algebra1

не принадлежащая H. Можно считать, что a и b неотрицательны; действительно, вместе с матрицей A не принадлежат H матрицы AP i, i = 0; 1; 2; 3, равные соответственно

и у одной из них верхняя строка состоит из неотрицательных элементов. Далее, выберем матрицу A с неотрицательной верхней строкой

так, чтобы сумма a + b была наименьшей возможной. Если a b, b 6= 0, то матрица с неотрицательной верхней строкой

тоже не принадлежит H, и сумма элементов е¼ верхней строки a меньше, чем a+b. Если же a b, a 6= 0, то матрица с неотрицательной верхней строкой

тоже не принадлежит H, и сумма элементов е¼ верхней строки b меньше, чем a+b. В обоих случаях получается противоречие с мини-

мальностью суммы элементов верхней строки. Таким образом, одно из чисел a; b равно 0; поэтому определитель 1 матрицы A делится на

другое из этих чисел, и оно может быть равным только числу 1. Учи- тывая, что определитель матрицы A равен 1, получаем, что матрица

A может иметь только один из видов

Но мы видели, что все эти матрицы принадлежат H.

В свободном произведении циклических групп порядков 2 и 3, порожденных элементами p и q соответственно, всякое непустое неприводимое слово имеет вид ps0qt1 pqt2 : : : pqtn ps, s0; s = 0; 1, ti = 1; 2, n > 0, или сводится к единственной букве p. Для того, чтобы доказать, что

группа PSL(2; Z) является свободным произведением этих подгрупп,

достаточно показать, что всякое такое непустое слово не превращается в группе PSL(2; Z) в единичный элемент. Поскольку p нееди-

ничный элемент группы PSL(2; Z), остается показать, что при n > 0 в этой группе ps0qt1 pqt2 : : : pqtn ps 6= e, òî åñòü ÷òî

pqt1 pqt2 : : : pqtn 6= pk (k = 1 s0 s);

èëè, ÷òî òî æå, P Qt1 : : : P Qtn 6= P k в группе матриц SL(2; Z). Напомним, что мы обозначили матрицы P Q, P Q2 через U и V , так что

421

утверждение, которое нам остается доказать, принимает следующий вид: если n > 0, то произведение W1W2 : : : Wn, где для любого i матрица Wi

отлично от матриц P k. Но все компоненты матриц W1 : : : Wi неотри- цательны, и умножение справа на следующую матрицу Wi+1 сводится к прибавлению к одному из столбцов другого столбца; поэтому при увеличении i сумма компонент матрицы W1 : : : Wi

при n > 0 сумма компонент матрицы W1 : : : Wn не меньше, чем сумма

компонент матрицы W1, то есть не меньше, чем 3, а сумма компонент матрицы P k может принимать лишь значения 2; 0; 2.

4 Образующие и соотношения свободного произведения

Пусть две группы заданы своими образующиими и определяющими соотношениями; мы покажем, что свободное произведение порождается объединением множеств образующих сомножителей, а объединение множеств их определяющих соотношений является множеством определяющих соотношений свободного произведения. Точнее это утверждение сформулировано в следующей далее теореме. Но прежде, чем перейти к ней, приведем несколько лемм, на которых будет основано доказательство теоремы, но которые носят совершенно общий характер и постоянно используются в теоретико-групповых рассуждениях.

Лемма 30. Пусть G группа, H нормальная подгруппа G, и пусть канонический эпиморфизм группы G на факторгруппу G=H. Если элементы g1; : : : ; gn порождают группу G, то элементы(g1); : : : ; (gn) порождают факторгруппу G=H.

Доказательство. Пусть g 2 G=H; существует элемент g 2 G, такой что g = gH = (g). Поскольку g1; : : : ; gn порождающая система

Тогда g = (g) = ( (gi1 ))"1 ( (gi2 ))"2 : : : ( (giN ))"N . Таким образом, все элементы g 2 G=H принадлежат подгруппе группы G=H, по-

рожденной элементами (g1); : : : ; (gn), а это как раз и означает, что элементы (g1); : : : ; (gn) порождают факторгруппу G=H.

Лемма 31. Пусть g1; : : : ; gn порождающая система группы G, h1; : : : ; hn порождающая система группы H. Если существуют такие гомоморфизмы групп ' : G ! H, : H ! G, что '(gi) = hi,

(hi) = gi для всех i, 1 i n, то группы G, H изоморфны.

