algebra1

шесть цилиндрических поверхностей, которые порождены двумерными квадриками:

и еще восемь собственно трехмерных квадрик еще одна реализация пустого множества, эллипсоид, два гиперболоида, два конуса, два параболоида:

Мы видим, таким образом, что те квадрики, которые изучаются в курсе аналитической геометрии это действительно все возможные трехмерные квадрики.

5 Аффинная классификация квадрик

Если допустить использование не только декартовых, но и произвольных линейных систем координат, то, во-первых, процесс приведения уравнения квадрики к хорошему виду упростится, потому

311

что у нас будет больше возможностей для преобразования уравнения, и во-вторых, по той же причине форма, к которой привед¼тся уравнение, может быть сделана ещ¼ проще. Более того, оказывается, что для каждой размерности имеется всего конечное множество уравнений, такое, что для любой квадрики найдется линейная система координат, в которой квадрика описывается уравнением из этого множества.

Теорема 4. Пусть A n-мерное аффинное пространство над полем вещественных чисел, и пусть Q квадрика в A. В A существует такая линейная система координат, что Q состоит из

всех точек, координаты которых в этой системе координат удовлетворяют уравнению одного из видов:

Доказательство. Пусть в линейной системе координат с началом O

и с базисом касательного пространства v1; : : : ; vn наша квадрика за-

дается уравнением

X>AX + BX + c = 0;

где A симметричная матрица. При помощи линейного преобразования переменных X = CY с невырожденной матрицей C приведем квадратичную форму X>AX к диагональному виду

1y12 + : : : + nyn2;

при этом без ограничения общности можно считать, что первые m

коэффициентов 1; : : : ; m отличны от 0, а остальные коэффициентыm+1; : : : ; n равны 0 (1 m n). Тогда в системе координат с тем же началом O и с базисом касательного пространства

(u1; : : : ; un) = (v1; : : : ; vn)C

уравнение квадрики примет вид

1y12 + : : : + mym2 + b1y1 + : : : + bnyn + c = 0;

ãäå 1; : : : ; m ненулевые вещественные числа, а b1; : : : ; bn; c какието числа из R.

Второй шаг преобразования уравнения такой же, как и при доказательстве теоремы 3: не меняя базис касательного пространства, сдвинем начало координат в точку с координатами

( b1=2 1; : : : ; bm= m; 0; : : : ; 0):

312

Тогда координаты yi любой точки из A в старой системе координат связаны с е¼ координатами yi в новой системе координат соотношениями

yi = zi bi= i; åñëè i m; yi = zi; åñëè i > m:

Как мы видели при доказательстве леммы 3, уравнение нашей квадрики примет тогда вид

1z12 + : : : + mzm2 + bm+1zm+1 + : : : + bnzn + c0 = 0; c0 2 R:

Дальнейшие рассуждения, как и при доказательстве теоремы 3, разбиваются на три случая, первые два из которых практически такие же, как в теореме 3, а третий намного проще.

Случай 1. Коэффициенты bm+1 = : : : = bn равны 0, а свободный член c0отличен от 0. Перенумеруем переменные так, чтобы числа

r+1; : : : ; n имели тот же знак, что c0, а числа 1; : : : ; r проти-

(это преобразование сводится к умножению элементов базиса касательного пространства на некоторые ненулевые вещественные числа). В новых координатах уравнение нашей квадрики примет вид

u21 + : : : + u2r u2r+1 : : : u2m 1 = 0:

Случай 2. И коэффициенты bm+1 = : : : = bn, и свободный член c0

равны 0. Мы можем считать, что количество r положительных коэффициентов i не меньше количества m r отрицательных коэффициентов (если это не так, умножим обе части уравнения на 1), и что

переменные занумерованы так, что 1; : : : ; r > 0, r+1; : : : ; m < 0. Преобразование

p

zi = ui= j ij; åñëè i m; zi = ui; åñëè i > m

приводит уравнение квадрики к виду

u21 + : : : + u2r u2r+1 : : : u2m = 0:

Случай 3. Среди коэффициентов bm+1; : : : ; bn есть ненулевые. Как и в случае 2, можно считать, что среди коэффициентов i положитель- ных не меньше чем отрицательных. Далее, занумеруем переменные так, что 1; : : : ; r > 0, r+1; : : : ; m < 0, bm+1 6= 0. Примем "хвост" bm+1zm+1 + : : : + bnzn + c0 левой части уравнения

