algebra1

(3)две строки матрицы A меняются местами, а остальные элементы матрицы A не меняются.

Аналогично, элементарным преобразованием над столбцами матрицы называется одно из следующих преобразований:

(1)ко всем элементам некоторого столбца матрицы A прибав-

ляются соответствующие элементы другого столбца, умноженные на элемент из поля k, а остальные элементы матрицы A не меняются;

(2)все элементы некоторого столбца матрицы A умножаются на элемент 6= 0 из поля k, а остальные элементы матрицы A не меняются;

(3)два столбца матрицы A меняются местами, а остальные элементы матрицы A не меняются.

2 Приведение матрицы элементарными преобразованиями

Прежде, чем сформулировать основную теорему этого пункта, дадим одно определение. Матрица A 2 km n называется ступенчатой, если

существуют такие числа r, j1; : : : ; jr, ÷òî

0 r m; 1 j1 < : : : < jr n;

èвыполняются условия:

(1)A1j1 = A2j2 = : : : = Arjr = 1;

(2)åñëè s r è i 6= s, òî Aijs = 0;

(3)åñëè i > r, òî Aij = 0 äëÿ âñåõ j, 1 j n;

(4)åñëè i r, j < ji, òî Aij = 0.

Если r = 0, то количество индексов j1; : : : ; jr равно 0, то есть их по- просту нет; в этом случае ступенчатая матрица оказывается нулевой матрицей. Если число строк или число столбцов матрицы равно 0, то все условия выполняются при r = 0, так что матрицы с пустым

множеством строк или столбцов являются ступенчатыми. Равные 1 элементы A1j1 ; : : : ; Arjr называются началами ступенек.

Следующий пример, в котором m = 6, n = 9, r = 4, j1 = 2, j2 = 3, j3 = 6, j4 = 8, иллюстрирует это определение и, можно надеяться, дает полное представление о том, что такое ступенчатая матрица:

141

Отметим, что длины ступенек могут быть различными (в нашем примере они равнялись 1, 3, 2, 2).

Следующее простое утверждение немедленно следует из определения.

Лемма 1. Если к ступенчатой матрице с r 0 ненулевыми стро-

ками приписать справа столбец, у которого все элементы, кроме (r + 1)-го, равны 0, а (r + 1)-й элемент равен 1, то получившаяся

матрица тоже будет ступенчатой.

Теорема 1. Всякую матрицу над полем можно последовательностью элементарных преобразований над строками привести к ступенчатой матрице.

Доказательство. Для всякой матрицы B обозначим через через B[i ] матрицу, составленную из первых i столбцов матрицы B. Индукцией по i докажем следующее утверждение:

( ) Пусть k поле, и пусть A 2 km n. Для всякого j n матрицу A можно последовательностью элементарных преобразований над строками перевести в такую матрицу B, что B[j ] ступенчатая

матрица.

При j = n мы получаем утверждение теоремы; для j = 0 утверждение бессодержательно. Пусть 1 < j n, и матрица A последова-

тельностью элементарных преобразований над строками уже приве- дена к такому виду B, что B[j 1 ] ступенчатая матрица. Обозначим

через s число ступенек (то есть число ненулевых строк) матрицы B[j ]. Åñëè Bij = 0 для всех i > s, то матрица B[j ] уже является ступенчатой, и никаких дополнительных преобразований делать не надо. Если же найдется такое i > s, что элемент Bij отличен от 0, то делаем над строками матрицы B элементарные преобразования

(1) (2) (3)

B ! C ! D ! F;

описания которых мы сейчас дадим.

(1)Умножаем все элементы i-й строки на Bij1; тогда Cij = 1, а все остальные элементы j-го столбца матрицы C такие

же, как у матрицы B.

(2)(На самом деле это не одно, а m 1 элементарное преобразование). Для каждого l 6= i, 1 l m, прибавляем ко всем элементам l-й строки матрицы C соответствующие элементы i-й строки, умноженные на Clj = Blj; â ïî- лучившейся матрице D все элементы Dlj из j-го столбца, кроме элемента Dij = 1, равны 0.

142

(3)Переставляем i-ю и (s + 1)-ю строки; в получившейся матрице F все элементы j-го столбца равны 0, кроме элемента Fs+1; j , который равен 1.

Очевидно, все эти преобразования не затрагивают первые j 1 столбцов матрицы; поэтому F [j 1 ] = B[j 1 ] ступенчатая матрица с s ненулевыми строками. По лемме 1, матрица F [j ], получающаяся из F [j 1] приписыванием справа столбца, все элементы которого, кроме (s+1)-го, равны 0, а (s+1)-й элемент равен 1, тоже является ступен- чатой. Утверждение ( ) доказано; вместе с ним доказана и теорема 1.

