потому что, как мы знаем, любые два гомоморфизма, совпадающие на порождающем множестве группы, совпадают на всей группе.
Из этого определения сразу следует, что свободные группы с равномощными множествами свободных образующих изоморфны. Дей- ствительно, пусть F1 свободная группа с множеством свободных
401
ем . Отметим, что если такой гомоморфизм
' есть, то только один,
X совпадает с отображени-
ïðè-
что любые две различные из этих подгрупп поэлементно перестановочны. Действительно, пусть i 6= j и пусть g 2 Gi, h 2 Gj; тогда элемент x = g(hg 1h 1) = (ghg 1)h 1 принадлежит как подгруппе Gi (потому что g 2 Gi, а элемент hg 1h 1 вместе с элементом g 1
надлежит нормальной подгруппе Gi группы G), так и подгруппе Gj (потому что h 1 2 Gj, а элемент ghg 1 вместе с элементом h принад-
лежит нормальной подгруппе Gj группы G). По теореме Лагранжа порядок элемента x делит порядки psii è psjj групп Gp è Gq; íî ýòè
порядки взаимно просты, и потому x элемент порядка 1, то есть x = e. Итак, ghg 1h 1 = x = e, откуда следует, что gh = hg.
Таким образом, подгруппы G1; : : : ; Gr группы G удовлетворяют всем требованиям теоремы 20, и по этой теореме группа G является их прямым произведением.
(3) ) (1). По теореме 31 каждая группа, порядок которой сте-
пень простого числа, нильпотентна, а прямое произведение нескольких нильпотентных групп тоже нильпотентная группа по предложению 33.
x 14: Свободные группы
1 Понятие свободной группы
Пусть F группа, а X подмножество G. Мы говорим, что F группа, свободно порожденная множеством X, или что F свободная группа с множеством свободных образующих элементов X, если, во-первых, множество X порождает группу F , и, во-вторых, элементы из X не связаны никакими соотношениями, кроме тех, которые вытекают из того, что F группа. Иначе говоря, второе условие
означает, что если есть какое-то соотношение между элементами из X, то такое же соотношение есть между любыми элементами любой
группы.
Дадим теперь точное определение свободной группы. Пусть F группа, а X подмножество F ; мы говорим, что F свободная группа с множеством свободных образующих элементов X, если группа F порождается множеством X и если для любой группы G и любого отображения : X ! G существует гомоморфизм групп ' : F ! G, ограничение которого на подмножество
образующих элементов X1, F2 свободная группа с множеством сво-
бодных образующих элементов X2. Если множества X1 è X2 равно- мощны, то существуют взаимно обратные отображения 0 : X1 ! X2,0 : X2 ! X1. Обозначим через : X1 ! F2 композицию 0 и вложе-
ния подмножества X2 в группу F2, а через : X2 ! F1 композицию0 и вложения подмножества X1 в группу G1. По определению сво-
бодной группы существуют гомоморфизмы ' : F1 ! F2, : F2 ! F1, такие что '(x) = (x) = 0(x) для любого x 2 X1, и аналогично (y) = (y) = 0(y) для любого y 2 X2. Тогда ' является гомомор-
физмом группы F1 в себя, причем для любого элемента x из порождающего множества X1 будет
'(x) = ('(x)) = ( 0(x)) = 0( 0(x)) = x;
значит, гомоморфизм ' : F1 ! F1 совпадает на порождающем множестве X1 с тождественным автоморфизмом группы F1, а потому
совпадает с ним на всей группе |
F1. Таким образом, ' = idF1 , è |
точно так же показывается, что |
' = idF2 . Итак, гомоморфизмы |
': F1 ! F2, : F2 ! F1 взаимно обратные изоморфизмы.
Âчастности, если для натурального числа n существует свобод-
ная группа с n свободными образующими, то, с точностью до изо-
морфизма, только одна. Но мы пока ещ¼ не знаем, существуют ли хоть какие-то свободные группы.
