algebra1

фессора Эрлангенского университета. Этот доклад вошел в историю науки под названием "Эрлангенская программа Клейна".

Поясним сказанное несколькими примерами. Вместо группы движений аффинного евклидова пространства E можно было бы взять

группу G0 всех преобразований подобия; геометрия этой группы

изучение свойств геометрических объектов с точностью до подобия. Можно рассматривать и действия других групп на аффинных пространствах, причем не обязательно над полем вещественных чисел; например, взяв в качестве группы операторов группу проективных преобразований, мы получим проективную геометрию. При соответствующем выборе группы операторов и е¼ подгруппы мы можем получить в результате пространство Лобачевского.

Отметим ещ¼ один пример. Пусть X четырехмерное аффинное пространство над R; выберем в нем систему координат (O; e1; e2; e3; e4). Пусть A1; A2 точки из X, координаты которых равны соответственно (x1; y1; z1; t1) è (x2; y2; z2; t2); положим

d(A1; A2) = (x1 y1)2 + (y1 y2)2 + (z1 z2)2 c2(t1 t2)2;

где c скорость света. В качестве группы G операторов на X возьмем группу всех таких преобразований g 2 SX , ÷òî

d(g(A); g(B)) = d(A; B) äëÿ âñåõ A; B 2 X:

Геометрия этой группы специальная теория относительности Эйнштейна.

Во многих случаях, в частности, во всех рассмотренных выше примерах, группа G действует на множестве X транзитивно, поэтому

операторное множество X изоморфно пространству смежных классов G=H, где H стационарная подгруппа некоторой точки O 2 X; о самом множестве X можно вообще забыть, и изучать чисто алгебра- ический объект, состоящий из группы G и е¼ подгруппы H, которые

часто можно задать независимо от геометрии. Например, группа движений G евклидовой плоскости и стационарная подгруппа H одной

из точек этой плоскости могут быть описаны как группы матриц

('; a; b 2 R; " = 1). Таким образом, плоская евклидова геометрия сводится к чисто алгебраической теории G-операторного множества

G=H.

391

x 12: Теоремы Силова

1 Теорема Коши

Теорема 27 (Коши). Пусть G конечная группа, порядок которой делится на простое число p. Тогда в G есть циклическая подгруппа порядка p.

Доказательство. Пусть сначала G циклическая группа, порожденная элементом g порядка n, делящегося на p, и пусть h = gn=p. Тогда hp = (gn=p)p = gn = e, но если 0 < k < p, то 0 < (n=p)k < n и потому hk = (gn=p)k 6= e, то есть h элемент порядка p, и порожденная им циклическая подгруппа группы G имеет порядок p.

Пусть теперь G абелева группа. Достаточно показать, что в группе G есть элемент g, порядок которого делится на p: тогда, как мы только что доказали, в циклической подгруппе <g> группы G есть циклическая подгруппа порядка p. Последнее утверждение докажем индукцией по порядку n группы G. Если n = p утверждение тривиально. Пусть n > p и пусть оно уже доказано для всех абелевых групп, порядок которых меньше n и делится на p. Выберем произвольный элемент a 2 G, отличный от e. Если порядок m элемента a делится на p, то утверждение доказано. Если же m не делится на

p, то факторгруппа G = G= <a> имеет порядок n=m, делящийся

на p и строго меньший n, и по предположению индукции в группе G

!

есть элемент g, порядок которого делится на p. Пусть : G G канонический эпиморфизм, и пусть g 2 G любой элемент, такой что (g) = g. Гомоморфизм индуцирует эпиморфизм циклической подгруппы <g > группы G на циклическую подгруппу <g > груп-

ïû

G, и потому порядок элемента g, равный порядку циклической группы < g >, делится на порядок группы < g >, равный порядку элемента g, который в свою очередь делится на p. Итак, в группе G нашелся элемент g, порядок которого делится на p, что завершает

доказательство теоремы Коши для абелевых групп.

Теорему Коши в общем случае будем доказывать индукцией по порядку n группы G; если n = p, то утверждение бессодержатель-

но. Пусть n > p и теорема уже доказана для всех групп, порядок которых меньше n и делится на p.

