algebra1
.pdf
|
|
a |
|
c |
|
c |
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||
(6) |
h |
|
ih |
|
|
i = h |
|
|
ih |
|
i; |
|
|
|
|
|
||||||||||
b |
d |
d |
b |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(7) |
|
1 |
|
|
|
|
|
a |
|
= |
|
|
a |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
hai |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a c |
a e |
||||||||||||
|
hc i he i |
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(8) |
h |
|
i h |
|
i |
+ h |
|
i = h |
|
ih |
|
i + h |
|
ih |
|
i. |
||||||||||
b |
d |
f |
b |
d |
b |
f |
Их проверка получается прямыми вычислениями с учетом того, что коммутативное ассоциативное кольцо с 1. В качестве при-
меров проверим соотношения (1), (4) и (8); первое из них "самое сложное", а два других являются единственными из соотношений
(1) (8), при проверке которых приходится заменять дробь на эквивалентную ей. Соотношение (1) вытекает из равенства
ab + dc + fe
a a
Далее, b + b
= |
a |
+ |
cf + de |
= |
|
a(df) + b(cf + de) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
df |
|
|
|
|
|
|
|
b(df) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
(ad + bc)f + (bd)e |
a |
+ |
c |
+ |
e |
: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(bd)f |
b |
d |
f |
||||||||||
= |
ab + b( a) |
= |
0 |
|
0 |
, что означает справедливость |
||||||||||||||||
|
b2 |
1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соотношения (4). Наконец, из цепочки соотношений
|
a |
|
c |
|
e |
a |
cf + de |
|
a cf + de) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
= |
|
|
|
|
|
= |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
b |
d |
f |
b |
df |
|
|
b(df) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ac)(bf) + (bd)(ae) |
|
a |
|
c |
|
a |
e |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(bd)(bf) |
|
b |
d |
b |
f |
||||||||
вытекает (8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Проверим теперь, что аксиома (9), выделяющая поля в классе |
|||||||||||||||||||||||||||||
коммутативных ассоциативный колец с 1, тоже выполняется в |
K. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
6= 0 = h |
0 |
|
|
b |
|
|
|
|
a 1 = b |
0, и потому |
|||||||||||||
Пусть = hb i |
1i; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда неверно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = a 1 6= b 0 = 0, а значит, a тоже является дробью. Теперь ясно,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
что в качестве 1 можно взять класс h |
|
i |
2 K: |
|||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
a |
|
b |
ab |
|
|
1 |
|||||||||
|
h |
|
i |
= h |
|
ih |
|
i |
= h |
|
i |
= h |
|
i = 1: |
||||||
|
a |
b |
a |
ba |
1 |
|||||||||||||||
Наконец, |
h |
0 |
i |
h |
1 |
i |
, потому что по предположению |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
6= 1 |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
теоремы в кольце элемент 0 1 = 0 отличается от элемента 1 1 = 1;
таким образом, выполнена и аксиома (10). Лемма полностью доказана.
121
Аналогично тому, как это делалось при построении поля комплексных чисел и кольца многочленов, вложим кольцо в постро-
енное только что поле K. Заметим сначала, что если в классе дробейесть дробь вида a1, где a 2 , то только одна; действительно, если
a; b 2 è |
a |
i |
= |
b |
, то a = a 1 = 1 b = b. Такой класс дробей |
|||||||||||||
1 |
1 |
|||||||||||||||||
|
будем |
h |
|
h |
|
i |
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
||
ìû |
|
обозначать просто через |
|
, где, повторяем, |
|
единственный |
||||||||||||
элемент из , такой что = |
h |
a |
i |
. Множество элементов кольца |
||||||||||||||
1 |
||||||||||||||||||
оказывается тем самым |
|
|
|
K |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
вложенным в поле |
|
, и всякий раз, когда |
мы рассматриваем элемент a из как элемент из K, мы имеем вви-
ду именно класс дробей |
|
a |
|
. При этом для любых a; b |
|
сумма и |
||||||||||
h1i |
2 |
|||||||||||||||
произведение классов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
||||
|
a = h |
|
i; |
b = h |
|
i |
|
|
||||||||
|
1 |
1 |
|
|
||||||||||||
в поле K равны соответственно |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
a + b |
|
|
ab |
|
|
||||||||
|
h |
|
|
|
|
i; |
h |
|
i |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
а это как раз те классы дробей, которые соответствуют сумме a + b и произведению ab элементов a, b. Таким образом, это вложение делает кольцо подкольцом поля .
