algebra1

(1)A( U ) = V ;

(2)A( u) = A(u) для любого u 2 U;

(3)A(u1 + : : : + un) = A(u1) + : : : + A(un) для любых векторов u1; : : : ; un 2 U;

(4)A( 1u1 + : : : + nun) = 1A(u1) + : : : + nA(un) для любых векторов u1; : : : ; un 2 U и любых 1; : : : ; n 2 k.

Доказательство. (1) A( U ) = A( U + U ) = A( U ) + A( U ), и потому

V = A( U ) + A( U ) = A( U ) + (A( U ) + A( U )) =

=( A( U ) + (A( U )) + A( U ) = V + A( U ) = A( U ):

(2)A( u) = A(( 1)u) = ( 1)A(u) = A(u).

(3)Индукция по n.

(4)По определению линейного отображения A( iui) = iA(ui) для всех i, 1 i n, а тогда по свойству (3)

A( 1u1 + : : : + nun) = 1A(u1) + : : : + nA(un):

Как и при определении подпространства, полезно дать несколько более слабую форму определения линейного отображения.

Предложение 20. Пусть U, V векторные пространства над полем k, и пусть A отображение пространства U в пространство V. Для того, чтобы отображение A было линейным, необходимо и достаточно, чтобы для любых u; u0 2 U и любого 2 k выполнялось соотношение A( u + u0) = A(u) + A(u0).

Доказательство. Необходимость очевидна: если A линейное отображение, то A( u + u0) = A( u) + A(u0) = A(u) + A(u0). Обратно, если соотношение A( u + u0) = A(u) + A(u0) выполняется для всех векторов u; u0 2 U и всех 2 k, то в частности,

A(u + u0) = A(1 u + u0) = 1 A(u) + A(u0) = A(u) + A(u0);

A( u) = A(( 1)u + u) = ( 1)A(u) + A(u) = A(u)

äëÿ âñåõ u; u0 2 U, 2 k, а это и значит, что отображение A линейно.

В дальнейшем мы не будем обычно подчеркивать функциональный характер линейного отображения, а рассматривать его действие на вектор как умножение; поэтому обычно мы будем писать Au вме-

ñòî A(u).

Почти вся математика занимается исследованием линейных отображений. Приведем лишь несколько примеров.

1. Проекция векторов в трехмерном геометрическом пространстве на какую-то плоскость или прямую линейное отображение.

201

2.Поворот всех векторов плоскости в положительном направлении на один и тот же угол, а также замена вектора на симметричный

ñним относительно некоторой прямой линейные отображения пространства векторов на плоскости в себя.

3.Векторное умножение трехмерных геометрических векторов на некоторый фиксированный вектор линейные отображения пространства трехмерных векторов в себя, а скалярное умножение на некоторый фиксированный вектор линейное отображение пространства трехмерных геометрических векторов в поле вещественных чи- сел.

4.Пусть C1(0; 1) пространство всех непрерывно дифференциру-

емых на отрезке (0; 1) функций. Взятие производной является линей-

ным отображением этого пространства в пространство всех непрерывных на (0; 1) функций. Умножение на любую функцию из C1(0; 1)

является линейным отображением пространства C1(0; 1) â ñåáÿ.

5. Пусть k поле; умножение на любой многочлен f(x) 2 k[x] и

взятие производной являются линейными отображениями пространства многочленов k[x] в себя (над полем k). Эти примеры алгебра-

ические аналоги примеров из пункта 4.

6. Взятие сопряженного для комплексного числа или для кватерниона представляет собой R-линейное отображение пространства C

(соответственно, H) в себя.

7.Транспонирование матриц является линейным отображением из пространства km n в пространство kn m.

8.Пусть k поле, и пусть A 2 km n матрица с компонентами

из k, состоящая из m строк и n столбцов. Определим отображение A : kn ! km, положив A(X) = AX для любого столбца X 2 kn.

Из свойств действий над матрицами следует, что это отображение линейно.

В заключение определим линейные отображения, которые существуют для любых пространств.

9. Пусть U, V пространства над полем k. Отображение, которое ставит в соответствие любому вектору из U нулевой вектор пространства V, является линейным отображением; оно называется нулевым линейным отображением и обозначается через O. Точнее

говоря, речь идет не об одном линейном отображении: для каждой пары пространств есть свое нулевое отображение.

10. Для любого пространства V его тождественное отображение

на себя является линейным; оно обозначается E (или EV , если нужно явно обозначить пространство, на котором действует это отображение) и называется единичным отображением.

