algebra1

Единичной матрицей порядка n называется квадратная матрица En 2 n n, все диагональные элементы которой равны 1, а недиагональные 0:

(En)ii = 1; (En)ij = 0 ïðè i 6= j (1 i; j n):

Как и для нулевой матрицы, мы обычно опускаем указание на порядок единичной матрицы и пишем E вместо En.

3 Свойства действий над матрицами

Всюду ниже в этом пункте A, B, C матрицы с компонентами из коммутативного ассоциативного кольца с единицей , a; b 2 .

Напомним, что не любые две матрицы можно сложить или перемножить: складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и одинаковым числом столбцов, а перемножать можно лишь матрицы, число столбцов первой из которых равно числу строк второй матрицы. Поэтому все перечисленные ниже свойства надо чи- тать так: если определена одна из частей равенства, то определена и другая, и они равны (кроме свойств 3, 12, в которых надо требовать лишь, чтобы была определена левая часть, и свойств 4, 6, 7, 8, которые всегда осмыслены).

(1)(A + B) + C = A + (B + C);

(2)A + B = B + A;

(3)A + 0 = A;

(4)A + ( A) = 0;

(5)a(A + B) = aA + aB;

(6)(a + b)A = aA + bA;

(7)1 A = A;

(8)(ab)A = a(bA);

(9)(AB)C = A(BC);

(10)A(B + C) = AB + AC;

(11)(A + B)C = AC + BC;

(12)EA = A, AE = A;

(13)a(AB) = (aA)B = A(aB).

131

Доказательства большинства из этих свойств тривиальны; свойства (1) - (8) вообще сводятся к тому, что выполнены аналогичные свойства для элементов кольца . Все же для примера докажем (1). Пусть A 2 m n, и пусть имеют смысл все действия в левой части равенства (A + B) + C = A + (B + C); тогда B 2 m n (иначе сумма A+B не определена), и потому A+B 2 m n. Для того, чтобы имела

смысл сумма (A + B) + C необходимо, чтобы и матрица C принадлежала множеству m n. Поэтому определена и сумма A + (B + C), и обе матрицы (A + B) + C, A + (B + C) состоят из одинакового числа

строк и одинакового числа столбцов. Осталось показать, что соответствующие элементы обеих матриц совпадают; но это немедленно следует из ассоциативности сложения в кольце :

((A + B) + C)ij = (A + B)ij + Cij = (Aij + Bij) + Cij =

= Aij + (Bij + Cij) = Aij + (B + C)ij = (A + (B + C))ij:

Остальные из свойств (1) - (8) доказываются совершенно аналогично, и даже несколько проще. Самое громоздкое из свойств это ассоциативность умножения матриц (9); проведем его доказатель-

ство полностью. Пусть определена, например, правая часть равен- ства (AB)C = A(BC), и пусть B 2 n k. Поскольку определено про-

изведение BC, матрица C состоит из k строк; пусть r число ее столбцов, так что BC 2 n r. Из того, что произведение A(BC) имеет смысл, следует, что матрица A имеет n столбцов; пусть m число ее строк. Теперь видно, что определено и произведение (AB)C, и что обе матрицы (AB)C, A(BC) состоят из m строк и r столбцов. Про-

верим, что соответствующие элементы этих матриц равны. В приведенной ниже выкладке через I обозначено декартово произведение

множеств f1; : : : ; ng и f1; : : : ; kg. Первые два шага выражение элемента произведения матриц AB, C через элементы этих матриц и выражение элементов матрицы AB через элементы матриц A, B; затем

мы пользуемся дистрибутивностью умножения относительно сложения в кольце , заменяем двойную сумму на сумму по декартову

произведению множеств индексов этих сумм и пользуемся ассоциативностью умножения в кольце , после чего начинается "обратный

ход" мы производим те же операции в обратном порядке:

XX X

kn

n k

XXX

=Ais(BstCtj) = Ais(BstCtj) =

132

В свойствах (10), (13) мы опустим исследование структуры матриц, ограничившись лишь доказательством того, что соответствующие элементы левой и правой частей совпадают; в первом случае используется лишь дистрибутивность умножения относительно сложения, а в последнем еще и то, что в коммутативном ассоциативном кольце произведения a(AisBsj), (aAis)Bsj, Ais(aBsj) равны:

XX

nn

XX

=AisBsj + AisCsj = (AB)ij + (AC)ij = (AB + AC)ij;

s=1 s=1

nn

= Ais(aBsj) = (A(aB))ij

s=1

(в этих равенствах через n обозначается число столбцов матрицы A). Свойство (11) доказывается так же, как (10), а о свойстве (12)

поговорим чуть подробнее.

