algebra1

2 Определение кольца многочленов от нескольких переменных

Пусть коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, A подкольцо , содержащее единицу 1 кольца , а t1; : : : ; tr элементы из . Мы говорим, является кольцом многочленов от t1; : : : ; tr íàä кольцом A и пишем = A[t1; : : : ; tr], если любой элемент f 2 однозначно представляется в виде

элементы из A, почти все равные 0. Однозначно опре- деленные элементы ai1;:::;ir называются коэффициентами многочлена f.

Предложение 17. Пусть кольцо многочленов от t1; : : : ; tr íàä кольцом A, и пусть 1 p < r. Подкольцо кольца , порожден-

ное A и элементами t1; : : : ; tp, является кольцом многочленов от t1; : : : ; tp над кольцом A, а кольцом многочленов от tp+1; : : : ; tr над кольцом . Обратно, если кольцо многочленов от tp+1; : : : ; tr над кольцом A[t1; : : : ; tp], то кольцо многочленов от t1; : : : ; tr íàä кольцом A.

Доказательство. По самому определению кольца каждый его элемент представляется в виде

элементы из A, почти все равные 0. Для того, чтобы доказать, что кольцо многочленов от t1; : : : ; tp над A, остается убедиться в том, что такое представление единственно. Но

Коэффициенты bi1;:::;ir многочлена f, рассматриваемого как много- ÷ëåí îò t1; : : : ; tr, определены однозначно; поэтому и коэффициенты ai1;:::;ip = bi1;:::;ip;0;:::;0 определены однозначно.

Докажем теперь, что = [tp+1; : : : ; tr]. Чтобы избежать растягивания формул на много строчек, рассмотрим лишь случай r = 2, p = 1; ниже мы укажем, что надо изменить в общем случае.

101

Лемма 2. Пусть = или = [t2], и пусть aij, bij элемен- ты из , заданные для всех натуральных i; j и почти все равные 0. Пусть, далее,

1

j2N0

P gjtj1 = P gj0 tj1.

j2N0 j2N0

Доказательство. Заменяя сумму по N20 на двойную сумму и пользу- ясь дистрибутивностью умножения относительно сложения, получа- ем:

(i;j)2N20

Но коэффициенты f как многочлена от t1; t2 определены однозначно;

многочленов от t2 над кольцом .

Пусть теперь = [t2]. В обозначениях леммы 2

XX

j2N0 (i;j)2N20

102

ãäå aij элементы из A, почти все равные 0. Из той же леммы следует. что если у f есть другое аналогичное представление

òî P gjtj1 = P gj0 tj1. Íî = [t2], поэтому коэффициенты gj 2

j2N0 j2N0

в разложении любого элемента из по степеням t2 определены од- нозначно, и мы получаем, что gj0 = gj для всех j. Вспоминая опре-

(i;j)2N20

значит, что кольцо многочленов от t1; t2 над кольцом A.

Как мы видим, по существу доказательство для случая r = 2,

p = 1 состояло в замене суммы по декартову произведению N0 N0 на двойную сумму, и в обратной замене двойной суммы на сумму по декартову произведению. То же самое можно сделать и для произвольных r и p. Обозначим через q разность r p. Декартова степень Nr0 является декартовым произведением множеств Np0 è Np0. Поэтому для любых X(i1; : : : ; ir) 2 A, почти везде равных 0, справедливо соотношение

В остальном доказательство последних двух утверждений предложения в общем случае полностью повторяет доказательство для r = 2,

p = 1.

3 Существование кольца многочленов от нескольких переменных

Покажем, что для любого ассоциативного коммутативного кольца с единицей A и любого натурального числа r 1 существует коль-

цо A и элементы t1; : : : ; tr 2 , такие что является кольцом многочленов от t1; : : : ; tr над кольцом A. Для r = 1 мы построили такое кольцо в x 2:. Если r > 1 и кольцо A[t1; : : : ; tr 1] уже построено, то, опять используя конструкцию из x 2:, построим такое кольцо A[t1; : : : ; tr 1] и выберем такой элемент tr 2 , ÷òî

103

= (A[t1; : : : ; tr 1])[tr]. Тогда по предложению 17 является кольцом многочленов от t1; : : : ; tr над кольцом A.

