Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

algebra1

.pdf
Скачиваний:
22
Добавлен:
21.03.2016
Размер:
1.92 Mб
Скачать

 

 

a

 

c

 

c

 

 

a

 

 

 

 

 

(6)

h

 

ih

 

 

i = h

 

 

ih

 

i;

 

 

 

 

 

b

d

d

b

 

 

 

 

 

(7)

 

1

 

 

 

 

 

a

 

=

 

 

a

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hai

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a c

a e

 

hc i he i

 

 

1

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8)

h

 

i h

 

i

+ h

 

i = h

 

ih

 

i + h

 

ih

 

i.

b

d

f

b

d

b

f

Их проверка получается прямыми вычислениями с учетом того, что коммутативное ассоциативное кольцо с 1. В качестве при-

меров проверим соотношения (1), (4) и (8); первое из них "самое сложное", а два других являются единственными из соотношений

(1) (8), при проверке которых приходится заменять дробь на эквивалентную ей. Соотношение (1) вытекает из равенства

ab + dc + fe

a a

Далее, b + b

=

a

+

cf + de

=

 

a(df) + b(cf + de)

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

df

 

 

 

 

 

 

 

b(df)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

(ad + bc)f + (bd)e

a

+

c

+

e

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(bd)f

b

d

f

=

ab + b( a)

=

0

 

0

, что означает справедливость

 

b2

1

 

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соотношения (4). Наконец, из цепочки соотношений

 

a

 

c

 

e

a

cf + de

 

a cf + de)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

=

 

 

 

 

 

=

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

d

f

b

df

 

 

b(df)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ac)(bf) + (bd)(ae)

 

a

 

c

 

a

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(bd)(bf)

 

b

d

b

f

вытекает (8).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверим теперь, что аксиома (9), выделяющая поля в классе

коммутативных ассоциативный колец с 1, тоже выполняется в

K.

 

 

 

 

 

 

 

a

6= 0 = h

0

 

 

b

 

 

 

 

a 1 = b

0, и потому

Пусть = hb i

1i;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда неверно, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a = a 1 6= b 0 = 0, а значит, a тоже является дробью. Теперь ясно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

что в качестве 1 можно взять класс h

 

i

2 K:

a

 

 

 

b

 

a

 

b

ab

 

 

1

 

h

 

i

= h

 

ih

 

i

= h

 

i

= h

 

i = 1:

 

a

b

a

ba

1

Наконец,

h

0

i

h

1

i

, потому что по предположению

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

6= 1

= 1

 

 

 

 

 

 

 

теоремы в кольце элемент 0 1 = 0 отличается от элемента 1 1 = 1;

таким образом, выполнена и аксиома (10). Лемма полностью доказана.

121

Аналогично тому, как это делалось при построении поля комплексных чисел и кольца многочленов, вложим кольцо в постро-

енное только что поле K. Заметим сначала, что если в классе дробейесть дробь вида a1, где a 2 , то только одна; действительно, если

a; b 2 è

a

i

=

b

, то a = a 1 = 1 b = b. Такой класс дробей

1

1

 

будем

h

 

h

 

i

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

ìû

 

обозначать просто через

 

, где, повторяем,

 

единственный

элемент из , такой что =

h

a

i

. Множество элементов кольца

1

оказывается тем самым

 

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вложенным в поле

 

, и всякий раз, когда

мы рассматриваем элемент a из как элемент из K, мы имеем вви-

ду именно класс дробей

 

a

 

. При этом для любых a; b

 

сумма и

h1i

2

произведение классов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

b

 

 

 

a = h

 

i;

b = h

 

i

 

 

 

1

1

 

 

в поле K равны соответственно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a + b

 

 

ab

 

 

 

h

 

 

 

 

i;

h

 

i

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

а это как раз те классы дробей, которые соответствуют сумме a + b и произведению ab элементов a, b. Таким образом, это вложение делает кольцо подкольцом поля .

Осталось показать, что K является полем отношений кольца , то есть что каждый элемент из K представим в виде ab 1, где a; b 2 , b 6= 0. Но это очевидно:

 

 

 

 

 

 

hb i

= h

1i

hb i

= h1i

h1i

 

= ab 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

1

a

 

b

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 1 доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

увидели в конце доказательства, что если

a; b 2

 

,

, òî

 

Ìû

 

h

a

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b 6= 0

знаком

 

b

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

= ab 1 =

 

, где в левой части горизонтальная черта является

 

 

 

деления в поле

 

 

одного элемента из

 

на другой, а в правой

это "знак препинания", используемый для записи дробей. Таким образом, это равенство ни в коем случае не означает, что класс дробей равен своему представителю.