Пусть A 2 m n; напомним, что обозначение E применяется не для единственной матрицы, а для единичной матрицы En любого порядка n. Произведение EA определено, когда E = Em, а произ- ведение AE когда E = En; таким образом, надо доказать, что EmA = AEn = A. Все матрицы в этом равенстве имеют m строк и n столбцов, так что нужно проверить лишь совпадение их соответствующих элементов:

133

потому что диагональные элементы (Em)ii, (En)jj матриц Em, En равны 1, а все остальные элементы этих матриц равны 0.

Отметим, что умножение матриц, вообще говоря, не коммутативно. Во-первых, произведение AB может быть определено, а произведение BA нет (например, если A 2 2 3, B 2 3 4); во-вторых, åñëè

даже оба произведения определены, они могут иметь разную структуру (например, при A 2 2 3, B 2 3 2 произведение AB является

квадратной матрицей порядка 2, а произведение BA квадратной

матрицей порядка 3). Но даже когда со структурой все в порядке, произведения AB, BA могут быть различны, в чем убеждаешься на

примере произведений почти любых первых попавшихся квадратных матриц порядка 2:

Если количество строк и количество столбцов матрицы равно одному и тому же числу n, то такая матрица называется квадратной матрицей порядка n. Множество n n всех квадратных матриц порядка n

обозначается через n. Из определений ясно, что сумма и произведение матриц из n снова принадлежат n, а справедливость свойств

(1) - (4), (9) - (12) действий над матрицами показывает, что n ассоциативное кольцо с единицей E = En. Мы только что убедились, что уже при n = 2 кольцо n некоммутативно.

До сих пор все встречавшиеся у нас кольца были коммутативны. Теперь у нас появилось много примеров некоммутативных колец. Бывают и неассоциативные кольца; примером является множество векторов трехмерного пространства относительно обычного сложения и векторного умножения.

5 Транспонирование матриц

Пусть A матрица из Am n; транспонированной по отношению к A матрицей называется матрица A> 2 An m, элементы которой сим- метричны элементам матрицы A относительно диагонали:

(A>)ij = Aji; (1 j m; 1 i n):

Таким образом, при транспонировании строки матрицы становятся ее столбцами, а столбцы строками.

134

Далее в этом пункте A и B будут матрицами с компонентами из коммутативного ассоциативного кольца с единицей , а a элементом из . Следующие свойства показывают, как связано транспони-

рование с действиями над матрицами. Как и выше, свойства (15) и (16) надо читать так: если определена одна из сторон равенства, то определена и другая, и они равны.

(14)(aA)> = aA>;

(15)(A + B)> = A> + B>;

(16)(AB)> = B>A>;

(17)(A>)> = A.

Приведем лишь доказательство свойства (16) (остальные тривиаль- ны). Пусть A 2 m n; если имеет смысл левая часть равенства, то

определено произведение AB, а это значит, что у матрицы B число строк равно n; пусть k число ее столбцов. Тогда AB 2 m k, à (AB)> 2 k m. Далее, в этой ситуации B> 2 k n, A> 2 n m, ïî- этому произведение B>A> определено и принадлежит k m. Анало-

гичное рассмотрение показывает, что если определена правая часть равенства (16), то определена и его левая часть, и обе этих матрицы имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов. Остается убедиться, что равны соответствующие компоненты левой и правой сторон равенства (16). Пользуясь коммутативностью умножения, получаем:

nn

XX

((AB)>)ij = (AB)ji = AjsBsi = BsiAjs =

s=1 s=1

n

X

= (B>)is(A>)sj = (B>A>)ij:

s=1

Отметим, что это единственное из всех свойств действий над матрицами (кроме части свойства (13)), в котором существенна коммутативность кольца ; все остальные свойства без труда переносятся на

случай матриц над некоммутативным, но ассоциативным кольцом. Это показывает, что транспонирование матриц естественно только для матриц над коммутативными кольцами; в случае некоммутативных колец иногда удается подправить определение транспонированной матрицы так, чтобы свойство (16) сохранилось, но для этого надо, чтобы на была некоторая дополнительная структура.

