Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

algebra1

.pdf
Скачиваний:
22
Добавлен:
21.03.2016
Размер:
1.92 Mб
Скачать

и эта сумма осмыслена, потому что все слагаемые 0 v, v 6= v1; : : : ; vn,

P

являются нулевыми векторами. Таким образом, u = v2S bvv, ãäå bv = ai, åñëè v = vi, 1 i n, è bv = 0, åñëè v 6= v1; : : : ; vn; ïðè

этом в предыдущей сумме почти все слагаемые (то есть все, кроме конечного числа) равны 0, так что она имеет смысл. Поэтому

 

X

 

bv 2k äëÿ âñåõ v 2S;

 

<S>=

bvv

 

bv =0 для почти всех v 2S :

 

v2S

 

 

 

 

 

 

Предложение 4. Линейная оболочка любого подмножества векторного пространства является подпространством этого пространства.

Доказательство. Пусть V векторное пространство над полем k, и пусть S V . Если u; v 2<S>, то существуют натуральные числа m; n, векторы u1; : : : ; um; v1; : : : ; vn 2 S и элементы a1; : : : ; am; b1; : : : ; bn

из поля k, такие что

u = a1u1 + : : : + amum; v = b1v1 + : : : + bnvn:

Тогда для любого a 2 k вектор

au + v = a(a1u1 + : : : + amum) + (b1v1 + : : : + bnvn) =

= (aa1)u1 + : : : + (aam)um + b1v1 + : : : + bnvn

является линейной комбинацией векторов u1; : : : ; um; v1; : : : ; vn 2 S и потому принадлежит линейной оболочке < S > множества S. По предложению 3 отсюда следует, что <S> подпространство V.

Отметим одно тривиальное свойство линейных оболочек, которое является по существу переформулировкой транзитивности линейных комбинаций и которым мы постоянно будем пользоваться, часто не ссылаясь на него явно.

Предложение 5. Пусть V векторное пространство над полем k, и пусть S; T два подмножества V. Если множество T содержится в линейной оболочке < S > множества S, то и линейная оболочка <T> множества T содержится в <S>.

В самом деле, всякий элемент из <T> является линейной комбинацией нескольких элементов из T , каждый из которых линейная комбинация элементов из S, так что, по транзитивности линейных комбинаций, каждый элемент из <T > является линейной комбинацией элементов множества S, то есть элементом линейной оболочки

<S>.

171

Мы говорим, что подмножество S пространства V порождает V, или что множество S является порождающим пространство V множеством, если <S >= V . Отметим, что если множество S V порождает пространство V, то и любое содержащее S множество T V тоже порождает V. Если в пространстве V найдется конечное подмно-

жество, порождающее это пространство, то мы говорим, что пространство V конечно порождено. В частности, линейная оболочка

<S> множества S V порождается множеством S, и в случае конечного S эта линейная оболочка является конечно порожденным подпространством пространства V (хотя само пространство V может и не быть конечно порожденным).

6 Линейная зависимость и независимость

Пусть V векторное пространство над полем k. Подмножество L пространства V называется линейно независимым, если ни один вектор из L не является линейной комбинацией остальных векторов из L. Иначе говоря, множество L V линейно независимо тогда и только тогда, когда для любого вектора v 2 L выполнено соотношение v 2=<L n fvg>. Множество L V называется линейно зависимым,

если оно не является линейно независимым, то есть если существует вектор v 2 L, являющийся линейной комбинацией других векторов

из L. Иначе говоря, множество L линейно зависимо, если в нем найдется вектор V, такой что v 2<L n fvg>

Заметим, что по этому определению пустое множество векторов линейно независимо: ни один из векторов, принадлежащих ему, не является линейной комбинацией остальных векторов, потому что принадлежащих пустому множеству векторов попросту нет. Семейство, состоящее из единственного вектора v 2 V, линейно независимо тогда

и только тогда, когда этот вектор не представляет собой линейную комбинацию пустого множества векторов, то есть когда v 6= 0.

Следующее простое утверждение будет неоднократно нами использоваться.

Предложение 6. Пусть V векторное пространство над полем k, и пусть S подмножество V, а w не принадлежащий S вектор из V. Если множество S линейно независимо, а множество S [fwg линейно зависимо, то w 2<S>.