Мы видели выше, что кольцо многочленов от одной переменной над областью целостности само является областью целостности. Это утверждение легко переносится индукцией на многочлены от нескольких переменных: если A область целостности, и

уже доказано, что A[t1; : : : ; tr 1] область целостности, то и кольцо A[t1; : : : ; tr], которое является кольцом многочленов от одной переменной tr над областью целостности A[t1; : : : ; tr 1] тоже область целостности.

4 Степень многочлена от нескольких переменных

Пусть f(t1; : : : ; tr) 2 A[t1; : : : ; tr], где A коммутативное ассоциативное кольцо с 1. Тогда для любого i, такого что 1 i r, кольцо

A[t1; : : : ; tr] является кольцом многочленов от ti над кольцом много- членов от остальных переменных A[t1; : : : ; ti 1; ti+1; : : : ; tr]. Его степень как многочлена над A[t1; : : : ; ti 1; ti+1; : : : ; tr] называется степенью относительно ti. Например, если n степень f(t1; t2; : : : ; tr) относительно t1, òî

f(t1; t2; : : : ; tr) = g0(t2; : : : ; tr) + g1(t2; : : : ; tr)t1 + + gn(t2; : : : ; tr)tn1 ;

ãäå gi(t2; : : : ; tr) многочлены от t2; : : : ; tr над A, причем старший коэффициент gn(t2; : : : ; tr) является ненулевым многочленом.

Помимо степени относительно каждой переменной, можно опре-

делить полную степень многочлена. Сначала определим полную степень одночлена ati11 tirr ; åñëè a 6= 0, то эта полная степень равна

i1 +: : :+ir, а при a = 0 мы полагаем ее равной 1. Полной степенью многочлена

ãäå ai1;:::;ir элементы из A, почти все равные 0, называется максимальная из полных степеней одночленов ai1;:::;ir ti11 tirr , составляю-

щих этот многочлен. Отметим, что одночленов с одной и той же максимальной полной степенью среди одночленов ai1;:::;ir ti11 tirr может

быть несколько; если полная степень этого многочлена равна n 0,

то существуют такие i1; : : : ; ir 0, ÷òî i1 + : : : + ir = n, ai1;:::;ir 6= 0, а при любых j1; : : : ; jr 0, таких что j1 +: : :+jr > n, соответствующий

коэффициент aj1;:::;jr равен 0.

Многочлен называется однородным многочленом степени n, или формой степени n, если он является суммой (быть может, пустой) одночленов полной степени n. Поскольку нулевой многочлен сумма

104

пустого множества слагаемых, он является однородным многочленом любой степени. Формы степени 0 это элементы из A, формы

степени 1 (они называются линейными формами) это многочлены вида a1t1 + : : : + artr, ãäå a1; : : : ; ar 2 A, а формы степени 2, или квадратичные формы, имеют вид

r

XX

5 Значение многочлена от нескольких переменных

Пусть A коммутативное ассоциативное кольцо с единицей 1, и пусть ассоциативное, но не обязательно коммутативное кольцо, содержащее A в качестве подкольца, причем 1 является единицей не только кольца A, но и кольца . Пусть, далее,

ãäå ai1;:::;ir элементы из A, почти все равные 0, и пусть 1; : : : ; rтакие элементы из , которые перестановочны друг с другом и

со всеми элементами из A (это значит, что a i = ia è i j = j i для всех i; j и для всех a 2 A). Значением f( 1; : : : ; r) многочлена f(t1; : : : ; tr) ïðè t1 = 1 , . . . , tr = r

(сумма имеет смысл, потому что почти все слагаемые равны 0, и фактически складывается лишь конечное число слагаемых).