6 Нумерация строк и столбцов элементами множеств

Обычно строки и столбцы матрицы нумеруются первыми натуральными числами; в этом случае они естественным образом упорядо-

135

чены. Однако, иногда бывает удобно нумеровать их элементами из некоторых множеств S и T , не обязательно упорядоченных. В этом

случае матрица с компонентами из множества A понимается как отображение S T ! A. Образ Ast элемента (s; t) 2 S T при этом отображении считается элементом s-й строки и t-го столбца матрицы A. Обычные матрицы появляются как частный случай, когда S = f1; 2; : : : ; mg, T = f1; 2; : : : ; ng.

Множество матриц с компонентами из A, строки и столбцы которых занумерованы элементами из множеств S и T , обозначается

AS T .

Все действия над матрицами могут быть определены и тогда, ко-

гда их строки и столбцы занумерованы элементами из произвольных конечных множеств. Так, транспонированной к матрице A 2 AS T

называется матрица AT 2 AT S, такая что

Пусть, далее, коммутативное ассоциативное кольцо с 1, S, T , U, V конечные множества, и пусть A 2 S T , B 2 U V . Если a 2 , то произведением a на A называется матрица aA 2 S T , элемен- ты которой равны произведениям a на соответствующие элементы матрицы A:

(aA)st = aAst (s 2 S; t 2 T ):

Сумма A + B матриц A, B определена тогда и только тогда, когда S = U, T = V ; она тоже принадлежит S T , и ее элементы равны суммам соответствующих элементов матриц A, B:

(A + B)st = Ast + Bst (s 2 S; t 2 T ):

Произведение матриц A, B определено тогда и только тогда, когда T = U; оно принадлежит S V и его элементы вычисляются по формуле

X

(AB)sv = AstBtv (s 2 S; v 2 V ):

t2T

Все свойства действий над матрицами без труда переносятся на

матрицы, строки и столбцы которых занумерованы элементами из конечных множеств. В частности, множество S = S S квадрат-

ных матриц, строки и столбцы которых занумерованы элементами из S, является ассоциативным, но, вообще говоря, не коммутатив-

ным кольцом с единицей E = ES.

136

x 2: Обобщение действий над матрицами

1 Достаточные условия для выполнимости действий над матрицами

Наше первоначальное определение матрицы состояло в том, что компоненты матрицы могут быть элементами любого множества. В частности, пусть для каждых i, j задано свое непустое множество Aij (1 i m, 1 j n). Тогда мы можем рассматривать множество

матриц вида

компоненты aij = Aij которых принадлежат соответствующему множеству Aij. Если на каждом из множеств Aij определено сложение (в частности, если они являются аддитивно записанными абелевыми группами), то подобные матрицы можно складывать, и получившаяся сумма тоже будет матрицей того же типа.

Для определения произведения матриц в подобной более общей ситуации нам надо уметь перемножать элементы, принадлежащие, вообще говоря, разным множествам. Мы говорим, что на паре множеств A, B, задано умножение со значениями в множестве C, если

зафиксировано любое отображение : A B ! C. Мы будем записывать произведение (a; b) 2 C элементов a 2 A, b 2 B через ab.

Пусть Aij, Bjk, Cik (1 i m, 1 j n, 1 k p) непустые множества, причем на каждом из множеств Cik задано коммутатив- ное ассоциативное сложение, и для каждой тройки индексов i; j; k задано умножение Aij Bjk ! Cik. Пусть теперь A матрица из m строк и n столбцов, такая что Aij 2 Aij для любых i; j, а B матрица из n строк и p столбцов, такая что Bjk 2 Bjk для любых j; k. Тогда определена матрица AB, состоящая m строк и p столбцов, компонен-

ты которой (AB)ik принадлежат соответствующим множествам Cik è находятся по формулам

n

X

(AB)ik = AisBsk:

s=1

Действительно, все произведения AisBsk принадлежат множеству Cik, и их можно сложить в Cik, причем результат сложения n слагаемых не зависит от того, в каком порядке мы эти сложения выполняем, так

что мы можем эту сумму записывать, используя знак суммирования

n

P.

s=1

137

2 Пример: матрицы, разбитые на блоки

Пусть кольцо, и пусть S1; : : : ; Sm; T1; : : : ; Tn два набора попарно не пересекающихся непустых конечных множеств. Пусть

матрица, каждая компонента aij которой сама является матрицей и принадлежит соответствующему множеству Si Tj . Обозначим че-

рез S объединение множеств S1; : : : ; Sm, а через T объединение множеств T1; : : : ; Tn. Пусть A 2 S T матрица, компоненты Ast

которой определены следующим образом: если s 2 Si, t 2 Tj, òî Ast = (aij)st (заметим, что любой элемент s из объединения S попарно не пересекающихся множеств Si, 1 i m, принадлежит единственному из этих множеств, и точно так же каждый элемент t 2 T принадлежит единственному из множеств Tj, 1 j n). Мы будем говорить, что матрица A разбита на блоки aij, соответствую- щие разбиениям S = S1 [ [Sm, T = T1 [ [Tn их множеств строк и столбцов, а a является матрицей, составленной из блоков матрицы

A, отвечающих этим разбиениям.