Доказательство. Поскольку множество S [ fwg линейно зависимо, существует вектор u 2 S [fwg, такой что u 2<(S [fwg) nfug>. Если u = w, то сразу получаем, что вектор w = u принадлежит линейной оболочке множества (S [ fwg) n fug = (S [ fug) n fug = S. Если же u 6= w, то u 2 S. Поскольку вектор u принадлежит линейной

172

оболочке множества (S [ fwg) n fug, он представляется в виде

 

X

( b; av 2 k;

 

u = bw +

avv

почти все av равны 0):

 

v2Snfug

 

 

 

àP

При этом b 6= 0: иначе элемент u =

,

 

avv принадлежал бы ли-

нейной оболочке множества

 

S n fug

v2Snfug

 

 

это противоречит линейной

 

 

 

 

 

независимости множества S. Следовательно,

 

w = b 1u

X

 

 

 

b 1avv 2<S> :

v2Snfug

7 Базисы пространства

Пусть V векторное пространство над полем k. Выше мы опреде-

лили, что такое линейно независимое подмножество и порождающее подмножество. Из самого определения этих понятий ясно, что всякое подмножество линейно независимого множества линейно независимо, и всякое надмножество порождающего множества тоже является порождающим множеством. Поэтому естественно рассматривать "самые большие" линейно независимые множества и "самые маленькие" порождающие множества. Дадим более точные определения.

Линейно независимое подмножество S пространства V называется максимальным линейно независимым подмножеством V, если всякое содержащее его и не равное ему подмножество V уже не является линейно независимым. Аналогично, подмножество S пространства V,

порождающее это пространство, называется минимальным порождающим подмножеством V, если всякое содержащееся в S и не равное S

множество уже не порождает пространство V. Иначе говоря, линейно независимое подмножество пространства V называется максимальным линейно независимым подмножеством V, если при добавлении к нему любого не принадлежащего ему вектора из V получающееся множество уже линейно зависимо; аналогично, порождающее V множество называется минимальным порождающим подмножеством V,

если при выбрасывании из него любого вектора остающееся множество уже не порождает V.

Теорема 2. Пусть V векторное пространство над полем k, и пусть B подмножество V. Следующие условия равносильны:

(1)B максимальное линейно независимое подмножество пространства V;

(2)B минимальное порождающее подмножество пространства V;

(3)B линейно независимое подмножество V, порождающее пространство V.

173

Доказательство. (1))(2). Пусть B максимальное линейно независимое подмножество V, и пусть v 2 V ; если v 2 B, то тем более v принадлежит линейной оболочке множества B. Если же v 2= B, то множество векторов B [fvg линейно зависимо (потому что B мак-

симальное линейно независимое подмножество), и по предложению 6 вектор v снова принадлежит линейной оболочке множества B. Итак,

линейная оболочка множества B содержит все векторы из V, а это значит, что B порождает пространство V.

Покажем теперь, что B минимальное порождающее множество.

В самом деле, пусть B0 подмножество B, не равное B; тогда существует вектор v 2 B, не принадлежащий множеству B0. Поскольку множество B линейно независимо, вектор v не принадлежит линейной оболочке множества B n fvg и тем более он не принадлежит линейной оболочке множества B0 B n fvg. Таким образом, не все пространство V содержится в линейной оболочке множества B0, à это значит, что B0 не является порождающим множеством для пространства V.

(2))(3). Пусть B минимальное порождающее множество, и пусть v 2 B, B0 = B n fvg. Если бы вектор v принадлежал линейной оболочке множества B0, то все множество B = B0 [ fvg содержалось бы в линейной оболочке множества B0, а значит, мы бы получили по предложению 5, что V =<B> <B0>. Поскольку обратное включе- ние очевидно, множество B0 было бы тогда порождающим пространство V множеством, а это противоречит минимальности порождающего множества B. Полученное противоречие показывает, что ни один вектор v 2 B не принадлежит линейной оболочке его дополнения Bnfvg в множестве B, а это значит, что B линейно независимое множество.

(3))(1). Пусть B линейно независимое порождающее простран-

ство V подмножество V. Пусть B0 подмножество V, содержащее B и не равное B. Тогда существует вектор v 2 B0, v 2= B. Поскольку Bпорождающее V множество, вектор v принадлежит линейной обо-

лочке множества B, и тем более он принадлежит линейной оболочке множества B0 nfvg. Следовательно, множество B0 линейно зависимо. Итак, никакое строго содержащее B подмножество V не может быть линейно независимым, а это значит, что B максимальное линейно независимое подмножество V.