Осталось показать, что K является полем отношений кольца , то есть что каждый элемент из K представим в виде ab 1, где a; b 2 , b 6= 0. Но это очевидно:
|
|
|
|
|
|
hb i |
= h |
1i |
hb i |
= h1i |
h1i |
|
= ab 1: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
1 |
a |
|
b |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 1 доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a |
|
увидели в конце доказательства, что если |
a; b 2 |
|
, |
, òî |
|||||||||||||||
|
Ìû |
|
h |
a |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b 6= 0 |
||||
знаком |
|
b |
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
b |
= ab 1 = |
|
, где в левой части горизонтальная черта является |
||||||||||||||||||
|
|
|
деления в поле |
|
|
одного элемента из |
|
на другой, а в правой |
это "знак препинания", используемый для записи дробей. Таким образом, это равенство ни в коем случае не означает, что класс дробей равен своему представителю.
В дальнейшем элементы из поля отношений мы всегда будем за-
писывать в виде отношения в K двух элементов из , то есть в виде ab , где горизонтальная черта является знаком деления в K.
122
x 2: Дробно-рациональные функции
1 Поле дробно-рациональных функций
Пусть k поле; поле отношений кольца многочленов k[t1; : : : ; tn] называется полем дробно-рациональных функций от t1; : : : ; tn íàä ïî- лем k и обозначается через k(t1; : : : ; tn). Элементы этого поля называются дробно-рациональными функциями, хотя как функции мы
их рассматривать не будем, и каждый из них представим в виде
f(t1; : : : ; tn), ãäå f(t1; : : : ; tn), g(t1; : : : ; tn) многочлены, причем вто- g(t1; : : : ; tn)
рой из них отличен от 0.
2 Правильные дробно-рациональные функции
В дальнейшем в этом разделе мы будем заниматься только дробнорациональными функциями от одной переменной. Дробно-рациона-
f(t)
льная функция g(t) 2 k(t) называется правильной, если степень числителя deg f(t) строго меньше степени знаменателя deg g(t). Это определение не зависит от выбора представления дробно-рациональ-
f(t) f1(t)
ной функции в виде отношения двух многочленов: если g(t) = g1(t)
è deg f(t) < deg g(t), òî f(t)g1(t) = g(t)f1(t) и потому deg f(t) + deg g1(t) = deg g(t) + deg f1(t);
откуда следует, что
deg f1(t) = deg g1(t) + (deg f(t) deg g(t)) < deg g1(t):
Поскольку все рассматриваемые многочлены являются многочленами от зафиксированной переменной t, мы иногда будем опускать
указание на переменную в обозначении многочленов, особенно в тех случаях, когда нас интересует степень многочлена.
Предложение 1. Сумма, разность и произведение правильных дро- бно-рациональных функций снова правильные дробно-рациональ- ные функции. Всякая дробно-рациональная функция однозначно представляется в виде суммы многочлена и правильной дробно-рацио- нальной функции.
f1(t) f2(t)
Доказательство. Пусть g1(t); g2(t) правильные дробно-рациона- льные функции; это значит, что deg f1 < deg g1, deg f2 < deg g2. Тогда
deg f1f2 = deg f1 + deg f2 < deg g1 + deg g2 = deg g1g2;
123
deg f1g2 = deg f1 + deg g2 < deg g1 + deg g2 = deg g1g2; deg g1f2 = deg g1 + deg f2 < deg g1 + deg g2 = deg g1g2;
а потому и deg(f1g2 + g1f2) < deg g1g2. Следовательно,
f1 |
f2 |
|
f1g2 + g1f2 |
|
f1 |
|
f2 |
|
f1f2 |
|||
|
+ |
|
= |
|
|
; |
|
|
|
= |
|
|
g1 |
g2 |
|
g1g2 |
|
g1 |
g2 |
g1g2 |
правильные дробно-рациональные функции.
