algebra1

и эта сумма осмыслена, потому что все слагаемые 0 v, v 6= v1; : : : ; vn,

P

являются нулевыми векторами. Таким образом, u = v2S bvv, ãäå bv = ai, åñëè v = vi, 1 i n, è bv = 0, åñëè v 6= v1; : : : ; vn; ïðè

этом в предыдущей сумме почти все слагаемые (то есть все, кроме конечного числа) равны 0, так что она имеет смысл. Поэтому

Предложение 4. Линейная оболочка любого подмножества векторного пространства является подпространством этого пространства.

Доказательство. Пусть V векторное пространство над полем k, и пусть S V . Если u; v 2<S>, то существуют натуральные числа m; n, векторы u1; : : : ; um; v1; : : : ; vn 2 S и элементы a1; : : : ; am; b1; : : : ; bn

из поля k, такие что

u = a1u1 + : : : + amum; v = b1v1 + : : : + bnvn:

Тогда для любого a 2 k вектор

au + v = a(a1u1 + : : : + amum) + (b1v1 + : : : + bnvn) =

= (aa1)u1 + : : : + (aam)um + b1v1 + : : : + bnvn

является линейной комбинацией векторов u1; : : : ; um; v1; : : : ; vn 2 S и потому принадлежит линейной оболочке < S > множества S. По предложению 3 отсюда следует, что <S> подпространство V.

Отметим одно тривиальное свойство линейных оболочек, которое является по существу переформулировкой транзитивности линейных комбинаций и которым мы постоянно будем пользоваться, часто не ссылаясь на него явно.

Предложение 5. Пусть V векторное пространство над полем k, и пусть S; T два подмножества V. Если множество T содержится в линейной оболочке < S > множества S, то и линейная оболочка <T> множества T содержится в <S>.

В самом деле, всякий элемент из <T> является линейной комбинацией нескольких элементов из T , каждый из которых линейная комбинация элементов из S, так что, по транзитивности линейных комбинаций, каждый элемент из <T > является линейной комбинацией элементов множества S, то есть элементом линейной оболочки

<S>.

171

Мы говорим, что подмножество S пространства V порождает V, или что множество S является порождающим пространство V множеством, если <S >= V . Отметим, что если множество S V порождает пространство V, то и любое содержащее S множество T V тоже порождает V. Если в пространстве V найдется конечное подмно-

жество, порождающее это пространство, то мы говорим, что пространство V конечно порождено. В частности, линейная оболочка

<S> множества S V порождается множеством S, и в случае конечного S эта линейная оболочка является конечно порожденным подпространством пространства V (хотя само пространство V может и не быть конечно порожденным).

6 Линейная зависимость и независимость

Пусть V векторное пространство над полем k. Подмножество L пространства V называется линейно независимым, если ни один вектор из L не является линейной комбинацией остальных векторов из L. Иначе говоря, множество L V линейно независимо тогда и только тогда, когда для любого вектора v 2 L выполнено соотношение v 2=<L n fvg>. Множество L V называется линейно зависимым,

если оно не является линейно независимым, то есть если существует вектор v 2 L, являющийся линейной комбинацией других векторов

из L. Иначе говоря, множество L линейно зависимо, если в нем найдется вектор V, такой что v 2<L n fvg>

Заметим, что по этому определению пустое множество векторов линейно независимо: ни один из векторов, принадлежащих ему, не является линейной комбинацией остальных векторов, потому что принадлежащих пустому множеству векторов попросту нет. Семейство, состоящее из единственного вектора v 2 V, линейно независимо тогда

и только тогда, когда этот вектор не представляет собой линейную комбинацию пустого множества векторов, то есть когда v 6= 0.

Следующее простое утверждение будет неоднократно нами использоваться.

Предложение 6. Пусть V векторное пространство над полем k, и пусть S подмножество V, а w не принадлежащий S вектор из V. Если множество S линейно независимо, а множество S [fwg линейно зависимо, то w 2<S>.

