algebra1

Доказательство. Если deg g(t) = 0, то g(t) = b 2 A, причем b обратимый элемент кольца A, и тем более обратимый элемент кольца A[t]; тогда f(t) = b(b 1f(t)) + 0, и многочлены b 1f(t), 0 являются соответственно неполным частным и остатком от деления f(t) на g(t).

Пусть теперь m = deg g(t) > 0; существование неполного частного и остатка будем доказывать индукцией по степени n многочлена f(t). Если n < m, то f(t) = g(t) 0 + f(t)), и многочлены 0, f(t) являются соответственно неполным частным и остатком от деления f(t) на g(t). Пусть n m и пусть существование неполного частного и остатка от деления на g(t) уже установлено для всех многочленов, степень которых меньше n.

Пусть antn è bmtm старшие члены многочленов f(t) и g(t). По условию теоремы старший коэффициент bm многочлена g(t) обратим,

ется старшим членом неполного частного. Степени всех одночленов, входящих в разности

f1(t) = f(t) bm tn mg(t) = f(t) antn bm tn m g(t) bmtm

тоже меньше n. По индукционному предположению, существуют многочлены q1(t); r(t) 2 A[t], такие что

f1(t) = g(t)q1(t) + r(t); deg r(t) < deg g(t);

при этом ясно, что степень многочлена q1(t) меньше, чем n m. Тогда получаем:

неполным частным и остатком от деления f(t) на g(t).

Осталось доказать единственность неполного частного и остатка. Пусть q0(t), r0(t) еще одна пара многочленов, обладающая свой-

ствами f(t) = g(t)q0(t) + r0(t) è deg r0(t) < deg g(t). Тогда

r(t) r0(t) = g(t)(q0(t) q(t)):

81

Åñëè q0(t) 6= q(t), то многочлен q0(t) q(t) ненулевой, и его старший член имеет вид ctl, где c 6= 0, l 0; тогда старший член произве-

дения g(t)(q0(t) q(t)) равен bmctm+l, причем bmc 6= 0, потому что произведение bm1(bmc) = c отлично от 0. Поэтому

deg(g(t)(q0(t) q(t))) = m + l m = deg g(t) > deg(r(t) r0(t));

а это противоречит равенству r(t) r0(t) = g(t)(q0(t) q(t)). Следовательно, q0(t) = q(t), а тогда

r0(t) = f(t) g(t)q0(t) = f(t) g(t)q(t) = r(t):

Замечание. Предыдущее доказательство теоремы о делении с остатком является конструктивным: оно указывает алгорифм, позволяющий найти неполное частное и остаток от деления f(t) на

g(t). В самом деле, из него следует, что старший член неполного частного равен отношению старших членов многочленов f(t) и g(t). Вычитая из f(t) произведение полученного старшего члена неполно-

го частного и g(t), получаем многочлен f1(t) меньшей, чем f(t) степени. Применяем к нему ту же процедуру, находим следующий по старшинству член неполного частного, который равен отношению старших членов многочленов f1(t) и g(t). Продолжая этот процесс до тех пор, пока не получим многочлен, степень которого меньше степени f(t); это и будет искомый остаток.

x 3: Кольцо многочленов над полем

В этом параграфе мы увидим, что кольцо многочленов над полем во многом похоже на кольцо целых чисел. Всюду в нем k некоторое по-

ле, и мы не всегда будем напоминать об этом в формулировках утверждений. Для случая k = R почти все утверждения нам уже известны

из главы I. И хотя доказательства в общем случае существенно не отличаются от рассуждений, приведенных в главе I, мы повторяем их здесь. Напомним, что там мы не давали формального определения кольца многочленов, а пользовались лишь теми представлениями о таких многочленах, которые известны нам из школьного курса, в котором никаких многочленов, кроме многочленов с вещественными коэффициентами, просто не могло быть. Причина, по которой мы в главе I все же рассматривали отдельно кольцо вещественных много- членов, состояла в том, что мы хотели как можно раньше построить поле комплексных чисел, которое, как мы помним, было определено

как кольцо вычетов кольца вещественных многочленов по модулю t2 + 1.

82

1 Идеалы кольца многочленов

При построении теории делимости в кольце целых чисел Z важную роль сыграло то, что все идеалы кольца Z главные; как мы пом-

ним, доказательство этого было основано на возможности деления с остатком. То же оказывается верным и для кольца многочленов над полем. Отметим, что деление с остатком на ненулевой многочлен над полем k всегда возможно, потому что старший коэффициент ненуле-

вого многочлена отличен от 0 и поэтому обратим в k.

