитивно. Действи-

тельно, пусть 1; 2 смежные классы из G=H; существуют такие g1; g2 2 G, ÷òî 1 = g1H, 2 = g2H, и мы имеем:

2 = g2H = g2g1 1g1H = (g2g1 1) 1 = (g2g1 1) 1:

386

Теорема 25. Пусть G группа, а M однородное G-операторное множество. Для любой точки m 2 M G-операторное множество

M изоморфно однородному пространству смежных классов G=Gm, ãäå Gm стабилизатор точки m. Если m; n 2 M и Gm, Gn ñòà- билизаторы точек m, n однородного G-операторного множества M, то существует элемент g 2 G, такой что Gn = g 1Gmg.

Доказательство. Пусть = gGm 2 G=Gm смежный класс группы G по подгруппе Gm; положим '( ) = gm. Если g1 другой элемент из G, такой что = g1Gm, òî g1 = gh для некоторого элемента h 2 Gm, и мы получим, что g1m = (gh)m = g(hm) = gm; таким образом, элемент gm не зависит от выбора представителя g класса смежности, и потому наше определение отображения ' : G=Gm ! M корректно. Проверим, что ' гомоморфизм G-операторных множеств. действительно, пусть = g0Gm 2 G=Gm, g 2 G; тогда g = (gg0)Gm è

'(g ) = '((gg0)Gm) = (gg0)m = g(g0m) = g'( ):

Åñëè '(g1Gm) = '(g2Gm), òî g1m = g2m, откуда следует, что

(g1 1g2)m = g1 1(g2m) = g1 1(g1m) = em = e;

а это значит, что g1 1g2 2 Gm, òî åñòü g1Gm = g2Gm; таким образом, отображение ' инъективно. Оно сюръективно: если n 2 M, то, по-

скольку G действует на M транзитивно, существует такой элемент

g 2 G, ÷òî n = gm = '(gGm).

Докажем последнее утверждение теоремы. Пусть m; n 2 M; поскольку G действует на M транзитивно, существует такой элемент g 2 G, что m = gn. Если g0 2 Gm, òî g0m = m, и потому

g 1g0gn = g 1g0m = g 1m = g 1gn = n;

òî åñòü g 1g0g 2 Gn. Таким образом, g 1Gmg Gn. Далее, n = g 1m, и мы точно так же показываем, что (g 1) 1Gng 1 Gm; домножая это соотношение слева на g 1 и справа на g, мы получаем обратное

включение Gn = g 1(g 1) 1Gng 1g g 1Gmg.

Следствие. Мощность любого однородного пространства M над

группой G равна индексу в G стационарной подгруппы Gm любой точки m 2 M. В частности, если G конечная группа, а M од-

нородное G-операторное множество, то число элементов множества M делит порядок группы G.

Доказательство. По теореме 25 G-операторное множество M изоморфно однородному пространству левых смежных классов G=Gm, а потому мощность множества M равна мощности множества левых смежных классов G=Gm, то есть индексу (G : Gm).

387

5 Строение операторных множеств

Пусть G группа, а M G-операторное множество. Введем на M отношение , считая, что m1 m2 тогда и только тогда, когда существует такой элемент g из группы G, что m2 = gm1. Покажем, что отношение эквивалентности. Действительно, m m для

любого m 2 M, потому что m = em. Далее, если m1 m2, òî ñóùå- ствует элемент g 2 G, такой что m2 = gm1; тогда m1 = g 1m2, òàê

÷òî m2 m1. Наконец, пусть m1 m2, m2 m3; тогда существу- ют элементы g1; g2 2 G, такие что m2 = g1m1, m3 = g2m2, и потому m3 = g2m2 = g2(g1m1) = (g2g1)m1, а это значит, что m1 m3.

Как и для любого отношения эквивалентности, множество M раз-

бивается в объединение попарно не пересекающихся классов эквивалентности . Эти классы называются орбитами для данного дей-

ствия группы G на множестве M. Если O одна из орбит, и m 2 O, то для любого g 2 G будет gm m, то есть gm 2 O. Таким образом, каждая орбита G-операторное подмножество M. Более того, орбита O является однородным G-операторным множеством: если m1 2 O, òî m1 m, а значит, существует элемент g 2 G, такой что m1 = gm (см. пункт (2) леммы 18).

Таким образом, мы доказали следующую теорему, которая вместе с теоремой 25 полностью описывает структуру G-операторных

множеств.

Теорема 26. Любое операторное множество над группой G разбивается в объединение попарно непересекающихся G-операторных

подмножеств (орбит), каждое из которых является однородным G-операторным множеством.

Орбита, содержащая элемент m 2 M, состоит из всех элементов вида gm, где g пробегает группу G, что объясняет ее название: если G рассматривать как группу движений множества M, то орбита точки m состоит из точек, в которые m может попасть при помо-

щи таких движений. Особенно наглядным примером, иллюстрирующим естественность этой терминологии, является множество точек плоскости, рассматриваемое как операторное множество относительно группы вращений вокруг фиксированной точки O; орбитами здесь

будут окружности с центром O.