422

Доказательство. Для каждого i

( ')(gi) = ('(gi)) = (hi) = gi = idG(gi):

Таким образом, гомоморфизмы ', idG совпадают на порождаю- щей системе g1; : : : ; gn группы G, и поэтому по предложению 24 они равны. Точно так же доказываем, что ' = idH . Значит, отобра- жения ' и взаимно обратны, и потому биективны. Итак, каждое из отобрахений ' : G ! H, : H ! G биективный гомоморфизм, то есть изоморфизм групп.

Теорема 36. Пусть F1 свободная группа со свободными образую- ùèìè x1; : : : ; xn, F2 свободная группа со свободными образующими y1; : : : ; ym, G свободная группа со свободными образующими x1; : : : ; xn; y1; : : : ; ym. Пусть, далее, R1 è R2 произвольные подмно- жества F1 è F2, H1 =<<R1>> è H2 =<<R2>> порожденные ими нормальные подгруппы этих групп, и пусть K =<< R1 [ R2 >> нормальная подгруппа группы G, порожденная объединением множеств R1 è R2. Тогда группа G=K изоморфна свободному произведению групп F1=H1 è F2=H2.

Доказательство. Пусть

1 : F1 ! F1=H1; 2 : F2 ! F2=H2; : G ! G=K

канонические эпиморфизмы групп на факторгруппы. Введем обозначения:

xi = 1(xi); yj = 2(yj); x^i = (xi); y^j = (yj)

(1 i n; 1 j m.) По лемме 30 элементы xi (1 i n) порождают группу F1=H1, элементы yj (1 j m) группу F2=H2, à элементы x^i; y^j (1 i n; 1 j m) группу G=K. Далее, всякий элемент из свободного произведения (F1=H1) (F2=H2) является произведением нескольких сомножителей, каждый из которых принадлежит одной из групп (F1=H1), (F2=H2), и поэтому сам представля-

ется в виде произведения, каждый сомножитель которого равен или одному из элементов xi, xi 1 (1 i n), или одному из элементов yj,

(1 j m). Поэтому свободное произведение (F1=H1) (F2=H2) порождается элементами xi; yj (1 i n; 1 j m).

По лемме 31 для доказательства теоремы достаточно построить такие гомоморфизмы групп

' : (F1=H1) (F2=H2) ! G=K; : G=K ! (F1=H1) (F2=H2);

что для всех i, j, (1 i n; 1 j m), выполняются равенства

'(xi) = x^i; '(yj) = y^j; (^xi) = xi; (^yj) = yj:

423

Этим мы и занимаемся в оставшейся части доказательства.

Построение гомоморфизма . Поскольку xi; yj свободные образую- щие группы G, существует гомоморфизм 0 : G ! (F1=H1) (F2=H2), такой что 0(xi) = xi, 0(yj) = yj для всех i, j. Заметим, что свобод-

ная группа F1 естественно вложена в свободную группу G, поскольку множество fx1; : : : ; xng ее свободных образующих составляют часть множества fx1; : : : ; xn; y1; : : : ; ymg свободных образующих группы G.

Построение гомоморфизма '. Пусть '01 композиция естественно- го вложения F1 в G, о котором говорилось выше, и канонического эпиморфизма : G ! G=K. Поскольку

H1 =<<R1>> <<R1 \ R2>>= K = Ker ;

по теореме 8 существует гомоморфизм '1 : F1=H1 ! G=K, такой что '1( 1(x)) = '01(x) для любого x 2 F1. В частности,

'1(xi) = '1( 1(xi)) = '01(xi) = (xi) = x^i (1 i n):

Точно так же строится гомоморфизм '2 : F2=H2 ! G=K, такой что '2(yj) = y^j для всех j, 1 j m. По основному свойству свободного произведения, существует гомоморфизм

' : (F1=H1) (F2=H2) ! G=K;

ограничение которого на F1=H1 равно '1, а ограничение на F2=H2 равно '2. Для всех i, 1 i n, и всех j, 1 j m, выполняются нужные нам равенства

'(xi) = '1(xi) = x^i; '(yj) = '2(yj) = y^j

424