1z12 + : : : + mzm2 + bm+1zm+1 + : : : + bnzn + c0 = 0

313

за новую переменную um+1, умноженную на 1, и положим

p

ui = zi j ij; åñëè i m; ui = zi; åñëè i > m + 1;

В новых переменных уравнение примет вид

u21 + : : : + u2r u2r+1 : : : u2m um+1 = 0;

и ясно, что переход к нему осуществляет следующая линейная замена переменных

zm+1 = bm+1 um+1 bm+1 um+2 : : : bm+1 un bm+1 :

Во всех тр¼х случаях получаются уравнения, которые отличаются от уравнений из формулировки теоремы только тем, что в них неиз- вестные обозначаются ui, à íå xi, и некоторые слагаемые перенесены из левой части уравнения в правую. Теорема доказана.

Можно показать (это несложно, но мы этого не будем делать), что если квадрика непуста, то только одно из уравнений, перечисленных в теореме 4 может быть уравнением квадрики в некоторой линейной системе координат.

314

Глава XII

Теория групп

x 1: Группы, подгруппы, гомоморфизмы групп

1 Определение группы

Группой называется множество G, на котором определена одна би-

нарная алгебраическая операция, ставящая в соответствие паре элементов x; y 2 G элемент x y 2 G и удовлетворяющая следующим

аксиомам:

(1)операция ассоциативна, то есть (x y) z = x (y z) для любых x; y; z 2 G;

(2)существует элемент e 2 G, такой что x e = e x = x для любого x 2 G;

(3)для любого элемента x 2 G существует элемент y 2 G, такой что x y = y x = e.

Вместо знака , который мы использовали для обозначения опера-

ции в группе, можно использовать любой другой символ. Чаще всего используются знак + или отсутствие какого-либо знака; в первом

случае группа называется аддитивно записанной, а операция называется сложением, во втором случае говорят, что группа записана мультипликативно, а операция в ней называется умножением. Перепишем аксиомы группы для обоих этих случаев, одновременно введя термины для фигурирующих в них элементов.

Аксиомы мультипликативно записанной группы G.

(1)(xy)z = x(yz) для любых x; y; z 2 G;

(2)существует элемент e 2 G, называемый единичным элементом группы G (или, короче, единицей группы G), такой что xe = ex = x для любого x 2 G;

315

(3)для любого элемента x 2 G существует элемент y 2 G, называемый обратным к x элементом, такой что xy =yx=e.

Аксиомы аддитивно записанной группы G.

(1)(x + y) + z = x + (y + z) для любых x; y; z 2 G;

(2)существует элемент 0 2 G, называемый нулевым элементом группы G (или, короче, нулем группы G), такой что x + 0 = 0 + x = x для любого x 2 G;

(3)для любого элемента x 2 G существует элемент y 2 G, называемый противоположным к x элементом, такой что x + y = y + x = 0.

Часто операция в группе коммутативна, то есть для любых элементов x; y 2 G выполняется соотношение x y = y x (xy = yx,

если группа записана мультипликативно, x + y = y + x, если груп-

па записана аддитивно). В этом случае группа называется абелевой. Обычно аддитивная запись используется только для абелевых групп; мультипликативно же записанная группа может быть как абелевой, так и не абелевой.

В дальнейшем в этой главе все группы (если другое не оговорено специально) будут мультипликативно записанными группами.

2 Пустяковые теоремы

Аксиомы 2 и 3 (мультипликативно записанной) группы утверждают лишь существование единицы группы и обратного элемента; но легко доказать и их единственность. За этими простыми следствиями аксиом группы закрепилось название "пустяковые теоремы о группах".

Предложение 1. Пусть G группа.

(1)Существует лишь один элемент e2G, такой что ex = xe = x для всякого элемента x 2 G.

(2)Для всякого элемента x 2 G существует лишь один элемент y 2 G, такой что xy = yx = e.

Доказательство. (1) Пусть e; e1 2 G такие элементы, что для любого элемента x 2 G выполняются равенства

ex = x; xe = x; e1x = x; xe1 = x:

Применяя первое из этих равенств при x = e1 получим, что ee1 = e1, а из последнего равенства при x = e получим, что ee1 = e. Таким образом, e1 = ee1 = e.