Теорема 3. Всякий идеал кольца многочленов k[t] над полем k является главным.

Доказательство. Пусть I идеал кольца k[t]. Нулевой многочлен 0 всегда принадлежит идеалу. Если идеал I состоит только из 0, то I = (0), и все доказано. Пусть в I есть ненулевой элемент g(t); тогда множество чисел n 2 N0, таких что в I есть многочлены степени n, непусто, и в нем есть наименьшее число m. Пусть g(t) какойто многочлен степени m, принадлежащий идеалу I. Покажем, что I = (g(t)), чем и завершим доказательство теоремы.

Любой элемент f(t) 2 (g(t)) имеет вид f(t) = g(t)h(t), где h(t) многочлен из k[t]; но многочлен g(t) принадлежит I, и потому f(t) = g(t)h(t) 2 I. Итак, (g(t)) I. Обратно, пусть f(t) 2 I; разделим f(t) с остатком на g(t):

f(t) = g(t)q(t) + r(t); ( q(t); r(t) 2 k[t]; deg r(t) < deg g(t) ):

Если r(t) 6= 0, то r(t) = f(t) g(t)q(t) принадлежит идеалу I, так как f(t) и g(t) оба принадлежат I; но deg r(t) < deg g(t) = m, а это противоречит тому, что m наименьшая из степеней ненулевых многочленов, принадлежащих идеалу I. Итак, r(t) = 0, и потому f(t) = g(t)q(t) 2 (g(t)). Таким образом, доказано и обратное включе- ние I (g(t)).

2 Делители 1 и ассоциированные элементы в кольце многочленов

Из сказанного выше следует, что к кольцу многочленов можно применить все утверждения теории делимости, доказанные в главе I для областей целостности, в которых все идеалы главные. Однако, некоторые понятия теории делимости имеют в кольце многочленов более наглядное описание.

Предложение 5. Для того, чтобы многочлен f(t) над полем k был делителем 1 в кольце k[t], необходимо и достаточно, чтобы deg f(t) = 0, то есть чтобы f(t) = c, где c 2 k k[t], c 6= 0.

83

Доказательство. Если 1 f(t), то существует многочлен g(t) 2 k[t], такой что 1 = f(t)g(t); тогда 0 = deg 1 = deg f(t) + deg g(t). С другой стороны, ясно, что f(t) и g(t) ненулевые многочлены, поэтому deg f(t) 0, deg g(t) 0. Следовательно, deg f(t) = deg g(t) = 0. Обратное утверждение очевидно: если f(t) = c 6= 0, то, поскольку k поле, существует элемент c 1 2 k k[t], è 1 = cc 1 = f(t)c 1 f(t).

Поскольку по предложению 5 из главы I два элемента области целостности ассоциированы тогда и только тогда, когда они отлича- ются множителем, делящим 1, мы сразу получаем из предложения 5 следующее описание ассоциированных многочленов.

Предложение 6. Для того, чтобы ненулевые многочлены f(t), g(t) над полем k были ассоциированы, необходимо и достаточно, чтобы существовал такой элемент c 2 k, c 6= 0, что g(t) = c(f(t).

Прежде, чем сформулировать следующее утверждение, дадим определение, которое часто оказывается полезным при работе с много- членами. Ненулевой многочлен f(t) называется унитарным (по дру-

гой терминологии нормализованным), если его старший коэффициент равен 1. Из теоремы о старшем члене произведения многочленов немедленно следует

Предложение 7. Произведение унитарных многочленов тоже унитарный многочлен.

Предложение 8. Если ненулевые многочлены f(t), g(t) над полем k ассоциированы и унитарны, то они равны.

Доказательство. Поскольку f(t) g(t), по предложению 6 существует ненулевой элемент c из поля k, такой что f(t) = cg(t). По

теореме о старшем члене произведения старший коэффициент 1 унитарного многочлена f(t) равен произведению c 1 старших коэффи-

циентов многочлена c и унитарного многочлена g(t), и потому c = 1, то есть f(t) = g(t).

Предложение 9. Для каждого ненулевого многочлена f(t) 2 k[t]

существует единственный ассоциированный с ним унитарный многочлен.

Доказательство. Если an старший коэффициент ненулевого многочлена f(t), то an 6= 0, и многочлен an 1f(t) унитарен и ассоциирован с f(t). Осталось заметить, что ассоциированные унитарные много-

члены совпадают.