В дальнейшем элементы из поля отношений мы всегда будем за-

писывать в виде отношения в K двух элементов из , то есть в виде ab , где горизонтальная черта является знаком деления в K.

122

x 2: Дробно-рациональные функции

1 Поле дробно-рациональных функций

Пусть k поле; поле отношений кольца многочленов k[t1; : : : ; tn] называется полем дробно-рациональных функций от t1; : : : ; tn íàä ïî- лем k и обозначается через k(t1; : : : ; tn). Элементы этого поля называются дробно-рациональными функциями, хотя как функции мы

их рассматривать не будем, и каждый из них представим в виде

f(t1; : : : ; tn), ãäå f(t1; : : : ; tn), g(t1; : : : ; tn) многочлены, причем вто- g(t1; : : : ; tn)

рой из них отличен от 0.

2 Правильные дробно-рациональные функции

В дальнейшем в этом разделе мы будем заниматься только дробнорациональными функциями от одной переменной. Дробно-рациона-

f(t)

льная функция g(t) 2 k(t) называется правильной, если степень числителя deg f(t) строго меньше степени знаменателя deg g(t). Это определение не зависит от выбора представления дробно-рациональ-

f(t) f1(t)

ной функции в виде отношения двух многочленов: если g(t) = g1(t)

è deg f(t) < deg g(t), òî f(t)g1(t) = g(t)f1(t) и потому deg f(t) + deg g1(t) = deg g(t) + deg f1(t);

откуда следует, что

deg f1(t) = deg g1(t) + (deg f(t) deg g(t)) < deg g1(t):

Поскольку все рассматриваемые многочлены являются многочленами от зафиксированной переменной t, мы иногда будем опускать

указание на переменную в обозначении многочленов, особенно в тех случаях, когда нас интересует степень многочлена.

Предложение 1. Сумма, разность и произведение правильных дро- бно-рациональных функций снова правильные дробно-рациональ- ные функции. Всякая дробно-рациональная функция однозначно представляется в виде суммы многочлена и правильной дробно-рацио- нальной функции.

f1(t) f2(t)

Доказательство. Пусть g1(t); g2(t) правильные дробно-рациона- льные функции; это значит, что deg f1 < deg g1, deg f2 < deg g2. Тогда

deg f1f2 = deg f1 + deg f2 < deg g1 + deg g2 = deg g1g2;

123

если она представляется в виде
f(t)

deg f1g2 = deg f1 + deg g2 < deg g1 + deg g2 = deg g1g2; deg g1f2 = deg g1 + deg f2 < deg g1 + deg g2 = deg g1g2;

а потому и deg(f1g2 + g1f2) < deg g1g2. Следовательно,

f1

f2

 

f1g2 + g1f2

 

f1

 

f2

 

f1f2

 

+

 

=

 

 

;

 

 

 

=

 

g1

g2

 

g1g2

 

g1

g2

g1g2

правильные дробно-рациональные функции.

Пусть теперь g(t) произвольная дробно-рациональная функция. Поскольку g(t) 6= 0, по теореме о делении с остатком для мно-

гочленов существуют многочлены q(t); r(t), такие что

 

 

 

f(t) = q(t)g(t) + r(t); deg r(t) < deg g(t):

Тогда

f(t)

= q(t) +

r(t)

и есть представление

f(t)

в виде суммы

g(t)

 

 

 

 

 

 

g(t)

 

 

 

g(t)

многочлена и правильной дробно-рациональной функции. Если

 

 

 

 

f(t)

= q1(t) +

r1(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

g(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

g1(t)

 

 

было бы другим подобным представлением, то многочлен q1(t) q(t)

 

 

 

 

 

r(t)

 

r1

(t)

был бы равен правильной дроби

 

 

 

 

 

 

, а это возможно только

g(t)

g1

(t)

åñëè q1(t) q(t) = 0. Таким образом, q1(t) = q(t), а потому и

 

r1(t)

f(t)

 

f(t)

 

 

r(t)

 

 

=

 

q1(t) =

 

q(t) =

 

:

 

g1(t)

g(t)

g(t)

g(t)

3 Простейшие дробно-рациональные функции

Дробно-рациональная функция над полем k называется простейшей,

g(t)

(p(t))s , ãäå p(t); g(t) 2 k[t], s 1 натуральное число, причем p(t) унитарный неприводимый над k многочлен, и deg g(t) < deg p(t). Таким образом, простейшими над алгеб-

раически замкнутым полем k будут дробно-рациональные функции a

(t c)s , ãäå a; c 2 k. Над полем вещественных чисел R простейшими будут дробно-рациональные функции видов

a

;

 

at + b

(s 1; a; b; c; p; q 2 R; причем p2 < 4q):

(t c)s

(t2 + pt + q)s

Теорема 2. Всякая правильная дробно-рациональная функция раскладывается в сумму нескольких простейших дробно-рациональных функций.