Воспользуемся теорией операторных множеств. Превратим группу G в левое G-операторное множество относительно следующего

действия: для любого элемента h из множества G и любого оператора g из группы G положим g h = ghg 1. Аксиомы операторного множества проверяются тривиально:

e h=ehe 1 =ehe=h; (fg) h=(fg)h(fg) 1 =fghg 1f 1 =

=f(ghg 1)f 1 =f(g h)f 1 =f (g h)

392

для любого элемента h 2 G и любых операторов f; g 2 G.

Как и всякое операторное множество, множество G распадается в объединение непересекающихся орбит M1; : : : ; Mr. Если среди ор- бит есть орбита, порядок j которой больше 1 и не делится на p, то

стабилизатор Gm любой точки m из этой орбиты является в группе G подгруппой индекса j и потому jGj = (G : Gm)jGmj = jjGmj. Порядок группы G делится на простое число p, а индекс j не делится; значит, на p делится порядок jGmj группы Gm. Поскольку индекс j строго больше 1, порядок подгруппы Gm меньше порядка n группы G, и по предположению индукции в группе Gm G есть циклическая подгруппа порядка p.

Остается рассмотреть случай, когда порядок любой из орбит Ms либо равен 1, либо делится на p. Изменив, если надо, нумерацию орбит, мы можем считать, что порядки первых l орбит равны 1, а порядки остальных делятся на p. Поскольку множество G объ-

единение непересекающихся орбит M1; : : : ; Mr, порядок n группы G равен сумме порядков этих орбит. Таким образом,

n = jM1j + : : : + jMlj + jMl+1j + : : : + jMrj =

= l + jMl+1j + : : : + jMrj l (mod p);

поскольку n делится на p, отсюда следует, что l делится на p.

Лемма 19. Орбита состоит из единственного элемента z 2 G тогда и только тогда когда элемент z принадлежит центру Z(G) группы G. Поэтому количество l одноэлементных орбит равно порядку центра Z(G) группы G.

Доказательство. Если z 2 Z(G), то g z = gzg 1 = z для всех g 2 G, так что орбита элемента z состоит только из самого элемента z. Обратно, если орбита элемента z состоит только из элемента z, то z = g z = gzg 1 для каждого g 2 G, то есть zg = gz для каждого g 2 G, а это и означает, что z 2 Z(G).

Таким образом, G содержит абелеву подгруппу Z(G), порядок которой делится на p. Поскольку теорему Коши для абелевых групп мы уже доказали, получаем, что в Z(G) G есть циклическая подгруппа порядка G.

2 Нормализатор подгруппы

Прежде, чем перейти к формулировке основных результатов этого параграфа, введем важное теоретико-групповое понятие. Пусть G

группа, а H ее подгруппа. Нормализатором NG(H) подгруппы H в группе G называется множество всех таких элементов g 2 G, что

gH = Hg.

393

Предложение 43. Нормализатор NG(H) любой подгруппы H группы G является подгруппой группы G; группа H содержится в NG(H) и, более того, является нормальной подгруппой группы NG(H). Если F H подгруппа G, такая что H нормальная подгруппа

F , òî F NG(H).

Доказательство. Поскольку eH = H = He, единичный элемент e

группы G принадлежит NG(H). Åñëè g 2 NG(H), то gH = Hg; домножая это равенство слева и справа на g 1, получим:

Hg 1 =(g 1g)Hg 1 =g 1(gH) 1 =g 1(Hg)g 1 =g 1H(gg 1)=g 1H;

а это значит, что g 1 2 NG(H). Åñëè g1; g2 2 NG(H), òî

(g1g2)H = g1(g2H) = g1(Hg2) = (g1H)g2 = (Hg1)g2 = H(g1g2);

òî åñòü g1g2 2 NG(H). Èòàê, NG(H) подгруппа G. Если h 2 H, то hH = H = Hh, то есть h 2 NG(H), а значит, H NG(H). Наконец, то, что gH = Hg для любого элемента g 2 NG(H), в точности означает, что H нормальная подгруппа NG(H).