Доказательство. Поскольку множество S [ fwg линейно зависимо, существует вектор u 2 S [fwg, такой что u 2<(S [fwg) nfug>. Если u = w, то сразу получаем, что вектор w = u принадлежит линейной оболочке множества (S [ fwg) n fug = (S [ fug) n fug = S. Если же u 6= w, то u 2 S. Поскольку вектор u принадлежит линейной

172

оболочке множества (S [ fwg) n fug, он представляется в виде

v2Snfug

7 Базисы пространства

Пусть V векторное пространство над полем k. Выше мы опреде-

лили, что такое линейно независимое подмножество и порождающее подмножество. Из самого определения этих понятий ясно, что всякое подмножество линейно независимого множества линейно независимо, и всякое надмножество порождающего множества тоже является порождающим множеством. Поэтому естественно рассматривать "самые большие" линейно независимые множества и "самые маленькие" порождающие множества. Дадим более точные определения.

Линейно независимое подмножество S пространства V называется максимальным линейно независимым подмножеством V, если всякое содержащее его и не равное ему подмножество V уже не является линейно независимым. Аналогично, подмножество S пространства V,

порождающее это пространство, называется минимальным порождающим подмножеством V, если всякое содержащееся в S и не равное S

множество уже не порождает пространство V. Иначе говоря, линейно независимое подмножество пространства V называется максимальным линейно независимым подмножеством V, если при добавлении к нему любого не принадлежащего ему вектора из V получающееся множество уже линейно зависимо; аналогично, порождающее V множество называется минимальным порождающим подмножеством V,

если при выбрасывании из него любого вектора остающееся множество уже не порождает V.

Теорема 2. Пусть V векторное пространство над полем k, и пусть B подмножество V. Следующие условия равносильны:

(1)B максимальное линейно независимое подмножество пространства V;

(2)B минимальное порождающее подмножество пространства V;

(3)B линейно независимое подмножество V, порождающее пространство V.

173

Доказательство. (1))(2). Пусть B максимальное линейно независимое подмножество V, и пусть v 2 V ; если v 2 B, то тем более v принадлежит линейной оболочке множества B. Если же v 2= B, то множество векторов B [fvg линейно зависимо (потому что B мак-

симальное линейно независимое подмножество), и по предложению 6 вектор v снова принадлежит линейной оболочке множества B. Итак,

линейная оболочка множества B содержит все векторы из V, а это значит, что B порождает пространство V.

Покажем теперь, что B минимальное порождающее множество.

В самом деле, пусть B0 подмножество B, не равное B; тогда существует вектор v 2 B, не принадлежащий множеству B0. Поскольку множество B линейно независимо, вектор v не принадлежит линейной оболочке множества B n fvg и тем более он не принадлежит линейной оболочке множества B0 B n fvg. Таким образом, не все пространство V содержится в линейной оболочке множества B0, à это значит, что B0 не является порождающим множеством для пространства V.

(2))(3). Пусть B минимальное порождающее множество, и пусть v 2 B, B0 = B n fvg. Если бы вектор v принадлежал линейной оболочке множества B0, то все множество B = B0 [ fvg содержалось бы в линейной оболочке множества B0, а значит, мы бы получили по предложению 5, что V =<B> <B0>. Поскольку обратное включе- ние очевидно, множество B0 было бы тогда порождающим пространство V множеством, а это противоречит минимальности порождающего множества B. Полученное противоречие показывает, что ни один вектор v 2 B не принадлежит линейной оболочке его дополнения Bnfvg в множестве B, а это значит, что B линейно независимое множество.

(3))(1). Пусть B линейно независимое порождающее простран-

ство V подмножество V. Пусть B0 подмножество V, содержащее B и не равное B. Тогда существует вектор v 2 B0, v 2= B. Поскольку Bпорождающее V множество, вектор v принадлежит линейной обо-

лочке множества B, и тем более он принадлежит линейной оболочке множества B0 nfvg. Следовательно, множество B0 линейно зависимо. Итак, никакое строго содержащее B подмножество V не может быть линейно независимым, а это значит, что B максимальное линейно независимое подмножество V.

Подмножество B пространства V, удовлетворяющее любому из

требований (1), (2), (3) только что доказанной теоремы (а значит, и всем этим требованиям), называется базисом V.

Теорему 2 можно частично усилить: оказывается, базисами являются не только максимальные из всех линейно независимых подмножеств и минимальные из всех порождающих подмножеств простран-

174

ства, но и максимальные только из тех линейно независимых множеств и минимальные только из тех порождающих множеств, которые удовлетворяют дополнительным условиям: они содержат некоторое фиксированное линейно независимое подмножество и содержатся в некотором фиксированном порождающем пространство множестве.