202

2 Ядро и образ линейного отображения

Пусть U и V два векторных пространства над полем k, и пусть A : U ! V линейное отображение. Ядром A называется множество всех векторов u 2 U, таких что Au = ; ядро отображения A обозначается через Ker A. Образом A называется множество всех тех векторов v 2 V , для которых есть такой элемент u 2 U (прообраз v), что Au0 = v; образ отображения A обозначается через Im A.

Предложение 21. Пусть U и V два векторных пространства над полем k, и пусть A : U ! V линейное отображение. Тогда его ядро Ker A является подпространством пространства U, а его образ Im A подпространством V .

Доказательство. Пусть u; u0 2 Ker A; это значит, что Au = Au0 = . Если любой элемент поля k, то A( u + u0) = Au + Au0 = , òî åñòü u + u0 2 Ker A. По признаку подпространства это означает, что Ker A подпространство пространства U.

Пусть теперь v; v0 2 Im AU, 2 k; тогда существуют такие элементы u; u0 из пространства U, что Au = v, Au0 = v0, è

v + v0 = Au + Au0 = A( u + u0) 2 Im A;

по признаку подпространства это означает, что Im A подпространство пространства V.

Теорема 17. Пусть A : U ! V линейное отображение векторных пространств над полем k, и пусть пространство U конечномерно. Тогда ядро и образ A являются конечномерными пространствами, и dim U = dim Ker A + dim Im A.

Доказательство. Ядро Ker A отображения A является подпространством конечномерного пространства U и потому оно тоже конечномерно. Пусть u1; : : : ; um какой-то базис ядра Ker A; тогда u1; : : : ; umлинейно независимые векторы пространства U, и их можно вклю-

чить в некоторый базис u1; : : : ; um; um+1; : : : ; un пространства U. Все будет доказано, если мы увидим, что векторы Aum+1; : : : ; Aun состав- ляют базис образа Im A; действительно, тогда

поскольку u1; : : : ; um; um+1; : : : ; un базис пространства U, вектор u представляется в виде u = 1u1 + : : : + mum + m+1um+1 + : : : + nun, и потому

203

v= Au = A( 1u1 + : : : + mum + m+1um+1 + : : : + nun) =

=1Au1 + : : : + mAum + m+1Aum+1 + : : : + nAun =

=1 + : : : + m + m+1Aum+1 + : : : + nAun =

=m+1Aum+1 + : : : + nAun:

Таким образом, векторы Aum+1; : : : ; Aun порождают пространство Im A; покажем, что они линейно независимы. Пусть

m+1Aum+1 + : : : + nAun = ; m+1; : : : ; n 2 k;

тогда

A( m+1um+1 + : : : + nun) = ;

и потому вектор m+1um+1 +: : :+ nun принадлежит ядру Ker A отображения A. Следовательно, этот вектор является линейной комбина-

цией векторов u1; : : : ; um, составляющих базис пространства Ker A, то есть

m+1um+1 + : : : + nun = 1u1 + : : : + mum

для некоторых 1; : : : ; m 2 k; таким образом, линейная комбинация

( 1)u1 + : : : + ( m)um + m+1um+1 + : : : + nun

равна нулевому вектору, а потому все ее коэффициенты равны 0. В частности, m+1 = : : : = n = 0. Итак, всякая линейная комбинация векторов Aum+1; : : : ; Aun, равная нулевому вектору , является тривиальной линейной комбинацией, а это значит, что векторы Aum+1; : : : ; Aun линейно независимы.

3 Структура множества решений однородной системы линейных уравнений

Мы сейчас применим теорему 17 к линейным отображениям из примера 8.

Лемма 3. Пусть k поле, A 2 km n и пусть A : kn ! km линей-

ное отображение, определенное формулой: A(X0) = AX0 для любого столбца X0 2 kn. Тогда Ker A совпадает с множеством решений однородной системы линейных уравнений AX = , а Im A совпадает с

линейной оболочкой столбцов матрицы A.

Доказательство. Оба утверждения очевидны. Столбец X0 2 kn òî- гда и только тогда принадлежит ядру отображения A, когда

= A(X0) = AX0;

204

то есть когда столбец X0 представляет собой решение однородной системы линейных уравнений AX = . Далее, пусть a1; : : : ; an столб- цы матрицы A; тогда образ отображения A состоит из всех векторов вида

ãäå 1; : : : ; n 2 k, то есть этот образ совпадает с множеством всех линейных комбинаций столбцов матрицы A.