84

3 Неприводимые многочлены

Как мы видели в главе I, в области главных идеалов понятия простого ненулевого элемента и неприводимого элемента совпадают. И если в кольце целых чисел для таких элементов принято употреблять термин "простой", то для многочленов в этой ситуации обычно выбирается термин "неприводимый многочлен". Таким образом, многочлен f(t) с коэффициентами из поля k называется неприводимым

над k, если f(t) 6= 0, f(t) не делитель 1, и во всяком его разложении f(t) = g(t)h(t) один из сомножителей является делителем 1,

то есть имеет степень 0. Поскольку мы исключаем 0 и делители 1 из числа неприводимых многочленов, степень любого неприводимого многочлена не меньше 1. Если f(t) неприводимый многочлен,

то всякий его делитель или является делителем 1, или ассоциирован с f(t). Если же многочлен f(t) не равен 0, не делитель 1 и не непри-

водимый, то существует такое его разложение f(t) = g(t)h(t), что степени обоих сомножителей не меньше 1.

Предложение 10. Всякий многочлен степени 1 с коэффициентами из поля неприводим над этим полем.

Доказательство. Пусть f(t) 2 k[t], deg f(t) = 1. Если f(t) не яв-

ляется неприводимым многочленом, то существует его разложение f(t) = g(t)h(t), в котором оба сомножителя являются многочленами

из k[t], степени которых не меньше 1. Тогда

1 = deg f(t) = deg g(t) + deg h(t) 2;

а это неверно.

4 Основная теорема арифметики для многочленов

Теорема 4. Пусть k поле. Всякий ненулевой многочлен f(t) 2 k[t]

может быть представлен в виде произведения f(t)=cp1(t) : : : pn(t), ãäå c2k, c6=0, n 0, p1(t); : : : ; pn(t) унитарные неприводимые многочлены. Это представление единственно с точностью до порядка сомножителей: если есть другое представление f(t)=dq1(t) : : : qm(t), ãäå d 2 k, d 6= 0, q1(t); : : : ; qm(t) унитарные неприводимые много- члены, то c = d, m = n и существует и существует перестановка (i1; : : : ; in) множества f1; : : : ; ng, такая что

q1(t) = pi1 (t); : : : ; qn(t) = pin (t):

Доказательство. Единственность по существу уже доказана. Если f(t)=cp1(t) : : : pn(t)=dq1(t) : : : qm(t);

85

ãäå c; d 2 k, c; d 6= 0, à pi(t), qj(t) унитарные неприводимые много- члены, то p1(t) : : : pn(t) q1(t) : : : qm(t), и по предложению 11, (3) из главы I количества сомножителей m; n в обоих разложениях одина-

ковы, и существует такая такая перестановка (i1; : : : ; in) множества f1; : : : ; ng, что

pi1 (t) q1(t); : : : ; pin (t) qn(t):

Но унитарные многочлены ассоциированы лишь тогда, когда они совпадают, поэтому q1(t) = pi1 (t); : : : ; qn(t) = pin (t). Остается заметить, что по теореме о старшем члене произведения многочленов элементы c; d 2 k оба равны старшему коэффициенту многочлена f(t).

Существование разложения докажем индукцией по степени многочлена f(t). Если deg f(t) = 0, то f(t) = c 2 k, c 6= 0, а это и есть

требуемое разложение (при n = 0). Пусть deg f(t) > 0 и для всех

многочленов меньших степеней существование разложения уже доказано. Если f(t) неприводимый многочлен, а a его старший коэффициент, то многочлен p(t) = a 1f(t) унитарен и тоже неприво-

дим, а тогда f(t) = ap(t) и есть нужное представление. Пусть теперь многочлен f(t) не является неприводимым; тогда существует разложение f(t) = g(t)h(t), в котором степени обоих сомножителей больше

0. Тогда

deg g(t) = deg f(t) deg h(t) < deg f(t);

и точно так же deg h(t) < deg f(t). По предположению индукции, су-

ществуют ненулевые элементы d1; d2 2 k и неприводимые унитарные многочлены

p1(t); : : : ; pm(t); pm+1(t); : : : ; pn(t);

такие что g(t) = d1p1(t) : : : pm(t), h(t) = d2pm+1(t) : : : pn(t). Но тогда

f(t) = (d1d2)p1(t) : : : pm(t)pm+1(t) : : : pn(t);

а это и есть нужное разложение.

Разложение, существование и единственность которого утверждаются только что доказанной теоремой, называется каноническим разложением многочлена в произведение унитарных неприводимых многочленов.