Если теперь F H подгруппа G, такая что H нормальная подгруппа F , и f 2 F , то fH = Hf, потому что H E F , и значит, f 2 NG(H). Èòàê, F NG(H).

Предложение 44. Пусть H подгруппа группы G. Рассмотрим G-операторное множество левых смежных классов G=H как операторное множество над подгруппой H группы G. Если подгруппа H

конечна, то нормализатор NG(H) подгруппы H в группе G является объединением всех смежных классов 2 G=H, орбиты которых

состоят из единственного элемента . Поэтому порядок нормализатора NG(H) равен произведению числа одноэлементных орбит и порядка группы H.

Доказательство. Пусть f igi2I множество всех смежных классов из G=H, орбиты которых состоят из единственного элемента. Пусть g 2 NG(H) и пусть = gH 2 G=H. Если h 2 H, то gH = Hg и

h = h(gH) = h(Hg) = (hH)g = Hg = gH = :

Таким образом, H-орбита класса состоит только из элемента ,

элемент принадлежит смежному клас-

ñó i, который составляет одноэлементную орбиту. Но из того, что g 2 i следует, что i = gH; поэтому для любого h 2 H будет hg 2 (hg)H = h(gH) = h i = i = gH. Значит, Hg gH, и, поскольку и в множестве gH, и в его подмножестве Hg столько же

394

элементов, сколько в конечной группе H, по принципу Дирихле по-

S

лучаем, что Hg = gH, то есть g 2 NG(H). Èòàê, NG(H) = Остается заметить, что смежные классы i попарно не пересекаются и каждый из них состоит из jHj элементов, поэтому порядок группы NG(H) равен jIj jHj.

3 Теоремы Силова

Как мы знаем, порядок любой конечной группы делится на порядок любой ее подгруппы. Поэтому если p простое число, а G группа порядка pmq, где q не делится на p, то при l > m в группе G нет подгрупп порядка pl. Однако, как мы сейчас увидим, p-подгруппы максимального возможного порядка pm у группы G есть.

Лемма 20. Пусть G конечная группа, а P ее подгруппа, порядок которой является степенью простого числа p, а N = NG(P ) нормализатор подгруппы P в группе G. Тогда

(N : P ) (G : P ) (mod p):

Доказательство. Рассмотрим G-операторное множество левых смежных классов G=P как операторное множество над подгруппой P группы G. Это множество состоит из (G : P ) смежных классов и

оно разбивается в объединение попарно непересекающихся орбит: G=P = M1 [ : : : [ Mr. Порядок jMij любой орбиты является дели-

телем порядка группы операторов P , который по условию является степенью p. Мы можем считать (изменив, если надо, нумерацию орбит), что jM1j = : : : = jMkj = p0 = 1, а порядки jMk+1j; : : : ; jMrj остальных орбит делятся на p. По предложению 44 порядок норма-

лизатора N = NG(P ) равен kjP j, а потому (N : P ) = jNj=jP j = k. Следовательно,

(G : P ) = jM1j+: : :+jMkj+jMk+1j+: : :+jMrj k = (N : P ) (mod p):

Теорема 28. Пусть p простое число, а G конечная группа порядка pmq, где q не делится на p. Далее, пусть P подгруппа группы G порядка pl. Тогда для любого r, такого что l r m, в группе G найдется подгруппа P1 порядка pr, содержащая группу P .

Доказательство. Индукция по r. При r = l достаточно положить

P1 = P . Пусть l < r m и пусть уже найдена подгруппа Q группы G, имеющая порядок pr 1 и содержащая P . Поскольку по условию

jGj делится на pm и m > r 1, индекс (G : Q) = jGj=jQj = jGj=pr 1 делится на p. Пусть N нормализатор подгруппы P в группе G; по лемме 20 индекс (N : Q) сравним по модулю p с (G : Q) и

395

потому тоже делится на p. Группа Q является нормальной подгруппой нормализатора N, поэтому определена факторгруппа N=Q и ее порядок (N : Q) делится на p. По теореме Коши в группе N=Q

1

ческий эпиморфизм; тогда полный прообраз P1 = (P1) является подгруппой группы N. Ограничение 0 гомоморфизма на под-

В обозначениях теоремы всякая p-подгруппа группы G, имеющая максимальный возможный порядок pm, называется силовской p-подгруппой группы G. Теорема 28 утверждает, что силовские подгруппы существуют и, более того, что всякая подгруппа группы G, порядок которой степень p, содержится в некоторой силовской подгруппе.