Теорема 18. Пусть A матрица из m строк и n столбцов с компонентами из поля k. Множество решений однородной системы AX = , состоящей из m линейных уравнения с n неизвестными, является подпространством пространства kn, и размерность это- го подпространства равна n r.

Доказательство. Пусть A линейное отображение из леммы 3. Тогда множество решений Y системы совпадает с Ker A и потому является подпространством пространства kn. Поскольку Im A линейная оболочка столбцов матрицы A, размерность пространства Im A равна рангу матрицы A. По теореме 17

dim Y = dim Ker A = dim kn dim Im A = n r:

205

Глава VIII

Определители

x 1: Ориентированный объем

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными над полем вещественных чисел:

a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3

Сопоставим ей векторы в тр¼хмерном (геометрическом) пространстве

Наша система запишется теперь в виде одного векторного уравнения

! ! ! !

OAx + OBy + OCz = OD:

! ! !

Предположим, что векторы OA; OB; OC некомпланарны; тогда матрица системы невырождена, и по теореме Крамера система имеет единственное решение (x0; y0; z0). Покажем, как, используя геометрические соображения, можно явно указать это решение.

206

Поскольку (x0; y0; z0) решение нашего векторного уравнения, мы получаем, что

то есть что вершина D параллелепипеда Pz получается из верши-

лельный основанию; поэтому у этих параллелепипедов одинаковая

лелепипеда P не компланарны, его объем отличен от 0, и потому jz0j = V (Pz0)=V (P ) = V (Pz)=V (P ). При этом, очевидно, само число z0

положительно или отрицательно в зависимости от того, направлены

! !

векторы OD и OC в одну сторону от общего основания параллелепипедов или в разные.

Полученная формула выглядела бы особенно красивой, если бы мы могли так определить объ¼м, чтобы он был не обязательно положительным и менял бы знак при замене одного из ребер на противоположно направленное ребро. Это сделать нетрудно (мы опускаем здесь детали, поскольку в гораздо более общей ситуации это будет

сделано ниже); такой объ¼м называется ориентированным объемом параллелепипеда. Обозначая его через V or, мы получим, что

z = V or(Pz)=V or(P )

и аналогично

На первый взгляд кажется, что в предыдущей конструкции существенно не только то, что основное поле это поле вещественных чисел, но также и то, что в пространстве есть дополнительная структура, позволяющая, например, сказать для некоторых векторов, что они ортогональны. Тогда, в частности, определены высоты параллелограмма и параллелепипеда, а потому площадь основания и объ¼м параллелепипеда. Но мы воспользовались выше лишь двумя свойствами ориентированного объема:

(1)ориентированный объем не меняется, если вершину параллелепипеда, не принадлежащую основанию, сдвинуть на вектор, параллельный основанию;

207

(2)при умножении одного из ребер параллелепипеда на число ориентированный объ¼м умножается на то же число.

Конечно, этих свойств не достаточно, чтобы определить ориентированный объ¼м. Однако, легко доказать, что отношение объ¼мов определяется ими однозначно. Для того, чтобы был однозначно определен сам объ¼м, надо его нормировать, задав объ¼м какого-нибудь одного

невырожденного параллелепипеда. Наиболее естественно в качестве этого параллелепипеда взять единичный куб с ребрами ~ ~ ~

i; j; k è ïðè-

писать объ¼му этого куба значение 1.

Отметим, что в формулировках всех трех свойств ориентированного объ¼ма нигде не используется, что основное поле это поле вещественных чисел. Кроме того, эти формулировки легко переносятся на пространства произвольной размерности. Поэтому естественно попытаться перенести понятие ориентированного объ¼ма на пространства произвольной размерности над произвольным полем; можно надеяться, что и в общем случае решения систем линейных уравнений будут просто выражаться через такие обобщенные ориентированные объ¼мы. Этим мы и займемся в следующих параграфах.

x 2: Аксиоматическое определение и основные свойства определителей

1 Понятие определителя

Всюду в этом и следующем параграфах через k обозначается некоторое поле. Напомним, что множество квадратных матриц порядка n над полем k мы обозначаем через kn. Мы хотим выяснить, нельзя ли для произвольной матрицы из kn определить элемент из k, похожий на объем параллелепипеда, порожденного столбцами этой матрицы. Оказывается, ответ положительный.