124

Доказательство. Сначала докажем, что всякую правильную дробнорациональную функцию можно разложить в сумму правильных дроб- но-рациональных функций, знаменатели которых степени неприводимых многочленов.

Лемма 4. Пусть k поле, f(t) 2 k[t], p1(t); : : : ; pr(t) 2 k[t] попарно различные неприводимые унитарные многочлены, s1; : : : ; sr 1

f(t)

натуральные числа, и пусть g(t) = (p1(t))s1 (pr(t))sr . Åñëè g(t) правильная дробно-рациональная функция, то существуют такие многочлены f1(t); : : : ; fr(t) 2 k[t], ÷òî

f(t)

=

 

f1(t)

+ : : : +

fr(t)

;

g(t)

 

s1

sr

 

(p1(t))

(pr(t))

и все слагаемые правой части правильные дробно-рациональные функции.

Доказательство. При i 6= j неассоциированные неприводимые многочлены pi(t), pj(t) взаимно просты, поэтому взаимно просты и мно-

гочлены

 

g(t)

Y

 

 

(pi(t))si ;

gi(t) =

 

=

(pj(t))sj :

si

 

 

(pi(t))

j6=i

 

 

 

 

Отсюда следует, что каждое из сравнений

 

gi(t)xi f(t)

(mod (pi(t))si )

(1 i r)

разрешимо относительно xi, потому что его свободный член делит-

ся на наибольший общий делитель 1 коэффициента gi(t) и модуля (pi(t))si . Вместе с каждым решением этого сравнения весь содержащий его класс вычетов по модулю (pi(t))si состоит из решений срав- нения, и в нем, как и в любом классе вычетов по этому модулю, найдется многочлен fi(t), степень которого меньше степени модуля. Итак, мы построили многочлены fi(t), такие что

gi(t)fi(t) f(t) (mod (pi(t))si );

deg fi(t) < deg(pi(t))si :

Отметим еще, что при j

6=

, поэтому суммаj j

 

i многочлен g (t)f (t) делится вместе с

многочленом gj(t) íà (pi(t))si

F (t) = g1(t)f1(t) + : : : + gi(t)fi(t) + : : : + gr(t)fr(t)

тоже сравнима с f(t) по модулю (pi(t))si , и значит, разность F (t) f(t) делится на (pi(t))si . Поскольку это верно для всех i, а многочлены ps11 ; : : : ; psrr попарно взаимно просты, разность F (t) f(t) делится на их произведение g(t). Но deg f < deg g, и для любого i

deg(gifi) = deg gi + deg fi < deg gi + deg psii = deg(gipsii ) = deg g;

125

Теперь легко завершить доказательство теоремы 2. Пусть

òàê ÷òî deg(F f) = deg(g1f1 + : : : + grfr f) < deg g. Это возможно только если F (t) f(t) = 0, то есть f(t) = F (t). Теперь мы получаем:

f(t)

=

F (t)

=

f1(t)g1(t)

+ : : : +

 

fr(t)gr(t)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(t)

 

 

g(t)

 

(p1(t))s1 g1(t)

(pr(t))sr gr(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

f1(t)

+ : : : +

fr(t)

;

 

 

 

 

 

s1

sr

 

 

 

 

 

 

 

(p1(t))

 

(pr(t))

 

а это и есть нужное разложение.

Лемма 5. Пусть h(t); p(t) многочлены с коэффициентами из поля k, причем deg p(t) 1, и пусть s = [deg h= deg p ] целая часть от-

ношения степеней. Тогда существуют многочлены a0(t); : : : ; as(t), такие что deg ai(t) < deg p(t) äëÿ âñåõ i, 0 i s, è

h(t) = a0(t) + a1(t)p(t) + : : : + as(t)(p(t))s:

Доказательство. Индукция по степени многочлена h(t); если сте-

пень h меньше степени g, то достаточно положить a0(t) = h(t). Пусть deg h deg p и пусть утверждение уже доказано для многочленов

меньших степеней. По теореме о делении с остатком существуют многочлены a0(t); h1(t) 2 k[t], такие что

h(t) = a0(t) + h1(t)p(t); deg a0(t) < deg p(t):