2 Полугруппа слов
Пусть X произвольное множество, которое будем называть здесь
алфавитом; рассмотрим множество WX всех слов в алфавите X, то есть всех последовательностей вида x1 : : : xn, где n 0 целое число, а x1; : : : ; xn произвольные "буквы" из X. Одним из элементов множества WX является пустое слово, не содержащее ни одной буквы. Мы отождествляем элементы x 2 X с однобуквенными словами,
состоящими только из этой буквы; таким образом, мы считаем, что X подмножество WX . Åñëè w = x1 : : : xn слово из WX , то число n букв в нем называется длиной слова w. Ниже выписаны все непустые слова в двухбуквенном алфавите fx; yg, длина которых не больше 3:
x; y; xx; xy; yx; yy; xxx; xxy; xyx; xyy; yxx; yxy; yyx; yyy:
Определим на множестве WX умножение, положив
(x1 : : : xn)(y1 : : : ym) = x1 : : : xny1 : : : ym
для любых слов x1 : : : xn; y1 : : : ym 2 WX (здесь, конечно, x1; : : : ; xn, y1; : : : ; ym произвольные буквы из X). Нетрудно видеть, что это умножение ассоциативно:
((x1 : : : xn)(y1 : : : ym))(z1 : : : zl) = (x1 : : : xny1 : : : ym)(z1 : : : zl) =
=x1 : : : xny1 : : : ymz1 : : : zl = (x1 : : : xn)(y1 : : : ymz1 : : : zl) =
=(x1 : : : xn)((y1 : : : ym)(z1 : : : zl)
для любых слов x1 : : : xn; y1 : : : ym; z1 : : : zl èç WX . Ясно также, что умножение любого слова w слева или справа на пустое слово не ме-
няет w. Таким образом, множество WX является относительно вве- д¼нного умножения полугруппой с единицей. Но эта полугруппа не является группой, за исключением случая, когда множество X пу-
стое ведь при умножении слов их длины складываются, и поэтому ни для какого непустого слова w не найдется такого слова v, чтобы
произведение vw было единицей этой полугруппы, то есть пустым словом.
Предложение 45. Пусть G любая полугруппа, а : X ! G
любое отображение. Тогда существует единственный гомоморфизм ' из полугруппы слов WX в полугруппу G, ограничение которого на X совпадает с .
Доказательство. Для слова w = x1 : : : xn положим
'(w) = (x1) : : : (xn):
Åñëè v = y1 : : : ym другое слово из WX , òî wv = x1 : : : xny1 : : : ym, è, используя общий закон ассоциативности (предложение 6), мы полу- чаем, что
'(wv) = (x1) : : : (xn) (y1) : : : (ym) =
= ( (x1) : : : (xn))( (y1) : : : (ym)) = '(w)'(v):
Таким образом, ' гомоморфизм полугрупп. Если w = x однобуквенное слово, то по нашему определению '(w) = (x), так что ограничение ' на X совпадает с . Единственность гомоморфизма '
очевидна: его значение на слове x1 : : : xn не может быть ничем иным êàê
'(x1) : : : '(xn) = (x1) : : : (xn):
Доказанное утверждение позволяет назвать полугруппу слов WX свободной полугруппой с множеством свободных образующих X.
3 Слова в алфавите X+ [ X
Пусть X произвольное множество букв. Обозначим через X+ è X множества букв видов x+ и x , где x пробегает множество X. Множества X+ и X не пересекаются, и соответствия x x+; x являются биективными отображениями множества X на множества X+ и X . Условимся ещ¼ об одном обозначении. Пусть " принимает
одно из двух значений "+" или " "; тогда через " мы обозначаем противоположное значение:
" =
; åñëè " = +; +; åñëè " = .
Пусть W = WX+[X полугруппа слов в алфавите X+ [ X . Каждый элемент из W имеет вид
w = x"11 x"22 : : : x"nn ;
где n неотрицательное целое число, x1; x2; : : : ; xn элементы из X (среди них могут быть и повторяющиеся), а каждый из "показателей степени" "i имеет одно из двух значений .
Определим два типа операций над словами элементарную вставку и элементарное сокращение. Пусть w1; w2 два слова из W . Мы говорим, что слово w2 получено из слова w1 при помощи элемен- тарной вставки, а слово w1 получено из слова w2 при помощи эле- ментарного сокращения, если существуют такие u; v 2 W , x 2 X, " 2 f+; g, что w1 = uv; w2 = ux"x "v. Нестрого говоря, при элементарной вставке слово разрывается в любом месте и между обра-
зовавшимися частями слова вставляется двухбуквенное слово вида x"x ", где x 2 X, " = , а элементарное сокращение применимо к
словам, в которых рядом стоят буквы x" è x ", и при сокращении эти буквы выбрасываются.