Пусть теперь g(t) произвольная дробно-рациональная функция. Поскольку g(t) 6= 0, по теореме о делении с остатком для мно-
гочленов существуют многочлены q(t); r(t), такие что
|
|
|
f(t) = q(t)g(t) + r(t); deg r(t) < deg g(t): |
||||||||
Тогда |
f(t) |
= q(t) + |
r(t) |
и есть представление |
f(t) |
в виде суммы |
|||||
g(t) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
g(t) |
|
|
|
g(t) |
|||||
многочлена и правильной дробно-рациональной функции. Если |
|||||||||||
|
|
|
|
f(t) |
= q1(t) + |
r1(t) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
g(t) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
g1(t) |
|
|
было бы другим подобным представлением, то многочлен q1(t) q(t)
|
|
|
|
|
r(t) |
|
r1 |
(t) |
||||||
был бы равен правильной дроби |
|
|
|
|
|
|
, а это возможно только |
|||||||
g(t) |
g1 |
(t) |
||||||||||||
åñëè q1(t) q(t) = 0. Таким образом, q1(t) = q(t), а потому и |
||||||||||||||
|
r1(t) |
f(t) |
|
f(t) |
|
|
r(t) |
|||||||
|
|
= |
|
q1(t) = |
|
q(t) = |
|
: |
||||||
|
g1(t) |
g(t) |
g(t) |
g(t) |
3 Простейшие дробно-рациональные функции
Дробно-рациональная функция над полем k называется простейшей,
g(t)
(p(t))s , ãäå p(t); g(t) 2 k[t], s 1 натуральное число, причем p(t) унитарный неприводимый над k многочлен, и deg g(t) < deg p(t). Таким образом, простейшими над алгеб-
раически замкнутым полем k будут дробно-рациональные функции a
(t c)s , ãäå a; c 2 k. Над полем вещественных чисел R простейшими будут дробно-рациональные функции видов
a |
; |
|
at + b |
(s 1; a; b; c; p; q 2 R; причем p2 < 4q): |
(t c)s |
(t2 + pt + q)s |
Теорема 2. Всякая правильная дробно-рациональная функция раскладывается в сумму нескольких простейших дробно-рациональных функций.
124
Доказательство. Сначала докажем, что всякую правильную дробнорациональную функцию можно разложить в сумму правильных дроб- но-рациональных функций, знаменатели которых степени неприводимых многочленов.
Лемма 4. Пусть k поле, f(t) 2 k[t], p1(t); : : : ; pr(t) 2 k[t] попарно различные неприводимые унитарные многочлены, s1; : : : ; sr 1
f(t)
натуральные числа, и пусть g(t) = (p1(t))s1 (pr(t))sr . Åñëè g(t) правильная дробно-рациональная функция, то существуют такие многочлены f1(t); : : : ; fr(t) 2 k[t], ÷òî
f(t) |
= |
|
f1(t) |
+ : : : + |
fr(t) |
; |
|
g(t) |
|
s1 |
sr |
||||
|
(p1(t)) |
(pr(t)) |
и все слагаемые правой части правильные дробно-рациональные функции.