Теорема 1. Существует единственная функция f : kn ! k, обладающая следующими свойствами:

(1)f(E) = 1;

(2)если A матрица из kn, и B матрица, полученная из A прибавлением к одному из столбцов другого столбца, умноженного на элемент из k, то f(A) = f(B);

(3)если A матрица из kn, а B матрица, полученная из матрицы A умножением одного из столбцов на элемент a из поля

k, òî f(B) = af(A).

Функция f, удовлетворяющая требованиям теоремы 1, называется определителем, а е¼ значение на матрице A называется определителем матрицы A; он обозначается det A или jAj. В развернутом виде

208

определитель матрицы

2 Первые следствия из определения

Перед тем, как перейти к доказательству теоремы 1, выведем несколько простых следствий из определения.

Предложение 1. Пусть A матрица из kn, и пусть a1; : : : ; an е¼ столбцы. Далее, пусть

b = a1a1 + : : : + ajaj + : : : + anan (a1; : : : ; aj; : : : ; an 2 k);

è Aj матрица, полученная из матрицы A заменой j-го столбца aj на столбец b. Тогда jAjj = aj jAj.

Доказательство. Матрица Aj получается из матрицы A умножени- åì j-ãî столбца на aj и последующим прибавлением к нему других столбцов, умноженных на элементы из k; но по условиям (2), (3) тео-

ремы 1 в результате первого преобразования определитель матрицы умножается на aj, а последующие преобразования не меняют определитель.

Предложение 2. Матрица A 2 kn вырождена тогда и только тогда, когда ее определитель равен 0.

Доказательство. Пусть A вырожденная матрица. Тогда е¼ столб-

öû a1; : : : ; an линейно зависимы, поэтому один из них aj линейная комбинация остальных, и значит, существуют такие as 2 k (s 6= j), ÷òî

aj = a1a1 + : : : + 0 aj + : : : + anan:

Матрица B, полученная из матрицы A заменой столбца aj на равную ему линейную комбинацию столбцов a1a1 + : : : + 0 aj + : : : + anan, не отличается от A, но по предложению 1 е¼ определитель равен 0 jAj = 0, так что jAj = jBj = 0.

209

Если же A невырожденная матрица, то, как мы доказали в гла-

ве V, последовательностью элементарных преобразований над столбцами е¼ можно привести к единичной матрице. Но по условиям (2),

(3) теоремы 1 каждое элементарное преобразование над столбцами умножает определитель матрицы на некоторый элемент из поля k;

следовательно, если бы определитель матрицы A был равен 0, то нулем был бы и определитель единичной матрицы, полученной из A

элементарными преобразованиями над столбцами, а это противоре- чит условию (1) теоремы 1.

Предложение 3 (линейность). Пусть A; B1; : : : ; Bm матрицы èç kn, и пусть a, b(1); : : : ; b(m) их j-е столбцы. Если

а остальные столбцы во всех матрицах одинаковы, то

jAj = a1jB1j + : : : + amjBmj:

Доказательство. Пусть c1; : : : ; cn 1 общие столбцы матриц A, Bs, за исключением их j-х столбцов a, b(s) (1 s m). Если столбцы

c1; : : : ; cn 1 линейно зависимы, то столбцы a; c1; : : : ; cn 1 матрицы A и столбцы b(s); c1; : : : ; cn 1 каждой из матриц Bs тем более линейно зависимы, и потому определители всех этих матриц равны 0, так что соотношение

jAj = 0 = a1 0 + : : : + am 0 = a1jB1j + : : : + amjBmj

в этом случае тривиально выполняется. Если же столбцы c1; : : : ; cn 1 линейно независимы, то к ним можно добавить еще один столбец c, так чтобы столбцы c; c1; : : : ; cn 1 составляли базис kn. Обозначим че- рез C матрицу, полученную из матрицы A заменой j-го столбца a на столбец c. Столбцы b(s) являются линейными комбинациями базиса c; c1; : : : ; cn 1, то есть существуют такие cs; dsl 2 k (1 s m, 1 l < n), ÷òî

n 1

X

b(s) = csc + dslcl: l=1

Тогда

n 1

X

a = a1b(1) +: : :+amb(m) = (a1c1 +: : :+amcm)c+ (a1d1l +: : :+amdml)cl:

l=1

Поскольку матрицы Bs, A получаются из матрицы C заменой j-го столбца c на эти столбцы b(s), a, мы получаем по предложению 1, что

jBsj = csjCj (1 s m); jAj = (a1c1 + : : : + amcm)jCj;

210