Предложение 7. Пусть L S подмножества векторного пространства V над полем k, причем множество L линейно независимо, а множество S порождает пространство V. Если B такое линейно независимое подмножество V, что L B S, но всякое подмножество S, строго содержащее B, уже линейно зависимо, то B базис V.

Доказательство. По условию предложения множество B линейно независимо, так что остается показать, что B порождающее мно-

жество. Для этого достаточно проверить, что порождающее пространство V множество S содержится в линейной оболочке множе-

ства B. Но это действительно так: если v 2 B, то, конечно, v 2<B>, а если v 2 S, v 2= B, то L B ( B [ fvg S, так что множество B [ fvg линейно зависимо, откуда по предложению 6 получаем, что снова v 2<B>.

Из доказанного предложения вытекают теоремы о существовании базисов, обладающих теми или иными свойствами, в любом векторном пространстве. Однако, в общем случае для этого требуется та или иная форма трансфинитной индукции, и мы приведем эти доказательства в одной из следующих глав. Для конечно порожденных пространств доказательство проще, и мы дадим его в следующих пунктах.

8 Теорема о линейной зависимости линейных комбинаций

Важную роль в доказательствах существования базисов конечно порожденного пространства и равномощности всех таких базисов играет следующая теорема.

Теорема 3. Пусть V векторное пространство над полем k, и пусть S конечное подмножество V. Если T линейно независимое подмножество линейной оболочки множества S, то множество T конечно и число элементов множества T не больше числа элементов множества S.

Доказательство. Сначала индукцией по i докажем лемму.

175

Лемма 2. Для любых различных векторов u1; : : : ; ui 2 T найдется такое подмножество Ri множества S, состоящее из i различных векторов, что множество Si = fu1; : : : ; uig [ (S n Ri) порождает V.

Доказательство. Для i = 0 утверждение бессодержательно. Пусть i > 0 и уже построены множества Ri, Si. Любой вектор ui+1 2 T , îò- личный от векторов u1; : : : ; ui, принадлежит линейной оболочке мно- жества Si и потому представим в виде

Но он не является линейной комбинацией векторов u1; : : : ; ui, потому что содержащее все эти векторы множество T линейно независимо. Следовательно, найдется такой вектор w 2 S n Ri, ÷òî bw 6= 0. Положим Ri+1 = Ri [ fwg, Si+1 = fu1; : : : ; ui; ui+1g [ (S n Ri+1). Тогда получаем, что вектор

X

w = bw1 ui+1 a1u1 : : : aiui bvv

v2SnRi+1

принадлежит линейной оболочке множества Si+1. Поскольку множе- ñòâî Si+1 получается из множества Si заменой вектора w на вектор ui+1, остальные векторы из Si тоже принадлежат линейной оболочке множества Si+1, и потому V =<Si > <Si+1 >, так что подмножество Si+1 пространства V порождает V . Этим доказательство леммы завершено.

Вернемся к доказательству теоремы. Пусть n число элементов конечного множества S. Ясно, что все множества Si из леммы со- стоят, как и множество S, из n элементов. Если бы в множестве T нашлось n + 1 различных векторов, то мы пришли бы к противоре- чию: множество Sn+1, состоящее из n элементов, не может содержать n + 1 различных векторов u1; : : : ; un+1.

Иногда бывает удобно использовать вместо этой теоремы противоположную ей теорему.

Теорема 4 (о линейной зависимости линейных комбинаций).

Пусть V векторное пространство над полем k, и пусть S конечное подмножество V. Если множество T содержится в линейной оболочке множества S и если в T больше элементов, чем в S (в частности, если T бесконечное множество), то множество T линейно зависимо.

176

9 Существование базиса конечно порожденного пространства

Сформулированные в этом пункте утверждения верны для произвольных пространств; но, как мы уже упомянули выше, для их доказательства в общем случае требуется та или иная форма трансфинитной индукции, и мы пока ограничимся случаем конечно порожденных пространств, то есть таких пространств, в которых есть конечное порождающее подмножество

Теорема 5. Пусть V конечно порожденное векторное пространство над полем k. Далее, пусть L линейно независимое подмножество V, а S порождающее V подмножество, содержащее L (не обязательно конечное). Тогда в пространстве V существует такой конечный базис B, что L B S.