Следующее утверждение очень полезно, и мы будем часто пользоваться им.

Предложение 1. Пусть кольцо, и пусть S; T; R непустые

конечные множества.

(1) Пусть A; B 2 S T , и пусть a; b матрицы, составленные из блоков матриц A; B, отвечающих разбиениям S = S1 [ [ Sm, T = T1[ [Tn множеств строк и столбцов этих матриц в объеди-

нения попарно не пересекающихся непустых подмножеств. Тогда a + b матрица, составленная из блоком матрицы A + B 2 S T ,

отвечающих тем же разбиениям множества S строк и множества T столбцов.

(2) Пусть A 2 S T , B 2 T R, и пусть a; b матрицы, составленные из блоков матриц A; B; C, отвечающих разбиениям

S = S1 [ [ Sm; T = T1 [ [ Tn; R = R1 [ [ Rp

множеств строк и столбцов этих матриц в объединения попарно не пересекающихся непустых подмножеств. Тогда ab матрица, составленная из блоком матрицы AB 2 S R, отвечающих тем же

разбиениям множества S ее строк и множества R ее столбцов.

138

Доказательство. Это было труднее сформулировать, чем доказать; мы ограничимся доказательством утверждения (2) (утверждение (1) намного проще). Пусть s 2 Si S, r 2 Rj R; тогда

3 Свойства обобщенных действий над матрицами

Большинство свойств действий над матрицами с компонентами из кольца остаются справедливыми и в более общей ситуации, опи-

санной в начале параграфа. Грубо говоря, если все умножения дистрибутивны и какое-то из свойств действий выполняется для одноэлементных матриц, то оно выполняется всегда, когда левая или правая часть соответствующего соотношения определена. Мы не будем пытаться точно формулировать и доказывать эти свойства в самом общем случае, хотя сделать это несложно, а ограничимся лишь ситуацией, в которой мы в дальнейшем будем эти свойства неоднократно применять.

Пусть A абелева группа относительно сложения; тогда оче- видно, что сложение матриц с компонентами из A ассоциативно и

коммутативно.

Перейдем теперь к свойствам, в которых участвует произведение матриц. Сначала дадим определение дистрибутивного умножения. Пусть A, B, C аддитивно записанные абелевы группы; умножение

A B ! C называется дистрибутивным, если

XX

nn

XX

=AisBsj + AisBsj0 = (AB)ij + (AB0)ij = (AB + AB0)ij:

s=1 s=1

Аналогично, для любых матриц A; A0 2 Am n, B 2 Bn k выполняется соотношение дистрибутивности (A + A0)B = AB + A0B.

139

Ассоциативность умножения матриц может быть доказана в следующем контексте. Пусть A, B, C, D, E, F абелевы группы отно-

сительно сложения, на которых заданы дистрибутивные умножения

A B ! D; D C ! F; B C ! E; A E ! F;

причем (ab)c = a(bc) для любых a 2 A, b 2 B, c 2 C. Тогда для любых матриц A 2 Am n, B 2 Bn k, C 2 Ck r

ношение ассоциативности (AB)C = A(BC). Действительно, в дока-

зательстве ассоциативности умножения матриц над ассоциативным кольцом , которое мы повторяем ниже, использовались только эти

свойства (напомним, что через I обозначено декартово произведение множеств f1; : : : ; ng и f1; : : : ; kg):

x 3: Приведение матриц

Всюду в этом параграфе компоненты всех встречающихся матриц принадлежат некоторому фиксированному полю k.

1 Элементарные преобразования над строками и над столбцами матрицы

Элементарным преобразованием над строками матрицы A называется одно из следующих преобразований:

(1)ко всем элементам некоторой строки матрицы A прибавля-

ются соответствующие элементы другой строки, умноженные на элемент из поля k, а остальные элементы матрицы A не меняются;

(2)все элементы некоторой строки матрицы A умножаются на элемент 6= 0 из поля k, а остальные элементы матрицы A не меняются;

140