4 Отношение эквивалентности на W
Введем на множестве W отношение . Пусть u; v 2 W ; мы полагаем u v, если существует такая цепочка слов w1; : : : ; wn, первое сло- âî w1 которой равно u, а последнее слово wn равно v, что каждое последующее слово wi+1 получается из предыдущего слова wi ýëå- ментарной вставкой или элементарным сокращением ( 1 i < n).
Лемма 23. Пусть u; v; w слова из W . Тогда:
(1)u u;
(2)åñëè u v, òî v u;
(3)åñëè u v, v w, òî u w;
(4)åñëè u v, òî uw vw, wu wv.
Доказательство. (1) В цепочке, состоящей из единственного слова u, первое и последнее слова равны u, а предыдущих и последующих
слов в этой цепочке вообще нет, так что u u.
(2) Если u v, то существует цепочка слов w1; : : : ; wn, начина- ющаяся со слова u и кончающаяся словом v, в которой переход от каждого слова wi к следующему слову wi+1 является элементарной
вставкой или элементарным сокращением. Тогда в цепочке wn; : : : ; w1 первое слово равно v, последнее слово равно u, и каждое следующее
слово wi получается из предыдущего слова wi+1 элементарным сокра- щением или элементарной вставкой; существование такой цепочки и означает, что v u.
(3) Если u v, v w, то существуют цепочки слов
u; w2; : : : ; wn 1; v; v; p2; : : : ; pm 1; w;
в которых каждое следующее слово получается из предыдущего элементарной вставкой или элементарным сокращением; сращивая эти цепочки, получим цепочку слов
u; w2; : : : ; wn 1; v; p2; : : : ; pm 1; w;
обладающую тем же свойством. Следовательно, u w.
(4) Пусть u v и пусть u; w2; : : : ; wn 1; v цепочка слов. в которых каждое следующее слово получается из предыдущего элементарной вставкой или элементарным сокращением; тогда и в цепочках
uw; w2w; : : : ; wn 1w; vw; wu; ww2; : : : ; wwn 1; wv
каждое следующее слово получается из предыдущего элементарной вставкой или элементарным сокращением, а это значит, что uw vw,
wu wv.
Первые три утверждения предыдущей леммы показывают, чтоотношение эквивалентности на множестве слов W ; обозначим
через FX множество классов эквивалентности слов. Для слова w 2 W будем обозначать его класс эквивалентности через [w].
5 Цепочки, соединяющие эквивалентные слова
Исследуем более внимательно отношение эквивалентности на WX , введенное в предыдущем пункте. Сначала покажем, что операции вставки и сокращения, при помощи которых осуществляется переход от некоторого слова к эквивалентному ему слову, в некотором смысле перестановочны друг с другом.
Лемма 24. Если слово v получено из слова u элементарной вставкой. а слово w получено из слова v элементарным сокращением, и если u 6= w, то существует слово v0, такое что v0 получается из u элементарным сокращением, а слово w получается из v0 элемен- тарной вставкой.
Доказательство. Учитывая, что сокращение и вставка взаимно обратные операции, мы можем переформулировать утверждение леммы следующим образом: если слова u; w получены из одного и того
же слова v 2 W элементарными сокращениями, то или u = w, или
|
|
|
|
|
|
|
|
|
существует слово v0 |
2 W , из которого оба слова u; w получаются |
|
элементарными вставками. Пусть слова u; w получены из слова |
|
v = x1"1 x2"2 : : : xn"n |
(x1; x2; : : : ; xn 2 X; |
"1; "2; : : : ; "n 2 f+; g) |
|
соответственно выбрасыванием пары букв x |
"i |
x |
"i+1 |
v íà i-é |
|
i |
i+1 , стоящих в |
|
и (i + 1)-й позициях, и пары букв xj"j xj"+1j+1 |
|
|
|
|
, стоящих на j-é è (j + 1)-é |
позициях. Тогда xi = xi+1, xj = xj+1, "i+1 = "i, "j+1 = "j. Äëÿ определенности будем считать, что обозначения слов u; w выбраны так, что i j. Для сокращения записи положим
l = x"11 : : : x"ii 11 ; r = x"i+2i+2 : : : x"nn ; x = xi; y = xj; " = "i; = "j;
èрассмотрим все возможные варианты.