Как и для многочленов от одной переменной, значения многочленов от нескольких переменных согласованы с действиями: значения суммы, разности и произведения многочленов в некоторой точке равны соответственно сумме, разности и произведению значений многочленов в этих точках. Ввиду очевидности доказательства этого, мы опускаем не только доказательство, но и точную формулировку утверждения.

6 Теорема о формальном и функционально ра-

венстве для многочленов от нескольких переменных

Выше мы доказали, что если два многочлена от одной переменной над бесконечным полем k принимают одинаковые значения при всех

105

значениях аргумента 2 k, то они совпадают. Этот результат остается верным и для многочленов от нескольких переменных.

Теорема 16. Пусть k бесконечное поле, и пусть

f(t1; : : : ; tr); g(t1; : : : ; tr)

многочлены от t1; : : : ; tr с коэффициентами из k. Если f(a1; : : : ; ar) = g(a1; : : : ; ar) äëÿ âñåõ a1; : : : ; ar 2 k

(то есть если многочлены f(t1; : : : ; tr) è g(t1; : : : ; tr) функционально равны), то многочлены f(t1; : : : ; tr), g(t1; : : : ; tr) равны.

Доказательство. Пусть h(t1; : : : ; tr) = f(t1; : : : ; tr) g(t1; : : : ; tr); тогда

h(a1; : : : ; ar) = f(a1; : : : ; ar) g(a1; : : : ; ar) = 0

äëÿ âñåõ a1; : : : ; ar 2 k. Достаточно поэтому доказать следующее утверждение:

Åñëè h(t1; : : : ; tr) такой многочлен с коэффициентами из бесконечного поля k, что h(a1; : : : ; ar) = 0 äëÿ âñåõ a1; : : : ; ar 2 k, òî h(t1; : : : ; tr) = 0.

Доказывать это утверждение будем индукцией по r; для r = 1 оно

является частным случаем теоремы о формальном и функциональном равенстве для многочленов от одной переменной. Пусть r > 1, и

пусть утверждение уже доказано для многочленов от r 1 переменной. Представим h(t1; : : : ; tr) как многочлен от t1 íàä k[t2; : : : ; tr]:

h(t1; : : : ; tr) = g0(t2; : : : ; tr) + g1(t2; : : : ; tr)t1 + : : : + gn(t2; : : : ; tr)tn1 ;

ãäå gs(t2; : : : ; tr) 2 k[t2; : : : ; tr] äëÿ âñåõ s, 0 s n. Åñëè h(t1; : : : ; tr)

ненулевой многочлен, то для некоторого s, 0 s n, многочлен

gs(t2; : : : ; tr) отличен от 0. По предположению индукции можно выбрать такие a2; : : : ; ar 2 k, ÷òî gs(a2; : : : ; ar) 6= 0. Тогда многочлен

u(t1) = g0(a2; : : : ; ar) + g1(a2; : : : ; ar)t1 + : : : + gn(a2; : : : ; ar)tn1 2 k[t1]

ненулевой, так как в нем коэффициент при ts1 отличен от 0. Поэто- му по теореме о формальном и функциональном равенстве много- членов от одной переменной существует такой элемент a1 2 k, ÷òî

u(a1) 6= 0. ßñíî, ÷òî gi(a2; : : : ; ar), ai1 являются значениями многочле- íîâ gi(t2; : : : ; tr) è ti1 из кольца k[t1; : : : ; tr] ïðè t1 = a1, t2 = a2, . . . ,

tr = ar; поэтому

0 6= u(a1) = g0(a2; : : : ; ar) + g1(a2; : : : ; ar)a1 + : : : + gn(a2; : : : ; ar)an1

106

является значением h(a1; : : : ; ar) многочлена

h(t1; : : : ; tr) = g0(t2; : : : ; tr) + g1(t2; : : : ; tr)t1 + : : : + gn(t2; : : : ; tr)tn1 ;

а это противоречит тому, что все значения многочлена h(t1; : : : ; tr) равны 0. Итак, предположение h(t1; : : : ; tr) 6= 0 привело к противоре- чию. Значит, h(t1; : : : ; tr) = 0, что мы и хотели доказать.