Отметим, что доказательство теоремы не только показывает возможность приведения матрицы к ступенчатому виду, но и указывает алгорифм, при помощи которого это можно сделать. Этот алгорифм является одним из важнейших алгорифмов линейной алгебры и используется для решения многих задач. В частности, на этом алгорифме основаны почти все методы решения систем линейных уравнений.

Теорема 2. Всякую матрицу над полем можно последовательностью элементарных преобразований над строками и столбцами при-

вести к виду

Er 0r t 0s r 0s t ;

ãäå Er единичная матрица порядка r 0, а 0r t, 0s r, 0s t нулевые матрицы.

Доказательство. По теореме 1 любую матрицу элементарными преобразованиями над строками можно превратить в ступенчатую матрицу B. Пусть r число ступенек этой матрицы, и пусть

B1j1 = : : : = Brjr = 1

начала этих ступенек, так что 1 j1 < : : : < jr, Bij = 0 ïðè

i > r è Bsjs = 1 единственный ненулевой элемент в js-ì столбце (1 s r). Теперь элементарными преобразованиями над столбца-

ми матрицы "убьем" все остальные элементы первых r строк; точ- нее, для каждого s r и для каждого j > js прибавим ко всем элементам j-го столбца матрицы B соответствующие элементы js-ãî столбца, умноженные на Bsj. В результате получится матрица C, в которой C1j1 = : : : = Crjr = 1, а все остальные элементы равны 0. Остается переставить столбцы матрицы C, чтобы получить матрицу, указанную в формулировке теоремы.

143

x 4: Элементарные матрицы

1 Элементарные матрицы

Как и в предыдущем параграфе, здесь k является фиксированным

полем, и все встречающиеся матрицы будут матрицами с компонентами из k.

Элементарными матрицами над k называются квадратные матрицы одного из видов

в которых ; элементы из k, причем 6= 0, все не отмеченные

недиагональные элементы равны 0, а не отмеченные диагональные элементы равны 1.

Элементарные матрицы первого типа играют особенно важную роль; их называют еще матрицами трансвекций. Если A 2 kn ìàò- рица трансвекции, то существуют индексы i 6= j, 1 i; j n, и

элемент 2 k, такие что Aij = , Ass = 1 äëÿ âñåõ s, Ast = 0 для всех пар (s; t) 6= (i; j), s 6= t; мы будем обозначать эту матрицу трансвек-

ции через Eij( ). Отметим, что Eij(0) = E.

Åñëè A 2 kn элементарная матрица второго типа, то существует индекс i, 1 i n, и элемент 6= 0 из поля k, такие что Aii = , Ajj = 1 ïðè j 6= i, Alj = 0 при l 6= j; поскольку элементарные матрицы второго типа играют меньшую роль, мы не вводим для них специальных обозначений.

Предложение 2. Элементарные преобразования первого и второго типов над строками (столбцами) матрицы получаются умножением этой матрицы слева (соответственно, справа) на элементарные матрицы, а элементарные преобразование третьего типа над строками (столбцами) матрицы умножением матрицы слева (справа) на произведение нескольких элементарных матриц.

Доказательство. Докажем утверждение для элементарных преобразований над строками (для столбцов рассуждения аналогичны). Пусть A матрица с компонентами из k, состоящая из m строк и

n столбцов, и пусть матрица B получена из нее прибавлением ко всем элементам i-й строки матрицы A соответствующих элементов

144

j-й строки, где j 6= i, умноженных на элемент из поля k, так что Bst = Ast, åñëè s 6= i, Bit = Ait + Ajt. Пусть X = Eij( ) 2 km ñîîò- ветствующая элементарная матрица первого типа, так что Xij = , Xss = 1, Xst = 0 при s 6= t, (s; t) 6= (i; j) (1 s; t m). Любой элемент (XA)st матрицы XA равен

потому что при фиксированном s 6= i из элементов Xsl только диаго- нальный элемент Xss отличен от 0, и он равен 1, а среди элементов Xil не равны 0 только Xii = 1 è Xij = . Таким образом, все элементы матрицы XA совпадают с соответствующими элементами матрицы B, то есть B = XA.