1.j = i. В этом случае оба слова u; w получены из слова v выбра-
сыванием i-й и (i + 1)-й букв и потому совпадают.
2. |
j = i + 1. Тогда y = xj = xi+1 = xi = x; |
= "j = "i+1 = "i = ", |
òàê ÷òî v = lx"x "x"r, а значит, u = l |
|
x"r = lx" |
|
r = w. |
|
|
|
|
"i+2 |
"j 1 |
3. |
j i + 2. Тогда v = lx"x "my y r, ãäå m = xi+2 |
: : : xj 1 (åñëè |
j > i + 2) или m пустое слово (если j = i + 2), и мы получаем, что u = lmy y r, w = lx"x "mr, а эти слова могут быть получены из слова v0 = lmr элементарными вставками.
Предложение 46. Если слова u; v эквивалентны, то существует такая цепочка слов
u= w1; w2; : : : ; wn = v;
èтакое число s, 1 s n, что при 1 < i s слово wi получается из слова wi 1 элементарным сокращением, а при s < i n слово wi
получается из слова wi 1 элементарной вставкой.
Доказательство. По определению слова u; v эквивалентны, если существует цепочка слов, начинающаяся со слова u и заканчивающаяся словом v, в которой каждое следующее слово получено из предыдущего элементарными вставкой или сокращением. Обозначим через n
минимальную длину таких цепочек и заметим, что в любой цепочке длины n
u = w1; w2; : : : ; wn = v;
в которой каждое следующее слово получено из предыдущего элементарными вставкой или сокращением, нет одинаковых слов. Дей- ствительно, если i < j и wi = wj, то более короткая цепочка
u = w1; : : : ; wi; wj+1; : : : ; wn = v
тоже удовлетворяет всем требованиям.
Остается воспользоваться тем. что в цепочке различных слов последовательность вставка-сокращение может быть по лемме 24 заменена на последовательность сокращение-вставка; при этом получившаяся цепочка снова будет цепочкой минимальной длины n и в ней не
будет одинаковых слов. Таким образом, мы сможем переместить все сокращения в начало цепочки, а в конце е¼ останутся только вставки.
6 Несократимые слова
Слово w 2 W называется несократимым, если в нем нельзя про-
извести ни одного элементарного сокращения. Иначе говоря, слово несократимо, если ни для какого x 2 X в нем не стоят рядом буквы
x+ è x . Например, несократимыми являются пустое слово, а также слова x+ и x , состоящие из единственной буквы (x 2 X).
Предложение 47. В каждом классе эквивалентности слов из W есть ровно одно несократимое слово. В частности, если x; y 2 X, x 6= y, то [x+] 6= [y+].
Доказательство. Единственность неприводимого слова в классе эквивалентности немедленно следует из предложения 46. Действительно, если u 6= v эквивалентные слова, то существует такая цепочка
ñëîâ u = w1; : : : ; wn = v, что n > 1 и либо все переходы wi ! wi+1 ÿâ- ляются вставками, в том числе, переход wn 1 ! wn = v, и тогда слово v сократимо, либо первый переход v = w1 ! w2 является сокраще- нием, и тогда сократимо слово v. Существование же несократимого
слова, эквивалентного данному слову w, почти тривиально. Напри-
мер, доказательство этого можно провести индукцией по длине слова w. Слова длины 0 и длины 1 несократимы; пусть теперь длина слова
w больше 1 и утверждение доказано для слов меньшей длины. Если слово w несократимо, то оно и является несократимым словом, экви-
валентным w. Если же слово w сократимо и слово w1 получено из w элементарным сокращением, то w w1 и длина слова w1 íà 2 ìåíü- ше длины слова w; по индукционному предположению существует несократимое слово w2, такое что w1 w2, а значит, и w w1 w2.