4 Сопряженность и число силовских подгрупп

Два подмножества H, K группы G называются сопряженными в G, если существует элемент g 2 G, такой что K = g 1Hg. Легко видеть,

что сопряженность отношение эквивалентности на множестве подмножеств группы G; мы опускаем тривиальное доказательство этого.

Теорема 29. Пусть G конечная группа, и пусть p простой делитель ее порядка. Подмножество группы G, сопряженное к любой

ее силовской подгруппе, само является силовской подгруппой группы G. Любые две силовские p-подгруппы группы G сопряжены в G.

Доказательство. Пусть g 2 G; зададим отображение 'g : G ! G формулой: 'g(h) = g 1hg для любого h 2 G. Если h; h1 2 G, òî

'g(hh1)=(g 1fg)(g 1f1g)=g 1f(gg 1)f1g =g 1(ff1)g ='g(h)'g(h1);

таким образом, 'g гомоморфизм групп. Более того, это изоморфизм: если h 2 Ker 'g, òî g 1hg = 'g(h) = e, откуда следует, что h = geg 1 = e, и любой элемент h 2 G принадлежит Im 'g, потому ÷òî h = g 1(ghg 1)h = 'g(ghg 1).

Пусть теперь P силовская p-подгруппа группы G, и пусть g любой элемент из G. Тогда g 1P g = 'g(P ) подгруппа G, изоморфная P ; она имеет тот же порядок, что и группа P , и значит, сама является силовской подгруппой группы G.

Пусть порядок группы G равен pmq, где q целое число, не делящееся на p. Далее, пусть P и Q две силовские p-подгруппы группы

396

G; это значит, что jP j = jQj = pm. Рассмотрим G-операторное множество левых смежных классов G=Q как операторное множество над подгруппой P группы G. Оно разбивается в объединение попарно

непересекающихся орбит: G=Q = M1 [ : : : [ Mr. Порядок jMij любой орбиты является делителем порядка pm группы операторов P , поэто-

ìó jMij = psi для некоторого si, 0 si m. Если бы все показатели степени si были отличны от 0, то порядок каждой орбиты делился бы на p, а потому и порядок множества G=Q, равный сумме порядков всех орбит, делился бы на p, что не так, потому что он равен (G : Q) = jGj=jQj = (pmq)=pm = q и не делится на p. Следовательно,

si = 0 для некоторого i, и орбита Mi состоит из единственного смежного класса gQ. Тогда для любого h 2 P будет hgQ = gQ, то есть g 1hgQ = Q è g 1hg 2 g 1hgQ = Q; таким образом, g 1P g Q. Íî g 1P g и Q силовские подгруппы группы G; поэтому у этих множеств одинаковый порядок pm, и по принципу Дирихле g 1P g = Q.

Теорема 30. Пусть G конечная группа, а p простое число. Количество силовских p-подгрупп группы G сравнимо с 1 по модулю p и делит порядок группы G.

Доказательство. Пусть S множество всех силовских p-подгрупп группы G. Для силовской подгруппы P 2 S и элемента g 2 G положим g P = gP g 1; по первому утверждению теоремы 29 g Pснова силовская подгруппа, то есть элемент из S. Поскольку для любых P 2 S, g; g1 2 G будет e P = eP e 1 = P è

(gg1) P = (gg1)P (gg1) 1 = g(g1P g1 1)g 1 = g(g1 P )g 1 = g (g1 P );

множество S представляет собой G-операторное множество относи-

тельно такого действия операторов. Второе утверждение теоремы 29 в точности означает, что это операторное множество однородно; поэтому для любого P 2 S операторное множество S изоморфно про-

странству G=GP смежных классов группы G по стабилизатору GP точки P 2 S. Значит, jSj = jG=GP j = (G : GP ); поскольку индекс любой подгруппы делит порядок группы, число элементов множества S силовских p-подгрупп является делителем порядка группы G.