5 Кольцо вычетов по модулю многочлена

В главе I для любого коммутативного ассоциативного кольца с единицей A и любого элемента n 2 A было построено кольцо вычетов

A=(n) по модулю n. Напомним, что элементами этого кольца являются классы вычетов, то есть такие подмножества множества A, в которых найдется элемент a, обладающий следующим свойством:

86

совпадает с множеством [a]n всех элементов кольца A, которые сравнимы с a по модулю n.

Для кольца многочленов k[t] над полем k множество классов вы- четов по модулю многочлена f(t) 2 k(t) легко описать явно. Мы делали это в главе II для случая k = R, f(t) = t2 + 1 (лемма II.2).

Точно такие же рассуждения применимы и в общем случае. Пусть f(t) 2 k(t) многочлен степени n 1. Сначала, как и в главе II, вло-

жим поле k в кольцо вычетов k[t]=(f(t)). Пусть a 2 k; класс [a]f(t), содержащий элемент a, рассматриваемый как многочлен степени 0, будем обозначать просто через a. Таким образом, поле k оказывается вложенным в кольцо классов вычетов k[t]=(f(t)), и всякий раз, когда мы рассматриваем элемент a 2 k как элемент k[t]=(f(t)), мы имеем ввиду класс [a]f(t). При этом для любых a; b 2 k сумма и произведение классов a = [a]f(t) è b = [b]f(t) в кольце k[t]=(f(t)) равны соответственно [a+b]f(t) è [ab]f(t), и в наших обозначениях они равны сумме a + b и произведению ab элементов a, b. Таким образом, наше вложение делает поле k подполем кольца вычетов k[t]=(f(t)).

Предложение 11. Пусть k поле, и пусть f(t) многочлен степени n 1 с коэффициентами из k. Всякий класс из кольца вычетов k[t] по модулю f(t) единственным образом представим в виде

a0 + a1[t]f(t) + a2([t]f(t))2 + + an 1([t]f(t))n 1;

ãäå a0; a1; a2; : : : ; an 1 элементы поля k.

Доказательство. В дальнейшем мы опускаем указание на модуль f(t) в обозначении класса вычетов по этому модулю и пишем [g(t)]

вместо [g(t]f(t). Пусть [h(t)] произвольный класс из кольца вычетов k[t]=(f(t)) (здесь h(t) многочлен из k[t]), и пусть

r(t) = a0 + a1t + + an 1tn 1

остаток от деления h(t) на f(t). Тогда h(t) r(t) = f(t)q(t), где q(t) неполное частное; поэтому h(t) r(t) делится на f(t), то есть h(t) r(t) (mod f)(t). Следовательно,

[h(t)] = [r(t)] = [a0 + a1t + + an 1tn 1] =

= [a0] + [a1][t] + + [an 1][t]n 1 = a0 + a1[t] + + an 1[t]n 1:

Докажем теперь единственность представления. Пусть

a0 + a1[t] + + an 1[t]n 1 = b0 + b1[t] + + bn 1[t]n 1;

и пусть ci = ai bi (0 i < n); тогда

87

[0]= c0 + c1[t] + + cn 1[t]n 1 = [c0] + [c1][t] + + [cn 1][t]n 1 =

=[c0 + c1t + + cn 1tn 1];

откуда следует, что многочлен c0 +c1t+ +cn 1tn 1

гочлен f(t) степени n, а это возможно только если все коэффициенты c0; c1; : : : ; cn 1, равны 0, то есть если a0 = b0, a1 = b1, . . . , an 1 = bn 1.

6 Условие того, что кольцо вычетов по модулю многочлена поле

Хотя критерий того, что кольцо вычетов по модулю был сформулирован и доказан для произвольных областей целостности, в которых все идеалы главные, повторим его еще раз для случая кольца много- членов.

Теорема 5. Пусть k поле, и пусть f(t) ненулевой многочлен с коэффициентами из поля k. Кольцо вычетов k[t]=(f(t)) тогда и только тогда является полем, когда многочлен f(t) неприводим.

x 4: Многочлены как функции. Корни многочленов

1 Значение многочлена

До сих пор мы рассматривали многочлены формально, точнее, как элементы кольца многочленов. Теперь же мы начнем рассматривать их и с функциональной точки зрения.