Доказательство. Пусть S0 конечное подмножество V , порождающее пространство V (такое подмножество существует, потому что пространство конечно порождено), и пусть n число элементов мно-

жества S0. Åñëè L0 любое линейно независимое подмножество V, то, поскольку L0 содержится в линейной оболочке V множества S0, число элементов множества L0 не превосходит n (теорема 3). В част-

ности, множество L конечно.

Рассмотрим множество B всех линейно независимых подмножеств B0 множества S, содержащих множество L. Это множество непусто; например, его элементом является множество L. Всякое множество B0 2 B конечно и состоит не более чем из n элементов. Следовательно, множество порядков множеств из B непусто и ограничено сверху числом n. Поэтому среди этих порядков есть наибольший порядок m. Пусть B множество из B, на котором достигается этот наибольший порядок. Таким образом, jBj = m, и если D ) B подмножество S, то число элементов в D больше m, поэтому D 2= B, а это значит, что множество D линейно зависимо. По предложению 7 отсюда следует, что B базис пространства V.

Следствие. Пусть V конечно порожденное векторное пространство над полем k. Тогда:

(1)в пространстве V есть хотя бы один базис;

(2)åñëè S0 порождающее V подмножество V, то существует базис пространства V, содержащийся в S0;

(3)åñëè L0 линейно независимое подмножество V, то существует базис пространства V, содержащий L0.

Доказательство. Для доказательства утверждений (1), (2), (3) достаточно положить в теореме 5 соответственно

L = ;; S = S0; L = ;; S = S0; L = L0; S = L0 [ S0

177

(здесь, как и в доказательстве теоремы 5, S0 какое-то конечное множество, порождающее пространство V ).

10 Равномощность базисов. Размерность пространства

В векторном пространстве, вообще говоря, много различных базисов (исключение составляют только два пространства: пространство, состоящее только из нулевого вектора, в котором единственный базиспустое множество, и пространство над полем из двух элементов, состоящее из нулевого вектора и единственного ненулевого вектора, который и образует единственный базис этого пространства). Однако, количество элементов в базисе всегда одно и то же.

Теорема 6. Пусть V конечно порожденное векторное простран- ство над полем k, и пусть B1, B2 его базисы. Тогда количества элементов в базисах B1, B2 одинаковы.

Доказательство. Пусть n1 = jB1j, n2 = jB2j. Линейно независимое множество B1, состоящее из n1 элементов, содержится в линейной оболочке V множества B2, состоящего из n2 элементов; поэтому по теореме 3 выполняется неравенство n1 n2. Меняя в этом рассуж- дении ролями базисы B1 è B2, докажем, что n2 n1. Èòàê, n1 = n2, что и требовалось.

Число элементов в базисе конечно порожденного пространства V называется размерностью V и обозначается dim V; как мы только что

видели, оно не зависит от выбора базиса. Иногда одно и то же множество рассматривается как векторное пространство над разными полями; в таких случаях размерность V как векторного простран-

ства над полем k обозначают через dimk V.

Всякое пространство конечной размерности n порождается своим базисом, состоящим из n элементов; поэтому оно конечно порождено.

Обратно, у всякого конечно порожденного пространства размерность конечна. Поэтому конечно порожденное пространство это то же самое, что пространство конечной размерности; такие пространства называются конечномерными. В дальнейшем мы, как правило, не будем употреблять термин "конечно порожденное пространство", а вместо этого будем говорить о "конечномерных пространствах".

Из следствия теоремы 5 сразу вытекают следующие утверждения.

Предложение 8. Пусть V конечномерное пространство над полем k.

(1) Если конечное множество S V порождает пространство V, то jSj dim V ; если при этом jSj = dim V , то S базис V.

178

(2) Если L линейно независимое подмножество V, то L конечно и jLj dim V ; если при этом jLj = dim V , то L базис V.

Доказательство. (1). По следствию теоремы 5 порождающее V множество S содержит в качестве подмножества некоторый базис B пространства V, поэтому jSj jBj = dim V . Если при этом число элементов множества S равно числу элементов dim V его подмножества B, то S = B, то есть S является базисом V.