Доказательство. При i 6= j неассоциированные неприводимые многочлены pi(t), pj(t) взаимно просты, поэтому взаимно просты и мно-
гочлены |
|
g(t) |
Y |
|
|
|
|||
(pi(t))si ; |
gi(t) = |
|
= |
(pj(t))sj : |
si |
||||
|
|
(pi(t)) |
j6=i |
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что каждое из сравнений |
|
|||
gi(t)xi f(t) |
(mod (pi(t))si ) |
(1 i r) |
разрешимо относительно xi, потому что его свободный член делит-
ся на наибольший общий делитель 1 коэффициента gi(t) и модуля (pi(t))si . Вместе с каждым решением этого сравнения весь содержащий его класс вычетов по модулю (pi(t))si состоит из решений срав- нения, и в нем, как и в любом классе вычетов по этому модулю, найдется многочлен fi(t), степень которого меньше степени модуля. Итак, мы построили многочлены fi(t), такие что
gi(t)fi(t) f(t) (mod (pi(t))si ); |
deg fi(t) < deg(pi(t))si : |
||
Отметим еще, что при j |
6= |
, поэтому суммаj j |
|
|
i многочлен g (t)f (t) делится вместе с |
многочленом gj(t) íà (pi(t))si
F (t) = g1(t)f1(t) + : : : + gi(t)fi(t) + : : : + gr(t)fr(t)
тоже сравнима с f(t) по модулю (pi(t))si , и значит, разность F (t) f(t) делится на (pi(t))si . Поскольку это верно для всех i, а многочлены ps11 ; : : : ; psrr попарно взаимно просты, разность F (t) f(t) делится на их произведение g(t). Но deg f < deg g, и для любого i
deg(gifi) = deg gi + deg fi < deg gi + deg psii = deg(gipsii ) = deg g;
125
òàê ÷òî deg(F f) = deg(g1f1 + : : : + grfr f) < deg g. Это возможно только если F (t) f(t) = 0, то есть f(t) = F (t). Теперь мы получаем:
f(t) |
= |
F (t) |
= |
f1(t)g1(t) |
+ : : : + |
|
fr(t)gr(t) |
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
g(t) |
|
|
g(t) |
|
(p1(t))s1 g1(t) |
(pr(t))sr gr(t) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
= |
|
f1(t) |
+ : : : + |
fr(t) |
; |
|
|||||||
|
|
|
|
s1 |
sr |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
(p1(t)) |
|
(pr(t)) |
|
а это и есть нужное разложение.
Лемма 5. Пусть h(t); p(t) многочлены с коэффициентами из поля k, причем deg p(t) 1, и пусть s = [deg h= deg p ] целая часть от-
ношения степеней. Тогда существуют многочлены a0(t); : : : ; as(t), такие что deg ai(t) < deg p(t) äëÿ âñåõ i, 0 i s, è
h(t) = a0(t) + a1(t)p(t) + : : : + as(t)(p(t))s:
Доказательство. Индукция по степени многочлена h(t); если сте-
пень h меньше степени g, то достаточно положить a0(t) = h(t). Пусть deg h deg p и пусть утверждение уже доказано для многочленов
меньших степеней. По теореме о делении с остатком существуют многочлены a0(t); h1(t) 2 k[t], такие что
h(t) = a0(t) + h1(t)p(t); deg a0(t) < deg p(t):
Поскольку deg h deg p > deg a0, степень разности h(t) a0(t) равна степени h(t); с другой стороны,
deg h(t) = deg(h(t) a0(t)) = deg(h1(t)p(t)) = deg h1(t) deg p(t);
òàê ÷òî deg h1 < deg h, причем
[deg h1= deg p ] = [(deg h deg p)= deg p ] = [deg h= deg p ] 1 = s 1:
По предположению индукции существуют многочлены a1(t); : : : ; as(t), степени которых строго меньше степени многочлена p(t)), такие что h1(t) = a1(t) + a2(t)p(t) + : : : + as(t)(p(t))s 1. Тогда
h(t) = a0(t) + h1(t)p(t) = a0(t) + a1(t)p(t) + : : : + as 1(t)(p(t))s
и будет нужным представлением многочлена h(t).