6 Примеры операторных множеств

Мы уже видели, что для любой группы G и любой е¼ подгруппы H множество левых смежных классов G=H является G-операторным

множеством; оно же будет операторным множеством и над любой подгруппой группы G.

388

Всякое множество X является операторным множеством на своей

группой преобразований SX и над любой е¼ подгруппой G. Пусть теперь : G ! SX гомоморфизм произвольной группы G в группу преобразований SX ; полагая gx = ( (g))(x) для любых x 2 X, g 2 G мы превратим X в G-операторное множество. Нетрудно видеть, что

так получается любое операторное множество. В частности, если гомоморфизм отображает всю группу G в единичный элемент груп-

ïû SX , то есть в тождественное преобразование множества X, то мы получим операторное множество X с тривиальным действием всех операторов из G: gx = x для всех g 2 G, x 2 X.

Пусть теперь X множество, снабженное некоторой дополни-

тельной структурой R. Рассмотрим множество SX (R) всех преобразований, сохраняющих эту структуру. Ясно, что композиция таких преобразований тоже сохраняет нашу структуру, так что множество SX (R) замкнуто относительно умножения. Во многих случаях это множество оказывается также замкнутым относительно взятия обратного элемента, так что SX (R) оказывается подгруппой SX , è ïî- тому множество X становится SX (R)-операторным множеством.

Например, пусть X является группой. Напомним, что автоморфизмом группы X называется преобразование множества X, кото-

рое является в то же время гомоморфизмом групп, то есть сохраняет структуру группы на множестве X. Множество всех автоморфизмов

группы X обозначается Aut(X). Покажем, что множество Aut(X)

замкнуто не только относительно композиции преобразований, но и относительно взятия обратного преобразования, то есть что Aut(X)

подгруппа SX . Действительно, если g 2 Aut(X), то для любых x; y 2 X

g(g 1(xy)) = xy = g(g 1(x))g(g 1(y)) = g(g 1(x)g 1(x));

потому что g гомоморфизм групп; поскольку g инъективное отображение, отсюда следует, что g 1(xy) = g 1(x)g 1(y), òàê ÷òî g 1 сохраняет структуру группы на X и потому принадлежит Aut(X). Итак, Aut(X) подгруппа SX , и группа X является операторным множеством над своей группой автоморфизмов Aut(X).

Аналогично, пусть кольцо. Автоморфизмом называется преобразование множества , сохраняющее структуру кольца, то есть такое биективное отображение : ! что (a + b) = (a) + (b),(ab) = (a) (b) для всех a; b 2 . Как и выше, проверяется, что множество Aut( ) автоморфизмов кольца является подгруппой группы S , так что кольцо операторное множество над своей группой автоморфизмов Aut( ).

Приведем ещ¼ несколько геометрических примеров. Пусть X = Aмножество точек аффинного пространства, и пусть V его касательное векторное пространство. По самому определению аффин-

389

ного пространства оно является операторным множеством над аддитивной группой пространства V , только здесь действие операто-

ров записывается аддитивно: вектор v 2 V переводит точку A 2 A

в точку A + v, то есть в единственную точку B 2 A, такую что

!

AB = v. При этом аксиомы операторного множества выполняются:

(A + u) + v = a + (u + v) (соотношение треугольника), A + 0V = A для любых A 2 A, u; v 2 V .

Пусть теперь X = E множество точек аффинного евклидова пространства (скажем, X плоскость или обычное трехмерное про-

странство); на н¼м, кроме векторной, есть ещ¼ метрическая структура расстояние между точками. Напомним, что преобразование множества E, сохраняющее все расстояния между точками, назы-

вается движением аффинного пространства E. Ясно, что если при

каждом из преобразований сохраняются все расстояния между точ- ками, то они сохраняются и при обратных преобразованиях, и при любых композициях этих преобразований. Таким образом, движения аффинного пространства составляют подгруппу группы преобразований, и значит, E операторное множество над группой дви-

жений. Аналогично, аффинное евклидово пространство E является

операторным множеством над группой преобразований подобия, над группой самосовмещений любой решетки в E и т.п. Сама решетка

тоже операторное множество над своей группой самосовмещений (кристаллической группой).

7 Эрлангенская программа Ф.Клейна

Вернемся к одному из рассмотренных выше примеров операторных множеств. Пусть G группа движений обычного трехмерного евкли-

дова аффинного пространства E. Классическая евклидова геометрия изучает свойства тел, сохраняющиеся при всех движениях из G. Такие свойства называются инвариантами группы G.

Но возникает вопрос: почему нельзя взять вместо группы движений аффинного пространства E какую-нибудь другую группу, даже

не обязательно связанную с евклидовой структурой? Мы теперь естественно приходим к следующему определению.

Пусть G некоторая группа, и пусть X G-операторное множество; геометрией группы G на X назовем описание инвариантов группы G, то есть, проще говоря, таких свойств подмножеств множества X, которые сохраняются при действии всех операторов из G.

Такой подход к геометрии был предложен Феликсом Клейном в докладе "Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований", который он прочел в 1872 году, вступая в должность про-

390