7 Построение свободной группы
Определим теперь на множестве FX операцию умножения. Пусть a; bдва класса из FX . Åñëè u; u1 2 a, v; v1 2 b, òî u u1, v v1, è ïî последнему утверждению леммы 23 uv uv1 u1v1. Таким образом, класс [uv] произведения представителей u; v классов a; b не зависит от
выбора этих представителей; его и возьмем в качестве произведения ab. Иначе говоря, [u][v] = [uv] для любых слов u; v 2 F .
Теорема 33. Относительно введенного умножения множество FX является свободной группой с множеством свободных образующих,
состоящим из всех тех классов, которые содержат слова из единственной буквы, принадлежащей X+ (то есть из всех классов вида
[x+], ãäå x 2 X).
Доказательство. Пусть u, v, w произвольные слова из W . Тогда
([u][v])[w] = [uv][w] = [(uv)w] = [u(vw)] = [u]([vw]) = [u]([v][w]);
таким образом, определенное на e = [ ], содержащий пустое слово,
жения:
e[u] = [ ][u] = [u];
FX умножение ассоциативно. Класс является единицей для этого умно-
[u]e = [u][ ] = [u]:
Далее, для произвольного элемента u = [x"11 x"22 : : : x"nn ] èç FX элемент u0 = [xn "n : : : x2 "2 x1 "1 ] является обратным к нему элементом. Дей-
" " |
" " |
" " |
i, 0 i n, обозначим через |
wi |
слово |
ствительно, для каждого |
|
|
|
x11 x22 : : : xii xi i : : : x2 2 x1 1 |
; тогда w0 пустое слово. а при |
0 < i n |
слово wi |
получается элементарной вставкой в середину слова |
wi 1 |
ïàðû áóêâ x"i x "i wn получается из пустого i i . Таким образом, слово
слова цепочкой элементарных вставок, и значит, оно эквивалентно пустому слову, так что [wn] = [ ] = e. Поэтому
uu0 = [x"11 x"22 : : : x"nn ][xn "n : : : x2 "2 x1 "1 ] = [wn] = e:
Аналогично проверяется, что u0u = e.
Остается проверить, что множество [X+] = f[x+] x 2 Xg является множеством свободных образующих группы FX . Сначала пока- жем, что это множество порождает группу FX . Действительно, вся-
кий элемент из FX это класс эквивалентности [w] некоторого слова w = x"11 : : : x"nn 2 W , поэтому
[w] = [x"11 : : : x"nn ] = [x"11 ] : : : [x"nn ];
а в этом произведении каждый сомножитель [x"ii ] или равен [x+i ], и тогда он принадлежит [X+], или равен [xi ] = [x+i ] 1, и тогда он
является обратным к элементу из [X+].
Пусть теперь G произвольная группа, и пусть : [X+] ! G
произвольное отображение. По основному свойству свободной полугруппы существует гомоморфизм полугрупп : W = WX+[X ! G,
такой что (x+) = ([x+]), |
(x ) = ( ([x+])) 1 äëÿ âñåõ x |
2 |
X. Çà- |
метим, что для любого x 2 X |
|
|
|
(x+x ) = |
(x+) |
(x ) = ([x+])( ([x+])) 1 = e; |
|
|
(x x+) = |
(x ) |
(x+) = ( ([x+])) 1 ([x+]) = e: |
|
|
Поэтому для любых слов l; r 2 W и любой буквы x" 2 X+ [X будет
(lx"x "r) = (l) (x"x ") (r) = (l)e (r) = (l) (r) = (lr);
так что при элементарной вставке и элементарном сокращении зна- чение гомоморфизма не изменяется. Если u; v любые эквива-
лентные слова из W , то существует цепочка слов
u= w1; w2; : : : ; wn = v;
âкоторой каждое следующее слово получено из предыдущего элементарной вставкой или элементарным сокращением, поэтому
(u) = (w1) = (w2) = : : : = (wn) = (v):
Итак, значения на эквивалентных словах совпадают.