(2). По следствию теоремы 5 существует базис B пространства V, содержащий линейно независимое множество L, поэтому число элементов множества L не больше, чем jBj = dim V . Если при этом L = dim V = jBj, то L = B, то есть L является базисом V.

Следствие. Пусть V конечномерное пространство над полем k и пусть U его подпространство. Тогда dim U dim V . Если при этом dim U = dim V , то U = V .

Доказательство. Всякий базис B пространства U является линейно независимым подмножеством пространства V, поэтому

dim U = jBj dim V:

Если при этом dim U = dim V , то число элементов линейно независимого подмножества B пространства V равно dim V , и потому B базис V; следовательно, V является линейной оболочкой множества B, которая равна U, потому что B базис U.

11 Примеры базисов пространств

В этом пункте мы укажем базисы нескольких векторных пространств, которые у нас уже встречались. Некоторые из этих пространств, как мы увидим, обладают конечным базисом, и поэтому мы одновременно вычислим их размерность.

1. Базисом трехмерного вещественного пространства "геометри-

ческих" векторов, которое изучается в курсах геометрии и анализа, является множество, состоящее из трех векторов ~ ~ ~

i; j; k: эти векторы

не компланарны и потому линейно независимы, и известно, что всякий вектор их линейная комбинация. Таким образом, размерность этого пространства равна 3. Любая тройка некомпланарных векторов линейно независима, и поскольку число векторов в ней равно размерности пространства, она составляет базис.

2. Любое поле k, рассматриваемое как векторное пространство

над самим собой, имеет размерность 1. Действительно, множество, единственным элементом e которого является единица 1 поля k, ли-

нейно независимо, потому что e = 1 6= 0, и всякий элемент a 2 k

179

является произведением e на элемент a поля k. Как и в предыдущем примере, убеждаемся, что всякий ненулевой элемент поля k составляет базис этого пространства.

3. В поле комплексных чисел C, рассматриваемом, как векторное пространство над полем вещественных чисел R, множество f1; ig является базисом. В самом деле, ни для каких вещественных чисел a; b не выполняются равенства 1 = ai, i = a 1, поэтому ни одно из чи- сел 1; i не принадлежит вещественной линейной оболочке множества, порожденного другим числом, так что f1; ig линейно независимое над R множество. С другой стороны, всякое комплексное число имеет вид a 1 + bi, и значит, принадлежит линейной оболочке этого множества. Таким образом, dimR C = 2. Отметим, что из предыдущего примера мы знаем, что dimC C = 1.

4. Легко убедиться (мы опускаем подробности), что в теле кватернионов H, рассматриваемом как векторное пространство над полем

вещественных чисел R, четверка кватернионных единиц f1; i; j; kg составляет базис. Таким образом, dimH R = 4. Отождествляя кватернионы вида a + bi с вещественными a и b с соответствующими комплексными числами a + bi 2 C, мы можем считать, что C подполе тела кватернионов H, и потому H может рассматриваться как векторное пространство над полем C. Кватернионы 1; j составляют его базис, поэтому dimH C = 2.1

5. Кольцо многочленов k[x] над полем k является векторным пространством над k, и множество f1; x; x2; : : : ; xn; : : : g всех степеней x

составляет его базис. Действительно, любой многочлен является линейной комбинацией степеней x, и ни для какого n многочлен xn íå

является линейной комбинацией многочленов xi, i 6= n, òàê êàê êî- эффициент при xn в любой такой комбинации равен 0. Поскольку указанный базис k[x] бесконечен, векторное пространство многочленов k[x] не является конечномерным пространством над k.

6. Пусть k алгебраически замкнутое поле. Множество дробнорациональных функций

fxn j n 0g [ 1 a 2 k; m 1 (x a)m

составляет базис поля рациональных функций k(x), рассматриваемого как векторное пространство над полем k. Действительно, всякая дробно-рациональная функция является суммой многочлена и

1Умножение комплексных чисел на кватернионы можно определить двумя способами умножение слева и умножение справа; поскольку тело кватернионов некоммутативно, мы получаем два различных пространства над полем комплексных чисел. Однако, множество кватернионов f1; jg является базисом обоих

этих пространств.

180