Элемент g 2 G тогда и только тогда принадлежит стабилизатору GP группы P 2 S, когда P = g P = gP g 1, то есть когда P g = gP , а это равносильно тому, что g 2 NG(P ). Итак, стабилизатор GP

совпадает с нормализатором N = NG(P ) подгруппы P в группе G. Пусть порядок группы G равен pmq, где q не делится на p; тогда

порядок силовской подгруппы P равен pm, а индекс (G : P ) равен q и взаимно прост с p. Пусть k = (N : P ); по лемме 20 q k (mod p), поэтому

qjSj kjSj = (N : P )(G : GP ) = (N : P )(G : N) =

397

= (jNj=jP j)(jGj=jNj) = jGj=jP j = (G : P ) = q (mod p):

Остается заметить, что число q взаимно просто с модулем p, поэтому обе части сравнения можно сократить на множитель q и получить доказываемое сравнение jSj 1 (mod p).

x 13: Строение конечных нильпотентных групп

Конечная группа называется p-группой, где p простое число, если G 6= e и порядок группы G является степенью p.

Теорема 31. Любая конечная p-группа нильпотентна.

Доказательство. Сначала покажем, что центр p-группы нетривиален.

Лемма 21. Если G конечная группа порядка pm, где p простое число, а m 1, то центр группы G нетривиален.

Доказательство. Так же, как при доказательстве теоремы Коши, рассмотрим G как левое G-операторное множество относительно действия: g h = ghg 1 для любого элемента h из множества G и любо-

го оператора g из группы G. Как и всякое операторное множество, множество G распадается в объединение непересекающихся орбит

M1; : : : ; Mr. Порядок каждой из орбит делит порядок группы G = pm, поэтому jMij = psi , ãäå 0 si m.

Изменим, если надо, нумерацию орбит так, чтобы первые l орбит состояли из одного элемента, а порядки psi остальных орбит Mi

следовательно, l делится на p. По лемме 19 число одноэлементных орбит l равно порядку центра Z(G) группы G; значит, порядок центра делится на p, и он состоит по крайней мере из p элементов.

Вернемся к доказательству теоремы 31. Пусть G группа порядка pm, где p простое число, а m 1. Если m = 1, то G цикличе- ская группа порядка p и, конечно, она нильпотентна. Пусть m > 1 и пусть уже доказано, что нильпотентна любая группа порядка ps, ãäå 1 s < m. По лемме 21 центр Z(G) группы G нетривиален, поэтому

398

порядок факторгруппы G=Z(G) строго меньше порядка группы G и, очевидно, тоже является степенью p. Если j(G=Z(G)j = 1, то группа G = Z(G) совпадает со своим центром и потому нильпотентна. Если же jG=Z(G)j = ps, 1 s < m, то группа G=Z(G) нильпотентна по предположению индукции, а тогда по предложению 35 группа G тоже нильпотентна.

Теорема 32. Пусть G конечная группа, отличная от единичной. Следующие условия равносильны:

(1)Группа G нильпотентна.

(2)Все силовские подгруппы группы G являются е¼ нормальными подгруппами.

(3)Группа G раскладывается в прямое произведение своих силовских подгрупп.

Доказательство. (1) ) (2). Доказательство основано на почти оче- видной лемме, которая интересна и сама по себе

Лемма 22. Пусть G конечная группа, B е¼ нормальная подгруппа, p простое число и Gp силовская p-подгруппа группы G. Тогда GpB=B силовская p-подгруппа группы G=B.