Подмножество B пространства V, удовлетворяющее любому из

требований (1), (2), (3) только что доказанной теоремы (а значит, и всем этим требованиям), называется базисом V.

Теорему 2 можно частично усилить: оказывается, базисами являются не только максимальные из всех линейно независимых подмножеств и минимальные из всех порождающих подмножеств простран-

174

ства, но и максимальные только из тех линейно независимых множеств и минимальные только из тех порождающих множеств, которые удовлетворяют дополнительным условиям: они содержат некоторое фиксированное линейно независимое подмножество и содержатся в некотором фиксированном порождающем пространство множестве.

Предложение 7. Пусть L S подмножества векторного пространства V над полем k, причем множество L линейно независимо, а множество S порождает пространство V. Если B такое линейно независимое подмножество V, что L B S, но всякое подмножество S, строго содержащее B, уже линейно зависимо, то B базис V.

Доказательство. По условию предложения множество B линейно независимо, так что остается показать, что B порождающее мно-

жество. Для этого достаточно проверить, что порождающее пространство V множество S содержится в линейной оболочке множе-

ства B. Но это действительно так: если v 2 B, то, конечно, v 2<B>, а если v 2 S, v 2= B, то L B ( B [ fvg S, так что множество B [ fvg линейно зависимо, откуда по предложению 6 получаем, что снова v 2<B>.

Из доказанного предложения вытекают теоремы о существовании базисов, обладающих теми или иными свойствами, в любом векторном пространстве. Однако, в общем случае для этого требуется та или иная форма трансфинитной индукции, и мы приведем эти доказательства в одной из следующих глав. Для конечно порожденных пространств доказательство проще, и мы дадим его в следующих пунктах.

8 Теорема о линейной зависимости линейных комбинаций

Важную роль в доказательствах существования базисов конечно порожденного пространства и равномощности всех таких базисов играет следующая теорема.

Теорема 3. Пусть V векторное пространство над полем k, и пусть S конечное подмножество V. Если T линейно независимое подмножество линейной оболочки множества S, то множество T конечно и число элементов множества T не больше числа элементов множества S.

Доказательство. Сначала индукцией по i докажем лемму.

175

Лемма 2. Для любых различных векторов u1; : : : ; ui 2 T найдется такое подмножество Ri множества S, состоящее из i различных векторов, что множество Si = fu1; : : : ; uig [ (S n Ri) порождает V.

Доказательство. Для i = 0 утверждение бессодержательно. Пусть i > 0 и уже построены множества Ri, Si. Любой вектор ui+1 2 T , îò- личный от векторов u1; : : : ; ui, принадлежит линейной оболочке мно- жества Si и потому представим в виде

 

v2XnRi

ui+1 = a1u1 + : : : + aiui +

bvv (aj; bv 2 k):

 

S

Но он не является линейной комбинацией векторов u1; : : : ; ui, потому что содержащее все эти векторы множество T линейно независимо. Следовательно, найдется такой вектор w 2 S n Ri, ÷òî bw 6= 0. Положим Ri+1 = Ri [ fwg, Si+1 = fu1; : : : ; ui; ui+1g [ (S n Ri+1). Тогда получаем, что вектор

X

w = bw1 ui+1 a1u1 : : : aiui bvv

v2SnRi+1

принадлежит линейной оболочке множества Si+1. Поскольку множе- ñòâî Si+1 получается из множества Si заменой вектора w на вектор ui+1, остальные векторы из Si тоже принадлежат линейной оболочке множества Si+1, и потому V =<Si > <Si+1 >, так что подмножество Si+1 пространства V порождает V . Этим доказательство леммы завершено.

Вернемся к доказательству теоремы. Пусть n число элементов конечного множества S. Ясно, что все множества Si из леммы со- стоят, как и множество S, из n элементов. Если бы в множестве T нашлось n + 1 различных векторов, то мы пришли бы к противоре- чию: множество Sn+1, состоящее из n элементов, не может содержать n + 1 различных векторов u1; : : : ; un+1.

Иногда бывает удобно использовать вместо этой теоремы противоположную ей теорему.

Теорема 4 (о линейной зависимости линейных комбинаций).

Пусть V векторное пространство над полем k, и пусть S конечное подмножество V. Если множество T содержится в линейной оболочке множества S и если в T больше элементов, чем в S (в частности, если T бесконечное множество), то множество T линейно зависимо.