Поскольку deg h deg p > deg a0, степень разности h(t) a0(t) равна степени h(t); с другой стороны,

deg h(t) = deg(h(t) a0(t)) = deg(h1(t)p(t)) = deg h1(t) deg p(t);

òàê ÷òî deg h1 < deg h, причем

[deg h1= deg p ] = [(deg h deg p)= deg p ] = [deg h= deg p ] 1 = s 1:

По предположению индукции существуют многочлены a1(t); : : : ; as(t), степени которых строго меньше степени многочлена p(t)), такие что h1(t) = a1(t) + a2(t)p(t) + : : : + as(t)(p(t))s 1. Тогда

h(t) = a0(t) + h1(t)p(t) = a0(t) + a1(t)p(t) + : : : + as 1(t)(p(t))s

и будет нужным представлением многочлена h(t).

f(t)

g(t)

правильная дробно-рациональная функция над полем k; домножая, если надо, числитель и знаменатель на ненулевую константу,

126

добьемся того, чтобы многочлен g(t) был унитарным. Тогда g(t) раскладывается в произведение

g(t) = (p1(t))s1 (pr(t))sr ;

ãäå p1(t); : : : ; pr(t) 2 k[t] попарно различные неприводимые унитарные многочлены, s1; : : : ; sr 1 натуральные числа. Поскольку наша дробно-рациональная функция правильная, deg f(t) < deg g(t). Поэтому по лемме 4 найдутся такие многочлены f1(t); : : : ; fr(t) 2 k[t],

÷òî

f(t)

 

 

f1(t)

 

fr(t)

 

 

=

 

+ : : : +

;

 

g(t)

 

s1

sr

 

 

(p1(t))

(pr(t))

и все слагаемые в этой сумме правильные дробно-рациональные функции. Докажем, что каждое из слагаемых раскладывается в сумму простейших дробно-рациональных функций. Пусть 1 i r; по-

скольку deg fi(t) < si deg pi(t), по лемме 5 найдутся такие многочлены

a0(t); : : : ; asi 1(t), ÷òî deg aj(t) < deg pi(t) äëÿ âñåõ j, 0 j si 1, è fi(t) = a0(t) + a1(t)pi(t) + : : : + asi 1(t)(pi(t))si 1. Тогда

f

(t)

 

 

a

(t) + a

(t)p

(t) + : : : + a

si 1

(t)(p

(t))si 1

i

 

 

=

0

 

1

 

i

 

 

i

 

 

=

(pi(t))

si

 

 

 

 

 

 

si

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(pi(t))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

a0(t)

+

 

a1(t)

+ : : : +

asi 1(t)

;

 

 

 

 

 

(pi(t))si 1

 

 

 

 

 

(pi(t))si

 

 

 

pi(t)

 

 

 

и все слагаемые в последней сумме простейшие дробно-рациональные функции.

Замечание. Из доказательства теоремы видно, что в разложении

f(t)

дробно-рациональной функции g(t) в сумму простейших присутствуют лишь такие простейшие дробно-рациональные функции, знаменатели которых делят g(t).

4 Формула Лагранжа для разложения в сумму простейших дробей

В случае, когда знаменатель правильной дробно-рациональной функции не имеет кратных корней и полностью раскладывается над k в

произведение линейных множителей, можно написать явную формулу для разложения дробно-рациональной функции в сумму простейших.

Предложение 2. Пусть k поле, и пусть a1; a2; : : : ; an попарно различные элементы из k. Далее, пусть f(t) 2 k[t] многочлен,

127

степень которого меньше n, и пусть g(t) = (t a1)(t a2) (t an).

Тогда

 

 

n

f(ai)=g0(ai)

f(t)

 

 

=

Xi

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(t)

=1

t

 

ai

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Согласно замечанию к доказательству теоремы 2, правильная дробно-рациональная функция fg((tt)) представляется в ви-

де суммы простейших дробно-рациональных функций со знаменателями (t ai), 1 i n, òî åñòü

f(t)

=

b1

+ : : : +

bi

+ : : : +

 

bn

;

 

 

t a1

t ai

 

g(t)

 

 

 

t an

где числители bi элементы из k. Для того, чтобы найти элементы bi, умножим предыдущее равенство на g(t), и мы получим соотношение

f(t) = b1g1(t) + : : : + bigi(t) + : : : + bngn(t);