Пусть теперь матрица B получена из A умножением всех элементов i-й строки на элемент 6= 0 из поля k, так что Bst = Ast, åñëè s 6= i, Bst = Ast, если s = i (1 s m, 1 t n). Пусть X 2 km элементарная матрица второго типа, полученная из единичной матрицы заменой i-го элемента диагонали на , так что Xii = , Xjj = 1 ïðè j 6= i, à Xst = 0 при s 6= t (1 j; s; t m). Любой элемент (XA)st матрицы XA равен

потому что при фиксированном s из элементов Xsj только диаго- нальный элемент Xss отличен от 0, и он равен 1, если s 6= i, и равенпри s = i. Таким образом, все элементы матрицы XA совпадают с

соответствующими элементами матрицы B, то есть B = XA. Наконец, пусть B получается из A перестановкой i-й и j-й строк,

где i < j; эта операция может быть заменена последовательностью

нескольких элементарных преобразований первых двух типов, как видно из следующей схемы:

Первое и третье из этих элементарных преобразований прибавление к i-й строке j-й строки, то есть умножение слева на матрицу

Eij(1), второе вычитание из j-й строки i-й строки, то есть умножение слева на матрицу Eji( 1), а последнее умножение слева на

145

элементарную матрицу D, которая отличается от единичной матрицы только тем, что j-й элемент ее диагонали равен 1, а не 1. Таким образом,

B = D(Eij(1)(Eji( 1)(Eij(1)A))) = (D Eij(1) Eji( 1) Eij(1))A:

2 Теоремы о приведении в терминах умножений на элементарные матрицы

Поскольку элементарное преобразование над строками матрицы равносильно умножению слева на элементарную матрицу или произведение нескольких элементарных матриц, а элементарное преобразование над столбцами умножению на элементарную матрицу или произведение нескольких элементарных матриц справа, мы можем иначе сформулировать доказанные в предыдущем параграфе теоремы о приведении матриц элементарными преобразованиями.

Теорема 3. Пусть k поле, и пусть A 2 km n. Тогда существу- ют элементарные матрицы T1; : : : ; TN 2 km, такие что матрица T1 : : : TN A ступенчатая матрица, у которой начала всех ступенек равны 1.

Теорема 4. Пусть k поле, и пусть A 2 km n. Тогда существу- ют натуральное число r и элементарные матрицы T1; : : : ; TN 2 km, TN+1; : : : ; TM 2 kn, такие что

x 5: Обратимые матрицы

1 Обратная матрица

В этом параграфе, как и в предыдущих, мы рассматриваем только матрицы с компонентами из некоторого поля k. Матрица B называется обратной к матрице A 2 km n, если AB и BA единичные мат-

рицы. Поскольку число строк матрицы AB равно m, а число столбцов матрицы BA равно n, эти единичные матрицы должны иметь соответственно порядки m и n: AB = Em, BA = En.

Предложение 3. Если для матрицы A 2 km n существует обрат- ная матрица, то только одна.

146

Доказательство. Если B, B1 две обратные к A матрицы, то

AB = AB1 = Em; BA = B1A = En;

и потому B1 = B1Em = B1(AB) = (B1A)B = EnB = B.

Матрица A, у которой есть обратная, называется обратимой, а единственная обратная к ней матрица обозначается A 1.

Предложение 4. (1) Единичная матрица En обратима и совпада- ет со своей обратной матрицей;

(2)если A, B обратимые матрицы, и произведение AB определено, то AB обратимая матрица, причем (AB) 1 = B 1A 1;

(3)если A обратимая матрица, то A 1 тоже обратимая матрица, причем (A 1) 1 = A;

(4)если A обратимая матрица, то A> тоже обратимая матрица, причем (A>) 1 = (A 1)>.

Доказательство. Утверждение (1) очевидно. Если A, B обратимые матрицы, причем произведение AB определено, то

(AB)(B 1A 1) = A(BB 1)A 1 = AEA 1 = AA 1 = E; (B 1A 1)(AB) = B 1(A 1A)B = B 1EB = B 1B = E;

òî åñòü B 1A 1 обратная к AB матрица. Если матрица A обратима, то равенства AA 1 = E, A 1A = E показывают не только то, что A 1 обратная к A матрица, но и что A обратная к A 1 матрица. Наконец, транспонируя равенства AA 1 = E, A 1A = E и пользуясь тем, что, очевидно, E> = E, получим соотношения

(A 1)>A> = E> = E; A>(A 1)> = E> = E;

которые показывают, что у матрицы A> есть обратная матрица (A 1)>.

Мы постоянно будем пользоваться, даже не упоминая об этом, следующими простыми фактами.

Предложение 5. (1) Если X1; : : : ; Xn обратимые матрицы, то матрица X1 : : : Xn обратима, причем (X1 : : : Xn) 1 = Xn 1 : : : X1 1

(2) Пусть X; Y обратимые матрицы, а A; B такие матрицы, что B = XA, или B = AY , или B = XAY . Тогда A = X 1B (соответственно, A = BY 1, B = X 1AY ).

Доказательство. Первое утверждение получается из утверждения

(2) предложения 4 простой индукцией; докажем второе утверждение. Пусть A; B 2 km n, и пусть B = XAY . Тогда

A = EmAEn = (X 1X)A(Y Y 1) = X 1(XAY )Y 1 = X 1BY 1:

Остальные два соотношения получаются аналогично.