316

(2) Пусть x 2 G и пусть y; y1 2 G таковы, что

xy = e; yx = e; xy1 = e; y1x = e:

Пользуясь свойством единицы e, первым из этих равенств, ассоци-

ативностью умножения, последним из равенств и снова свойством единицы, получим:

y1 = y1e = y1(xy) = (y1x)y = ey = y:

Как правило, единственный единичный элемент мультипликативно записанной группы мы будем обозначать через e, а eдинственный обратный к элементу x через x 1. В аддитивной записи единствен-

ные нулевой и противоположный к x элементы обозначаются соответственно 0, x.

3 Подгруппы

Подмножество H группы G называется подгруппой G, если оно явля-

ется группой относительно того же действия. Это означает, что для любых элементов h1; h2 2 H их произведение h1h2 тоже принадлежит H, для любого элемента h 2 H обратный к нему элемент принад-

лежит H и, наконец, единичный элемент e группы G принадлежит H. Таким образом, всякая подгруппа непустое подмножество G: она обязана содержать элемент e. Тот факт, что подмножество H группы G является подгруппой G, мы будем обозначать следующим образом: H G. В последние десятилетия такое обозначение для

подгрупп принято почти всеми, хотя в старых книгах и статьях оно не употребляется.

Для проверки того, что подмножество группы является подгруппой, часто полезно следующее утверждение.

Предложение 2. Пусть G группа, а H подмножество G. Следующие условия равносильны:

(1)H подгруппа G;

(2)H 6= ; и для любых элементов h1; h2 2 H элемент h1h2 1 2 G тоже принадлежит H;

(3)H 6= ; и для любых элементов h1; h2 2 H элемент h1 1h2 2 G тоже принадлежит H;

Доказательство. То, что (1) ) (2); (3), тривиально. Обратные вклю- чения (2) ) (1), (3) ) (1) доказываются одинаково. и поэтому мы

ограничимся только доказательством первого из них. Поскольку множество H непусто, существует элемент h 2 H; применяя условие (2)

317

ïðè h1 = h2 = h, получим, что e = hh 1 2 H. Далее, для любого h 2 H элемент h 1 = eh 1 тоже принадлежит H по условию (2), при-

мененному к элементам h1 = e, h2 = h. Пусть теперь h1; h2 любые элементы из H; как мы только что доказали, h2 1 2 H. Отметим, что

равенства

h2h2 1 = h2 1h2 = e

Применяя условие (2) к элементам h1; h2 1 2 H, получим, что h1h2 = h1(h2 1) 1 2 H:

Итак, единичный элемент группы G, элемент, обратный к любому элементу из H и произведение любых двух элементов из H принадлежат H, а это и значит, что H подгруппа G.

4 Гомоморфизмы групп

При изучении любого класса объектов важное значение имеют не только сами объекты, но и отображения, которые совместимы со структурой объектов. Так, в теории векторных пространств рассматриваются линейные отображения из одного пространства в другое; для топологических пространств аналогичную роль играют непрерывные отображения. В теории групп такими отображениями являются гомоморфизмы групп.

Пусть G, F группы; будем обозначать групповые операции в G

èF соответственно через и , а их единичные элементы через eG

èeF . Отображение : G ! F называется гомоморфизмом из группы G в группу F , если (g1 g2) = (g1) (g2) äëÿ âñåõ g1; g2 2 G.

Предложение 3. Пусть : G ! F гомоморфизм групп. Тогда(g 1) = ( (g)) 1 для любого элемента g 2 G, и (eG) = eF .

Доказательство. Докажем сначала второе утверждение:

(eG) = (eG) eF = (eG) ( (eG) ( (eG)) 1) =

= ( (eG) (eG)) ( (eG)) 1 = (eG) ( (eG)) 1 = eF :

Пусть теперь g 2 G; тогда (g) (g 1) = (g g 1) = (eG) = eF , и точно так же (g 1) (g) = eF . Но это и значит, что (g 1)

обратный к (g) элемент группы F .

Как уже говорилось выше, в дальнейшем мы, как правило, будем обозначать операцию умножения во всех группах одинаково, и знаком умножения, если не оговорено противное, будет отсутствие какого-либо знака между сомножителями.