f(t)
g(t)
правильная дробно-рациональная функция над полем k; домножая, если надо, числитель и знаменатель на ненулевую константу,
126
добьемся того, чтобы многочлен g(t) был унитарным. Тогда g(t) раскладывается в произведение
g(t) = (p1(t))s1 (pr(t))sr ;
ãäå p1(t); : : : ; pr(t) 2 k[t] попарно различные неприводимые унитарные многочлены, s1; : : : ; sr 1 натуральные числа. Поскольку наша дробно-рациональная функция правильная, deg f(t) < deg g(t). Поэтому по лемме 4 найдутся такие многочлены f1(t); : : : ; fr(t) 2 k[t],
÷òî |
f(t) |
|
|
f1(t) |
|
fr(t) |
|
|
|
= |
|
+ : : : + |
; |
||||
|
g(t) |
|
s1 |
sr |
||||
|
|
(p1(t)) |
(pr(t)) |
и все слагаемые в этой сумме правильные дробно-рациональные функции. Докажем, что каждое из слагаемых раскладывается в сумму простейших дробно-рациональных функций. Пусть 1 i r; по-
скольку deg fi(t) < si deg pi(t), по лемме 5 найдутся такие многочлены
a0(t); : : : ; asi 1(t), ÷òî deg aj(t) < deg pi(t) äëÿ âñåõ j, 0 j si 1, è fi(t) = a0(t) + a1(t)pi(t) + : : : + asi 1(t)(pi(t))si 1. Тогда
f |
(t) |
|
|
a |
(t) + a |
(t)p |
(t) + : : : + a |
si 1 |
(t)(p |
(t))si 1 |
||||||
i |
|
|
= |
0 |
|
1 |
|
i |
|
|
i |
|
|
= |
||
(pi(t)) |
si |
|
|
|
|
|
|
si |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(pi(t)) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
a0(t) |
+ |
|
a1(t) |
+ : : : + |
asi 1(t) |
; |
||||||
|
|
|
|
|
(pi(t))si 1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
(pi(t))si |
|
|
|
pi(t) |
|
|
|
и все слагаемые в последней сумме простейшие дробно-рациональные функции.
Замечание. Из доказательства теоремы видно, что в разложении
f(t)
дробно-рациональной функции g(t) в сумму простейших присутствуют лишь такие простейшие дробно-рациональные функции, знаменатели которых делят g(t).
4 Формула Лагранжа для разложения в сумму простейших дробей
В случае, когда знаменатель правильной дробно-рациональной функции не имеет кратных корней и полностью раскладывается над k в
произведение линейных множителей, можно написать явную формулу для разложения дробно-рациональной функции в сумму простейших.
Предложение 2. Пусть k поле, и пусть a1; a2; : : : ; an попарно различные элементы из k. Далее, пусть f(t) 2 k[t] многочлен,
127
степень которого меньше n, и пусть g(t) = (t a1)(t a2) (t an).
Тогда |
|
|
n |
f(ai)=g0(ai) |
|||
f(t) |
|||||||
|
|
= |
Xi |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
g(t) |
=1 |
t |
|
ai |
||
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Согласно замечанию к доказательству теоремы 2, правильная дробно-рациональная функция fg((tt)) представляется в ви-
де суммы простейших дробно-рациональных функций со знаменателями (t ai), 1 i n, òî åñòü
f(t) |
= |
b1 |
+ : : : + |
bi |
+ : : : + |
|
bn |
; |
|
|
|
t a1 |
t ai |
|
|||||
g(t) |
|
|
|
t an |
где числители bi элементы из k. Для того, чтобы найти элементы bi, умножим предыдущее равенство на g(t), и мы получим соотношение
f(t) = b1g1(t) + : : : + bigi(t) + : : : + bngn(t);
ãäå gi(t) произведения всех биномов (t aj), кроме (t ai); иначе говоря, gi(t) такие многочлены, что g(t) = gi(t)(t ai). Взяв значе- ние обеих частей равенства при t = ai и заметив, что gj(ai) = 0 при j 6= i, найдем, что f(ai) = bigi(ai). Найдем gi(ai), продифференцировав многочлен g(t) = gi(t)(t ai) и взяв значение производной при t = ai:
g0(t) = gi0(t)(t ai) + gi(t)(t ai)0 = gi0(t)(t ai) + gi(t); g0(ai) = gi0(ai)(ai ai) + gi(ai) = gi(ai):
Èòàê, gi(ai) = g0(ai) 6= 0, потому что корень ai многочлена g(t) не кратный, и значит, bi = f(ai)=gi(ai) = f(ai)=g0(ai).