x 7: Производная многочлена и ее применения

1 Определение производной

Понятие производной функции принадлежит математическому анализу; любое ее определение в той или иной мере использует пределы, непрерывность или что-либо подобное. Для "очень хороших" функций (например, для функций, везде непрерывно дифференци-

руемых) определение производной функции можно не вполне точно сформулировать следующим образом: функция f0(x) является про-

изводной для функции f(x), если существует "хорошая" (в нашем случае непрерывная) функция двух аргументов (x; "), такая что f0(x) = (x; 0), à f(x + ") = f(x) + " (x; ").

Такое определение легко обобщить, если под "хорошей" функцией понимать не непрерывную функцию, а функцию из какого-то другого класса. Это позволяет определить производную и в таких ситуациях, когда никакой речи о пределах идти не может. Именно так мы и определим производную многочлена над произвольным полем, взяв в качестве класса "хороших" объектов класс всех многочленов.

Прежде, чем дать определение производной многочлена, напомним, что если f(t) многочлен с коэффициентами из A, то мы можем

считать его значения при значении t, не обязательно принадлежащем A, а какому-то его расширению. В частности, придавая t значение t + u 2 A[t; u], мы получим многочлен f(t + u) 2 A[t; u].

Теперь мы можем определить производную многочлена. Пусть Aобласть целостности, и пусть f(t) 2 A[t] многочлен с коэффициентами из A; многочлен f0(t) 2 A[t] называется производной многочлена f(t), если существует многочлен (t; u) 2 A[t; u] от двух переменных, такой что f(t + u) = f(t) + u (t; u), f0(t) = (t; 0).

Предложение 18. Пусть A область целостности. Для любого многочлена f(t) 2 A[t] существует, и притом единственный многочлен f0(t) 2 A[t], являющийся производной многочлена f(t).

107

Доказательство. Многочлен от двух переменных f(t + u) может быть записан как многочлен от u над A[t]:

f(t + u) = g0(t) + g1(t)u + g2(t)u2 + : : : + gn(t)un:

Считая значения обеих частей равенства при u = 0, находим, что

f(t) = g0(t), и потому предыдущее равенство можно записать в виде f(t + u) = f(t) + u (t; u), где (t; u) = g1(t) + g2(t)u + : : : + gn(t)un 1.

Поэтому многочлен g1(t) = (t; 0) является производной многочлена f(t).

Для доказательства единственности производной заметим, что не только свободный член g1(t) многочлена (t; u), но и сам многочлен(t; u) определен однозначно: если

f(t + u) = f(t) + u (t; u) = f(t) + u 1(t; u);

òî u (t; u) = u 1(t; u), откуда следует, что (t; u) = 1(t; u), потому что u 6= 0, а A[t; u] область целостности.

Для изучения производной более удобна другая форма ее определения.

Предложение 19. Пусть A область целостности, и пусть f(t)многочлен с коэффициентами из A; для того, чтобы многочлен f0(t) 2 A[t] был производной многочлена f(t), необходимо и достаточно, чтобы в A[t; u] выполнялось сравнение

f(t + u) f(t) + f0(t)u (mod u2):

Доказательство. В обозначениях доказательства предложения 18 мы имеем:

f(t + u) = f(t) + g1(t)u + g2(t)u2 + : : : + gn(t)un

f(t) + g1(t)u = f(t) + f0(t)u (mod u2):

Обратно, пусть f(t + u) f(t) + g(t)u (mod u2), где g(t) 2 A[t]; тогда мы получаем, что g(t)u f0(t)u (mod u2), откуда следует, что существует такой многочлен

(u) = h0(t) + h1(t)u + : : : + hm(t)um 2 A[t][u] = A[t; u];

÷òî

g(t)u = f0(t)u + (u)u2 = f0(t)u + h0(t)u2 + h1(t)u3 + : : : + hm(t)um+2:

Сравнивая коэффициенты при u в левой и правой частях равенства, получаем, что g(t) = f0(t).