318

Ñкаждым гомоморфизмом : G ! F связаны два множества

ядро и образ гомоморфизма. Ядром гомоморфизма называется подмножество G, состоящее из всех таких элементов g 2 G, что

(g) = eF ; обозначается ядро гомоморфизма через Ker . Образом гомоморфизма называется множество всех элементов из F , которые получаются из элементов группы G под действием гомоморфизма ; обозначается образ через Im . Таким образом,

Ker = fg 2 G j (g) = eF g; Im = f (g) j g 2 Gg:

Мы покажем, что ядро и образ гомоморфизма являются подгруппами в соответствующих групп. Более того, ядро является не просто подгруппой группы G, а подгруппой, обладающей дополнитель-

ным свойством, называемым нормальностью подгруппы. Подгруппа H группы G называется нормальной подгруппой группы G, если для любых h 2 H, g 2 G элемент g 1hg принадлежит H. Иногда нор-

мальные подгруппы называют нормальными делителями группы G;

однако, последний термин представляется автору архаичным, и мы будем стараться не употреблять его.

Предложение 4. Пусть : G ! F гомоморфизм групп. Его образ Im является подгруппой группы F , а его ядро Ker является нормальной подгруппой группы G.

Доказательство. Образ Im не пуст, поскольку ему принадлежит, по крайней мере, единичный элемент eF = (eG). Åñëè f1; f2 2 Im , то существуют элементы g1; g2 2 G, такие что (g1) = f1, (g2) = f2; тогда

f1 1f2 = (g1) 1 (g2) = (g1 1) (g2) = (g1 1g2) 2 Im :

По предложению 2 это означает, что Im подгруппа F .

Поскольку (eG) = eF , единичный элемент eG группы G принадлежит Ker , так что Ker 6= ;. Если g1; g2 элементы из Ker , то(g1) = (g2) = eF , и тогда

(g1 1g2) = (g1 1) (g2) = (g1) 1 (g2) = eF 1eF = eF ;

òàê ÷òî g1 1g2 2 Ker . По предложению 2 это означает, что Ker подгруппа G.

Наконец, если h 2 Ker , g 2 G, то (h) = eF è

(g 1hg) = (g 1) (h) (g) = ( (g)) 1eF (g) = ( (g)) 1 (g) = eF ;

òàê ÷òî g 1hg 2 Ker . Таким образом, подгруппа Ker группы G нормальная подгруппа.

319

Гомоморфизм : G ! F называется мономорфизмом, если Ker состоит только из единичного элемента eG группы G, и эпиморфизмом, если Im = F . Гомоморфизм, который одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом, называется изоморфизмом.

Предложение 5. Гомоморфизм тогда и только тогда является мономорфизмом, когда он инъективен. Гомоморфизм тогда и только тогда является эпиморфизмом, когда он сюръективен.

Доказательство. Второе утверждение тавтология; докажем первое. Если : G ! F инъективный гомоморфизм и g 2 Ker , то

(g) = eF = (eG), òàê ÷òî g = eG благодаря инъективности ; следовательно, Ker состоит только из единичного элемента eG, òî åñòü

мономорфизм. Обратно, пусть мономорфизм; если g1; g2 2 G

è (g1) = (g2), òî (g1 1g2) = (g1 1) (g2) = ( (g1)) 1 (g2) = eF , òàê ÷òî g1 1g2 2 Ker . Но Ker состоит из единственного элемента eG, òàê ÷òî g1 1g2 = eG, откуда следует, что g1 = g2. Итак, всякий

мономорфизм инъективен.

Из предложения 5 следует, что изоморфизм это биективный гомоморфизм, то есть биективное отображение, сохраняющее групповую операцию. Если существует изоморфизм группы G на груп-

пу F , то говорят, что группы G и F изоморфны и пишут G ' F .

Изоморфные группы могут состоять из элементов совершенно различной природы, но по своей внутренней групповой структуре они неразличимы: одну группу можно так взаимно однозначно отобразить на другую, что произведению элементов первой группы будет соответствовать произведение их образов.

В заключение этого пункта упомянем еще два термина, касающихся гомоморфизмов групп. Гомоморфизм : G ! G, отобража-

ющий группу G в себя, называется эндоморфизмом группы G; если при этом изоморфизм, то говорят, что автоморфизм группы

G.

x 2: Формальные свойства действий в группах

1 Общий закон ассоциативности

В этом параграфе собраны некоторые формальные следствия аксиом группы ("абстрактная чепуха"). Мы постоянно будем пользоваться этими свойствами, часто даже не упоминая их. В этом пункте для нас не будет важно, что существуют единица и обратные элементы. Множество G, на котором определена одна бинарная алгебраическая

320