Доказательство. Пусть s такое число, что порядок группы G де-

лится на ps, но не делится на ps+1. Тогда jGpj = ps. Порядок под- группы Gp \ B группы Gp делит порядок ps группы Gp, поэтому jGp \ Bj = pt для некоторого t, 0 t s. По второй теореме о гомоморфизмах группы GpB=B è Gp=(Gp \ B) изоморфны, поэтому

jGpB=Bj = jGp=(Gp \ B)j = jGpj=jGp \ Bj = ps=pt = ps t:

Но порядок группы B делится на порядок pt е¼ подгруппы Gp \ B, поэтому jG=Bj = jGj=jBj делится не больше, чем на (s t)-ю степень

числа p. Следовательно, GpB=B p-подгруппа группы G=B максимально возможного порядка, то есть е¼ силовская p-подгруппа.

Доказательство включения (1) ) (2) проведем индукцией по порядку нильпотентной группы G. Если порядок G простое число p, то доказывать нечего. Пусть порядок группы G не простой, и пусть

уже доказано, что все силовские подгруппы нильпотентных групп меньшего порядка нормальны в них. Поскольку группа G нильпо-

тентна, ее центр нетривиальная абелева группа; по теореме Коши для абелевых групп в ней есть подгруппа B простого порядка q. Как

и любая подгруппа центра, B нормальная подгруппа G. Пусть p

399

простой делитель порядка группы G, и пусть Gp силовская p- подгруппа G; тогда по лемме 22 GpB=B силовская p-подгруппа группы G=B

Факторгруппа G=B нильпотентной группы G тоже нильпотентна, и е¼ порядок меньше порядка группы G; поэтому по индукционному предположению группа GpB=B нормальная подгруппа группы G=B. Отсюда следует, что GpB нормальная подгруппа группы G; действительно, если g 2 G, h 2 GpB, òî hB 2 GpB=B, а тогда

g 1hgB = B 1g 1hBgB = (gB) 1(hB)(gB) 2 GpB=B;

и потому g 1hg 2 GpB (мы воспользовались тем, что нормальная подгруппа B = B 1 группы G перестановочна со всеми е¼ элемента-

ìè).

Если q = p, то порядок группы GpB равен произведению порядка p группы B и порядка p-группы GpB=B; следовательно, порядок

группы GpB степень p. Но GpB подгруппа G, и е¼ порядок делит порядок G, который не делится на ps+1. Следовательно, jGpBj ps. Но порядок группы Gp, содержащейся в GpB, равен ps, следователь-

но, группа Gp совпадает с нормальной подгруппой GpB группы G.

Пусть теперь q 6= p, и пусть h 2 Gp, g 2 G; нам надо доказать,

÷òî g 1hg 2 Gp. Поскольку h элемент группы Gp порядка ps, ïî теореме Лагранжа hps = e; тогда и

(g 1hg)ps = g 1hgg 1hg : : : g 1hg == g 1hps g = g 1eg = e:

Поскольку h 2 Gp GpB, à GpB нормальная подгруппа G, элемент g 1hg принадлежит группе GpB и потому представляется в виде g 1hg = h1b, ãäå h1 2 Gp, b 2 B. Но B содержится в центре группы

G, поэтому элементы h1 и b коммутируют, и значит, e = eps = (g 1hg)ps = (h1b)ps = hp1s bps :

Элемент h1 принадлежит группе Gp, поэтому hp1s = hj1Gpj = e; следовательно bps = e. Но b элемент группы B, порядок которой равен q,

òàê ÷òî bq = e. Поскольку q 6= p, числа ps и q взаимно просты, и зна- чит, psu + qv = 1 для некоторых целых чисел u; v. Отсюда вытекает,

÷òî

b = bpsu+qv = (bps )u(bq)v = euev = e;

и потому g 1hg = h1b = h1e = h1 2 Gp, что мы и хотели доказать.

(2) ) (3). Воспользуемся теоремой 20. Пусть jGj = ps11 : : : psrr , ãäå p1; : : : ; pr попарно различные простые числа, а s1; : : : ; sr 1, è

пусть Gi силовская pi-подгруппа группы G (1 i r). Порядки ps11 ; : : : ; psrr силовских подгрупп G1; : : : ; Gr группы G попарно взаимно

просты, а их произведение равно порядку всей группы G. Докажем,

400