Зададим отображение ' : FX ! G. Пусть a 2 FX , и пусть w 2 Wлюбое слово из класса эквивалентности a, так что a = [w]; положим
'(a) = |
(w). Åñëè w0 |
2 W другое слово из класса a, то w0 |
w è |
потому |
(w0) = (w), так что наше определение корректно элемент |
(w) 2 G не зависит от того, какой элемент w 2 a мы взяли. |
|
|
|
Если a; b два класса из FX , и u 2 a, v 2 b, то слово uv принад- |
лежит произведению ab и поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'(ab) = (uv) = (u) (v) = '(a)'(b): |
|
|
Таким образом, ' : FX ! G гомоморфизм |
+ |
|
|
|
элементом x 2 X мы |
+ |
|
+ |
|
|
групп. Напомним, что с |
|
|
[x ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
отождествляем класс |
|
|
, так что для любого |
x 2 X будет '(x) = '([x ]) = |
(x ) = (x). |
|
|
|
|
|
|
|
Как мы уже неоднократно делали, введем для некоторых классов |
слов упрощ¼нные обозначения. А именно, для любого |
x 2 X |
класс |
[x |
+ |
] однобуквенного слова x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 W будем обозначать просто через |
x. Ïî |
|
+ + |
|
|
|
x; y 2 X отвечают разные |
|
|
|
предложению 47 разным элементам |
|
|
|
|
|
|
классы [x ], [y ]; таким образом, множество X оказалось вложенным в группу FX . В этих обозначениях X множество свободных образующих группы FX , и каждый элемент
f = [x"11 : : : x"nn ] = [x"11 ] : : : [x"nn ]
из группы FX имеет вид f = x11 : : : xnn , ãäå i = 1, åñëè "i = +, èi = 1, åñëè "i = .
8 Другое описание свободной группы
Выше мы построили свободную группу как множество классов эквивалентности слов в алфавите X+ [X . Пользуясь тем, что в каждом
классе эквивалентности есть ровно одно несократимое слово, мы можем определить свободную группу FX и иначе. За множество элемен- тов группы FX возьмем множество всех несократимых слов в нашем алфавите, а произведение определим следующим образом. Пусть u; v
несократимые слова. Слово uv, полученное приписыванием к слову u слова v, не обязательно несократимо. Произведением u v несократимых слов u; v назовем единственное несократимое слово в классе [uv], то есть слово, которое получится из uv после того, как в нем сделаны все возможные сокращения. Например, если
u = x+y z y+x y+z ; v = z+y x+z z (x; y; z 2 X);
то, произведя все возможные сокращения в слове uv, получим:
uv =x+y z y+x y+z z+y x+z z ! x+y z y+x y+ y x+z z ! ! x+y z y+x x+z z ! x+y z y+z z ;
поэтому u v = x+y z y+z z .
Отметим, что производить действия над элементами группы при таком е¼ описании несколько проще и естественней. Однако, доказательство, например, ассоциативности умножения не вполне тривиально, так что в итоге этот подход не оказывается намного проще, чем тот, который выбрали мы.
9 Описание групп в терминах образующих и определяющих соотношений
В этом пункте для удобства обозначений мы ограничимся рассмотрением конечно порожденных групп. Пусть F свободная группа
со свободными образующими x1; : : : ; xn. Каждый элемент из F представляется некоторым словом
"1 |
"m |
2 Wfx1 ;:::;xn g: |
w(x1; : : : ; xn) = xi1 |
: : : xim |
Пусть теперь G произвольная группа, и g1; : : : ; gn произволь- ные элементы из G; значением w(g1; : : : ; gn) слова w(x1; : : : ; xn) ïðè
x1 |
= g1 |
; : : : ; xn = gn назовем элемент g 1 : : : g m |
G, ãäå, êàê è |
|
|
i1 |
im группы |
|
âûøå, s = 1, åñëè "s = +, è s = 1, åñëè "s = . Это определение похоже на определение значения многочлена, хотя, конечно, ситуация здесь существенно другая: переменные xi не перестановочны друг с другом, и рассматриваются лишь одночлены, никаких коэффициентов нет. Элемент w(g1; : : : ; gn) можно определить и иначе: это
тот элемент из G, в который переходит элемент [w(x1; : : : ; xn]) под действием единственного гомоморфизма F ! G, переводящего [x+1 ] â g1, ... , [x+n ] â gn.