176

9 Существование базиса конечно порожденного пространства

Сформулированные в этом пункте утверждения верны для произвольных пространств; но, как мы уже упомянули выше, для их доказательства в общем случае требуется та или иная форма трансфинитной индукции, и мы пока ограничимся случаем конечно порожденных пространств, то есть таких пространств, в которых есть конечное порождающее подмножество

Теорема 5. Пусть V конечно порожденное векторное пространство над полем k. Далее, пусть L линейно независимое подмножество V, а S порождающее V подмножество, содержащее L (не обязательно конечное). Тогда в пространстве V существует такой конечный базис B, что L B S.

Доказательство. Пусть S0 конечное подмножество V , порождающее пространство V (такое подмножество существует, потому что пространство конечно порождено), и пусть n число элементов мно-

жества S0. Åñëè L0 любое линейно независимое подмножество V, то, поскольку L0 содержится в линейной оболочке V множества S0, число элементов множества L0 не превосходит n (теорема 3). В част-

ности, множество L конечно.

Рассмотрим множество B всех линейно независимых подмножеств B0 множества S, содержащих множество L. Это множество непусто; например, его элементом является множество L. Всякое множество B0 2 B конечно и состоит не более чем из n элементов. Следовательно, множество порядков множеств из B непусто и ограничено сверху числом n. Поэтому среди этих порядков есть наибольший порядок m. Пусть B множество из B, на котором достигается этот наибольший порядок. Таким образом, jBj = m, и если D ) B подмножество S, то число элементов в D больше m, поэтому D 2= B, а это значит, что множество D линейно зависимо. По предложению 7 отсюда следует, что B базис пространства V.

Следствие. Пусть V конечно порожденное векторное пространство над полем k. Тогда:

(1)в пространстве V есть хотя бы один базис;

(2)åñëè S0 порождающее V подмножество V, то существует базис пространства V, содержащийся в S0;

(3)åñëè L0 линейно независимое подмножество V, то существует базис пространства V, содержащий L0.

Доказательство. Для доказательства утверждений (1), (2), (3) достаточно положить в теореме 5 соответственно

L = ;; S = S0; L = ;; S = S0; L = L0; S = L0 [ S0

177

(здесь, как и в доказательстве теоремы 5, S0 какое-то конечное множество, порождающее пространство V ).

10 Равномощность базисов. Размерность пространства

В векторном пространстве, вообще говоря, много различных базисов (исключение составляют только два пространства: пространство, состоящее только из нулевого вектора, в котором единственный базиспустое множество, и пространство над полем из двух элементов, состоящее из нулевого вектора и единственного ненулевого вектора, который и образует единственный базис этого пространства). Однако, количество элементов в базисе всегда одно и то же.

Теорема 6. Пусть V конечно порожденное векторное простран- ство над полем k, и пусть B1, B2 его базисы. Тогда количества элементов в базисах B1, B2 одинаковы.

Доказательство. Пусть n1 = jB1j, n2 = jB2j. Линейно независимое множество B1, состоящее из n1 элементов, содержится в линейной оболочке V множества B2, состоящего из n2 элементов; поэтому по теореме 3 выполняется неравенство n1 n2. Меняя в этом рассуж- дении ролями базисы B1 è B2, докажем, что n2 n1. Èòàê, n1 = n2, что и требовалось.

Число элементов в базисе конечно порожденного пространства V называется размерностью V и обозначается dim V; как мы только что

видели, оно не зависит от выбора базиса. Иногда одно и то же множество рассматривается как векторное пространство над разными полями; в таких случаях размерность V как векторного простран-

ства над полем k обозначают через dimk V.

Всякое пространство конечной размерности n порождается своим базисом, состоящим из n элементов; поэтому оно конечно порождено.

Обратно, у всякого конечно порожденного пространства размерность конечна. Поэтому конечно порожденное пространство это то же самое, что пространство конечной размерности; такие пространства называются конечномерными. В дальнейшем мы, как правило, не будем употреблять термин "конечно порожденное пространство", а вместо этого будем говорить о "конечномерных пространствах".

Из следствия теоремы 5 сразу вытекают следующие утверждения.

Предложение 8. Пусть V конечномерное пространство над полем k.

(1) Если конечное множество S V порождает пространство V, то jSj dim V ; если при этом jSj = dim V , то S базис V.

178

(2) Если L линейно независимое подмножество V, то L конечно и jLj dim V ; если при этом jLj = dim V , то L базис V.