128
Глава V
Матрицы
x 1: Действия над матрицами
1 Понятие матрицы
Матрицей называется любая прямоугольная таблица вида
0 |
|
|
|
1 |
|
a11 |
a12 |
: : : a1n |
C |
|
|
A = B a.21 |
a.22 |
:.:.:. |
a2.n |
; |
|
B am1 |
am2 |
: : : amn |
C |
|
|
B |
|
|
|
C |
|
@ |
|
|
|
A |
|
компоненты которой aij могут быть элементами любого множества. Помимо обозначения aij для элемента i-é строки и j-ãî столбца матрицы A мы будем использовать обозначение Aij. Особенно это будет удобно при рассмотрении матриц, полученных из других матриц при помощи различных операций; например, (A(B + C))ij
мент i-й строки и j-го столбца матрицы A(B + C).
Множество всех матриц с компонентами из множества A, состоящих из m строк и n столбцов, обозначается через Am n. Часто бывает
удобно рассматривать и матрицы с пустыми множествами строк или столбцов; это может понадобиться, например, когда мы выбрасываем из матрицы несколько строк или столбцов, и если не допускать матрицы с 0 строк или 0 столбцов, в рассуждениях придется вводить ограничения на рассматриваемые матрицы и разбирать различные
случаи, что, как правило, ничем не оправдано. Конечно, у таких матриц нет никаких компонент, и ясно, множества A0 n, Am 0 должны
состоять каждое из единственного элемента.
2 Действия над матрицами
В этом пункте мы рассматриваем матрицы с компонентами из фиксированного ассоциативного коммутативного кольца с единицей .
129
Определим три действия над матрицами: сложение и умножение матриц и умножение матрицы на элемент из .
Пусть матрицы A, B принадлежат m n. Их суммой называется матрица A + B 2 m n, компоненты которой равны суммам соответствующих компонент матриц A и B:
(A + B)ij = Aij + Bij (1 i m; 1 j n):
Аналогично, произведением элемента a 2 на матрицу A называется матрица aA 2 m n, элементы которой равны произведениям a на соответствующие элементы матрицы A:
(aA)ij = aAij (1 i m; 1 j n):
Дадим теперь определение произведения матриц. Оно, на первый взгляд, менее естественно, чем определения суммы матриц и произведения матрицы на элемент из основного кольца, но позд-
нее мы поймем, почему следовало действовать именно так. Пусть A 2 m n, B 2 n k; произведением матриц A, B называется матри-
öà AB 2 m k, компоненты которой вычисляются по формуле
n |
|
|
Xs |
i m; 1 |
j k): |
(AB)ij = AisBsj; (1 |
||
=1 |
|
|
Таким образом, перемножать матрицы можно только тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя, и у получившейся матрицы будет столько строк, сколько у первого сомножителя, и столько столбцов, сколько у второго сомножителя. Компоненты произведения вычисляются по правилу "строка на столбец": для того, чтобы получить элемент i-й строки
и j-го столбца произведения, надо перемножить первый элемент i-й строки первого сомножителя и первый элемент j-го столбца второго сомножителя, второй элемент i-й строки первого сомножителя и второй элемент j-го столбца второго сомножителя, . . . , n-й элемент i-й строки первого сомножителя и n-ый элемент j-го столбца второго
сомножителя, и сложить все полученные произведения.
Для каждых натуральных m, n через 0m n обозначим матрицу из m строк и n столбцов, все компоненты которой равны 0. Такая мат-
рица называется нулевой. Из контекста обычно ясно, сколько строк и
сколько столбцов в матрице, поэтому, как правило, мы будем писать 0 вместо 0m n, хотя надо всегда помнить, что для каждых m, n своя
нулевая матрица. Более того, в дальнейшем мы будем обозначать нулевую матрицу через 0, а не 0, но пока все же будем использовать
различные символы для нуля кольца и нулевой матрицы.
130