147

Предложение 6. Элементарные матрицы обратимы, причем обратные к ним матрицы являются элементарными матрицами того же типа.

Доказательство. Элементарные матрицы первого и второго типов

являются, как легко проверить, обратными к элементарным матрицам первого и второго типов

(здесь ; 2 k, 6= 0).

Предложение 7. Если у матрицы A есть нулевая строчка или нулевой столбец, то матрица A необратима.

Доказательство. Пусть i-я строка матрицы A состоит только из нулей. Тогда для любой матрицы B i-я строка произведения AB тоже нулевая, и поэтому произведение AB не может быть единичной мат-

рицей, у которой каждая строка содержит ненулевой элемент. Следовательно, матрица A необратима. Точно так же, если j-й столбец

матрицы A нулевой, то для любой матрицы B j-й столбец матрицы BA нулевой, и BA 6= E, так что для A нет обратной матрицы.

2 Представление матрицы в виде произведения

элементарных матриц и расширения единичной матрицы

Теорема 5. Пусть k поле. Всякая матрица A 2 km n предста- âèìà â âèäå

Er 0r t

A = UN : : : U1 0s r 0s t UM : : : UN+1;

148

ãäå U1; : : : ; UN 2 km, UN+1; : : : ; UM 2 kn элементарные матрицы, s + r = m, t + r = n.

Доказательство. По теореме 4 существуют такое натуральное число r и такие элементарные матрицы T1; : : : ; TN 2 km, TN+1; : : : ; TM 2 kn,

где через s и t обозначены разности m r, n r. Матрицы Uj = Tj 1 тоже элементарные, и из предложения 5 сразу следует, что

Следствие. Пусть k поле. Всякая матрица A 2 km n предста-

Доказательство. Достаточно в обозначениях предыдущей теоремы положить

X = UN : : : U1; Y = UM : : : UN+1

и заметить, что произведение элементарных, а значит, обратимых матриц обратимая матрица.

3 Критерий обратимости матрицы

В последующих главах мы увидим, что обратимость матрицы равносильна многим разнообразным условиям, формулируемым в совершенно различных терминах. Сейчас мы укажем одно из таких условий.

Теорема 6. Пусть k поле. Матрица A 2 km n обратима тогда и только тогда, когда m = n и матрица A является произведением элементарных матриц.

Доказательство. Все элементарные матрицы обратимы, а потому их произведение тоже обратимая матрица. Обратно, пусть матрица A обратима. По теореме 4 существуют такое натуральное число r и

такие элементарные, а потому обратимые матрицы T1; : : : ; TN 2 km,

TN+1; : : : ; TM 2 kn, ÷òî

Er 0r t

T1 : : : TN ATN+1 : : : TM = 0s r 0s t ;

149

где через s и t обозначены разности m r, n r. Все сомножители этого произведения обратимы; значит, обратимо и само произведение

Er 0r t

0s r 0s t = XAY:

Но если s 6= 0 или t 6= 0, то в последней матрице есть нулевая строчка

или нулевой столбец, и по предложению 7 она не обратима. Следовательно, s = t = 0, и потому m = r = n. Таким образом,

T1 : : : TN ATN+1 : : : TM = E;

откуда получаем, что

A = TN 1 : : : T1 1ETM1 : : : TN+11 = TN 1 : : : T1 1TM1 : : : TN+11 :

Остается заметить, что матрицы Tj 1, обратные к элементарным мат- рицам Tj, сами являются элементарными.

4 Вычисление обратной матрицы

Опираясь на изложенные выше идеи, укажем алгорифм, позволяющий выяснить, обратима ли квадратная матрица, и если она обратима, то и найти обратную.

Пусть A квадратная матрица порядка n над некоторым полем. Припишем к ней справа единичную матрицу порядка n и получившуюся матрицу

B = A j E

элементарными преобразованиями над строками приведем к ступен- чатой матрице D, у которой начала всех ступенек равны 1. Матрицу

D тоже разобьем на два квадратных блока:

D = U j V :

Каждое элементарное преобразование над строками матрицы B сво-

дится к умножению слева на элементарную матрицу или произведение элементарных матриц, а вся последовательность элементарных преобразований, переводящих матрицу B в матрицу D, к умноже-

нию на произведение X этих элементарных матриц. Таким образом,

U j V = D = XB = X A j E = XA j XE ;

откуда следует, что U = XA, V = XE = X. Но произведение X

элементарных матриц является обратимой матрицей; из равенства U = XA мы теперь получаем, что A = X 1U = V 1U. Возможны

два случая.

150