Доказательство. (1). По следствию теоремы 5 порождающее V множество S содержит в качестве подмножества некоторый базис B пространства V, поэтому jSj jBj = dim V . Если при этом число элементов множества S равно числу элементов dim V его подмножества B, то S = B, то есть S является базисом V.

(2). По следствию теоремы 5 существует базис B пространства V, содержащий линейно независимое множество L, поэтому число элементов множества L не больше, чем jBj = dim V . Если при этом L = dim V = jBj, то L = B, то есть L является базисом V.

Следствие. Пусть V конечномерное пространство над полем k и пусть U его подпространство. Тогда dim U dim V . Если при этом dim U = dim V , то U = V .

Доказательство. Всякий базис B пространства U является линейно независимым подмножеством пространства V, поэтому

dim U = jBj dim V:

Если при этом dim U = dim V , то число элементов линейно независимого подмножества B пространства V равно dim V , и потому B базис V; следовательно, V является линейной оболочкой множества B, которая равна U, потому что B базис U.

11 Примеры базисов пространств

В этом пункте мы укажем базисы нескольких векторных пространств, которые у нас уже встречались. Некоторые из этих пространств, как мы увидим, обладают конечным базисом, и поэтому мы одновременно вычислим их размерность.

1. Базисом трехмерного вещественного пространства "геометри-

ческих" векторов, которое изучается в курсах геометрии и анализа, является множество, состоящее из трех векторов ~ ~ ~

i; j; k: эти векторы

не компланарны и потому линейно независимы, и известно, что всякий вектор их линейная комбинация. Таким образом, размерность этого пространства равна 3. Любая тройка некомпланарных векторов линейно независима, и поскольку число векторов в ней равно размерности пространства, она составляет базис.

2. Любое поле k, рассматриваемое как векторное пространство

над самим собой, имеет размерность 1. Действительно, множество, единственным элементом e которого является единица 1 поля k, ли-

нейно независимо, потому что e = 1 6= 0, и всякий элемент a 2 k

179

является произведением e на элемент a поля k. Как и в предыдущем примере, убеждаемся, что всякий ненулевой элемент поля k составляет базис этого пространства.

3. В поле комплексных чисел C, рассматриваемом, как векторное пространство над полем вещественных чисел R, множество f1; ig является базисом. В самом деле, ни для каких вещественных чисел a; b не выполняются равенства 1 = ai, i = a 1, поэтому ни одно из чи- сел 1; i не принадлежит вещественной линейной оболочке множества, порожденного другим числом, так что f1; ig линейно независимое над R множество. С другой стороны, всякое комплексное число имеет вид a 1 + bi, и значит, принадлежит линейной оболочке этого множества. Таким образом, dimR C = 2. Отметим, что из предыдущего примера мы знаем, что dimC C = 1.

4. Легко убедиться (мы опускаем подробности), что в теле кватернионов H, рассматриваемом как векторное пространство над полем

вещественных чисел R, четверка кватернионных единиц f1; i; j; kg составляет базис. Таким образом, dimH R = 4. Отождествляя кватернионы вида a + bi с вещественными a и b с соответствующими комплексными числами a + bi 2 C, мы можем считать, что C подполе тела кватернионов H, и потому H может рассматриваться как векторное пространство над полем C. Кватернионы 1; j составляют его базис, поэтому dimH C = 2.1

5. Кольцо многочленов k[x] над полем k является векторным пространством над k, и множество f1; x; x2; : : : ; xn; : : : g всех степеней x

составляет его базис. Действительно, любой многочлен является линейной комбинацией степеней x, и ни для какого n многочлен xn íå

является линейной комбинацией многочленов xi, i 6= n, òàê êàê êî- эффициент при xn в любой такой комбинации равен 0. Поскольку указанный базис k[x] бесконечен, векторное пространство многочленов k[x] не является конечномерным пространством над k.

6. Пусть k алгебраически замкнутое поле. Множество дробнорациональных функций

fxn j n 0g [ 1 a 2 k; m 1 (x a)m

составляет базис поля рациональных функций k(x), рассматриваемого как векторное пространство над полем k. Действительно, всякая дробно-рациональная функция является суммой многочлена и

1Умножение комплексных чисел на кватернионы можно определить двумя способами умножение слева и умножение справа; поскольку тело кватернионов некоммутативно, мы получаем два различных пространства над полем комплексных чисел. Однако, множество кватернионов f1; jg является базисом обоих

этих пространств.

180

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]