108

2 Свойства производной

Покажем, что так определенная производная обладает обычными свойствами.

Предложение 20. Пусть A область целостности, и пусть a элемент из A, а f(t); g(t)) многочлены с коэффициентами из A; тогда

(1)a0 = 0, t0 = 1, (af(t))'=af'(t);

(2)(f(t) g(t))0 = f0(t) g0(t);

(3)f(t)g(t))0 = f0(t)g(t) + f(t)g0(t);

(4)если n 0 целое число, то ((t a)n)0 = n(t a)n 1 (â частности, (tn)0 = ntn 1);

(5)a0 + a1t + a2t2 + : : : + antn = a1 + 2a2t + : : : + nantn 1.

Доказательство. Напомним, что по определению производной выполняются сравнения

f(t+u) f(t)+f0(t)u (mod u2); g(t+u) g(t)+g0(t)u (mod u2):

Свойства (1) - (3) следуют из предложения 19 и следующих сравнений по модулю u2:

содержится в (1), и если уже доказано, что ((t a)n)0 = n(t a)n 1, то по свойству (3) получаем

((t a)n+1)0 = ((t a)n(t a))0 = ((t a)n)0(t a) + (t a)n(t a)0 = = (n(t a)n 1)(t a) + (t a)n 1 = (n + 1)(t a)n:

Свойство (5) является непосредственным следствием свойств (2), (1) и (4).

3 Критерий кратности корня многочлена

Корень a многочлена f(t) с коэффициентами из поля называется

простым, если его кратность равна 1, и кратным, если его кратность не меньше 2.

109

Теорема 17. Пусть k поле, и пусть f(t) 2 k[t]. Для того, чтобы корень a многочлена f(t) был кратным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство f0(a) = 0.

Доказательство. Пусть сначала f0(a) = 0. Поскольку a корень f(t), многочлен f(t) делится на (t a), и поэтому существует много- член g(t) 2 k[t], такой что f(t) = (t a)g(t). Тогда

f0(t) = (t a)0g(t) + (t a)g0(t);

откуда следует, что

0= f0(a) = 1 g(a) + (a a)g0(a) = g(a);

èзначит, по теореме Безу, многочлен g(t) делится на (t a). Следовательно, существует такой многочлен h(t) 2 k[t], что g(t) = (t a)h(t). Но тогда многочлен f(t) = (t a)2h(t) делится на (t a)2, и потому

кратность корня a многочлена f(t) не меньше 2.

Обратно, пусть a кратный корень f(t); тогда многочлен f(t) делится на (t a)2, и существует такой многочлен h(t) 2 k[t], что f(t) = (t a)2h(t). Значит,

f0(t)=((t a)((t a)h(t)))0 =(t a)0((t a)h(t))+(t a)((t a)h(t))0 ((t a));

и потому по теореме Безу f0(a) = 0.

Следствие. Для того, чтобы многочлен f(t) 2 k[t] не имел кратных корней ни в каком поле K, содержащем k, необходимо и достаточно, чтобы он был взаимно прост со своей производной f0(t).

Доказательство. Если многочлены f(t) и f0(t) не взаимно просты, то степень их наибольшего общего делителя d(t) 2 k[t] больше 0, и потому существует поле K k, в котором многочлен d(t) имеет корень. Поскольку f(t) и f0(t) делятся на d(t), элемент 2 K является общим корнем f(t) и f0(t), а потому кратным корнем многочлена f(t).

Если же многочлены f(t) и f0(t) взаимно просты, то существуют такие многочлены g(t); h(t) 2 k[t], что f(t)g(t) + f0(t)h(t) = 1; если бы у многочлена f(t) в некотором поле K k был кратный корень, то f( ) и f0( ) были бы равны 0, и мы получили бы. что

1= f( )g( ) + f0( )h( ) = 0 g( ) + 0 h( ) = 0;

àэто невозможно.

110