ãäå gi(t) произведения всех биномов (t aj), кроме (t ai); иначе говоря, gi(t) такие многочлены, что g(t) = gi(t)(t ai). Взяв значе- ние обеих частей равенства при t = ai и заметив, что gj(ai) = 0 при j 6= i, найдем, что f(ai) = bigi(ai). Найдем gi(ai), продифференцировав многочлен g(t) = gi(t)(t ai) и взяв значение производной при t = ai:

g0(t) = gi0(t)(t ai) + gi(t)(t ai)0 = gi0(t)(t ai) + gi(t); g0(ai) = gi0(ai)(ai ai) + gi(ai) = gi(ai):

Èòàê, gi(ai) = g0(ai) 6= 0, потому что корень ai многочлена g(t) не кратный, и значит, bi = f(ai)=gi(ai) = f(ai)=g0(ai).

128

означает эле-

Глава V

Матрицы

x 1: Действия над матрицами

1 Понятие матрицы

Матрицей называется любая прямоугольная таблица вида

0

 

 

 

1

 

a11

a12

: : : a1n

C

 

A = B a.21

a.22

:.:.:.

a2.n

;

B am1

am2

: : : amn

C

 

B

 

 

 

C

 

@

 

 

 

A

 

компоненты которой aij могут быть элементами любого множества. Помимо обозначения aij для элемента i-é строки и j-ãî столбца матрицы A мы будем использовать обозначение Aij. Особенно это будет удобно при рассмотрении матриц, полученных из других матриц при помощи различных операций; например, (A(B + C))ij

мент i-й строки и j-го столбца матрицы A(B + C).

Множество всех матриц с компонентами из множества A, состоящих из m строк и n столбцов, обозначается через Am n. Часто бывает

удобно рассматривать и матрицы с пустыми множествами строк или столбцов; это может понадобиться, например, когда мы выбрасываем из матрицы несколько строк или столбцов, и если не допускать матрицы с 0 строк или 0 столбцов, в рассуждениях придется вводить ограничения на рассматриваемые матрицы и разбирать различные

случаи, что, как правило, ничем не оправдано. Конечно, у таких матриц нет никаких компонент, и ясно, множества A0 n, Am 0 должны

состоять каждое из единственного элемента.

2 Действия над матрицами

В этом пункте мы рассматриваем матрицы с компонентами из фиксированного ассоциативного коммутативного кольца с единицей .

129

Определим три действия над матрицами: сложение и умножение матриц и умножение матрицы на элемент из .

Пусть матрицы A, B принадлежат m n. Их суммой называется матрица A + B 2 m n, компоненты которой равны суммам соответствующих компонент матриц A и B:

(A + B)ij = Aij + Bij (1 i m; 1 j n):

Аналогично, произведением элемента a 2 на матрицу A называется матрица aA 2 m n, элементы которой равны произведениям a на соответствующие элементы матрицы A:

(aA)ij = aAij (1 i m; 1 j n):

Дадим теперь определение произведения матриц. Оно, на первый взгляд, менее естественно, чем определения суммы матриц и произведения матрицы на элемент из основного кольца, но позд-

нее мы поймем, почему следовало действовать именно так. Пусть A 2 m n, B 2 n k; произведением матриц A, B называется матри-

öà AB 2 m k, компоненты которой вычисляются по формуле

n

 

 

Xs

i m; 1

j k):

(AB)ij = AisBsj; (1

=1

 

 

Таким образом, перемножать матрицы можно только тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя, и у получившейся матрицы будет столько строк, сколько у первого сомножителя, и столько столбцов, сколько у второго сомножителя. Компоненты произведения вычисляются по правилу "строка на столбец": для того, чтобы получить элемент i-й строки

и j-го столбца произведения, надо перемножить первый элемент i-й строки первого сомножителя и первый элемент j-го столбца второго сомножителя, второй элемент i-й строки первого сомножителя и второй элемент j-го столбца второго сомножителя, . . . , n-й элемент i-й строки первого сомножителя и n-ый элемент j-го столбца второго

сомножителя, и сложить все полученные произведения.

Для каждых натуральных m, n через 0m n обозначим матрицу из m строк и n столбцов, все компоненты которой равны 0. Такая мат-

рица называется нулевой. Из контекста обычно ясно, сколько строк и

сколько столбцов в матрице, поэтому, как правило, мы будем писать 0 вместо 0m n, хотя надо всегда помнить, что для каждых m, n своя

нулевая матрица. Более того, в дальнейшем мы будем обозначать нулевую матрицу через 0, а не 0, но пока все же будем использовать

различные символы для нуля кольца и нулевой матрицы.

130

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]