Пусть A коммутативное ассоциативное кольцо с единицей 1, и пусть ассоциативное, но не обязательно коммутативное кольцо, содержащее A в качестве подкольца, причем 1 является единицей не только для кольца A, но и для его расширения . Пусть, далее,

f(t) = a0 + a1t + : : : + antn 2 A[t];

и пусть элемент из , который перестановочен со всеми элементами из A (это значит, что a = a для каждого a 2 A). Значением f( ) многочлена f(t) при t = называется элемент

n

X

f( ) = a0 + a1 + : : : + an n = ai i 2

i=0

(мы считаем, что 0 = 1, даже если = 0). Еще раз подчеркнем, что переменной t присваивается значение, которое принадлежит не обязательно самому кольцу A, но, быть может, его расширению.

Основное свойство значения многочлена его согласованность с действиями над многочленами.

88

Предложение 12. Пусть A коммутативное ассоциативное кольцо с 1, и пусть A ассоциативное кольцо, содержащее A в качестве подкольца. Пусть, далее, элемент из , перестановочный со всеми элементами из A, f(t); g(t) 2 A[t], s(t) = f(t)+g(t), p(t) = f(t)g(t). Тогда s( ) = f( ) + g( ), p( ) = f( )g( ).

Доказательство. Утверждение труднее сформулировать, чем доказать. Пусть

f(t) = a0 + a1t + : : : + antn; g(t) = b0 + b1t + : : : + bntn;

где n максимальная из степеней многочленов f(t); g(t), а ai, bj элементы из A. Тогда

s(t) = f(t) + g(t) = (a0 + b0) + (a1 + b1)t + : : : + (an + bn)tn;

и потому

s( ) = (a0 + b0) + (a1 + b1) + : : : + (an + bn) n =

= (a0 + a + : : : + an n) + (b0 + b1 + : : : + bn n) = f( ) + g( ):

Далее, значение многочлена aibjti+j равно aibj i+j. Íî

X

p(t)=f(t)g(t)= aibjti+j;

i;j

и по уже доказанному значение этой суммы равно сумме значений слагаемых, то есть

nn

XX X

2 Теорема Безу

Первым примером применения предыдущего предложения является следующее простое, но полезное утверждение.

Предложение 13 (теорема Безу). Пусть A коммутативное ассоциативное кольцо с 1, f(t) 2 A[t], a; c 2 A. Следующие условия равносильны:

(1)f(t) c (mod (t a));

(2)f(a) = c.

Доказательство. (1) ) (2). Если f(t) c (mod (t a)), то f(t) c

делится на (t a), и потому существует такой многочлен q(t) 2 k[t], что f(t) c = q(t)(t a). По предложению 1,

f(a) c = q(a)(a a) = q(a) 0 = 0;

89

òî åñòü f(a) = c.

(2) ) (1). Многочлен f(t) сравним по модулю t a с остатком r(t) от деления f(t) на t a. Но deg r(t) < deg(t a) = 1, следовательно r(t) = d 2 A. Таким образом, f(t) d (mod (t a)), и по уже доказанной части нашего утверждения d = f(a). Если f(a) = c, то получаем, что d = f(a) = c и f(t) d = c (mod (t a)).

Следствие. Пусть k поле, и пусть f(t) 2 k[t], a 2 k. Многочлен f(t) делится на (t a) тогда и только тогда, когда f(a) = 0.

3 Корни многочлена

Пусть k поле. Элемент a поля k называется корнем многочлена f(t) 2 k[t], если f(a) = 0. Предыдущее следствие может быть переформулировано так: элемент 2 k является корнем многочлена f(t) 2 k[t] тогда и только тогда, когда f(t) делится на (t a).

Теорема 6. Пусть k поле. Любой ненулевой многочлен f(t) 2 k[t] имеет в k не больше корней, чем его степень deg f(t).

Доказательство. Пусть a1; : : : ; ar 2 k различные корни f(t); по следствию из теоремы Безу многочлен f(t) делится на каждый из двучленов t ai, 1 i r. Но эти двучлены попарно взаимно просты, поэтому f(t) делится на их произведение (t a1) (t ar); отсюда и следует, что r = deg((t a1) (t ar)) deg f(t).

Напомним, что два многочлена равны, если равны их соответствующие коэффициенты. Однако, можно определить равенство много- членов f(t); g(t) 2 k[t] и другим способом, а именно, считать что

эти многочлены одинаковы, если f(a) = g(a) для всех a 2 k. Та-

кое равенство многочленов называется функциональным. Следующая теорема показывает, что понятия равенства и функционального равенства многочленов почти всегда совпадают.

Теорема 7 (о формальном и функциональном равенстве многочленов). Пусть k бесконечное поле, и пусть f(t), g(t) мно-

гочлены с коэффициентами из k. Если f(a) = g(a) для всех a 2 k (то есть если многочлены f(t) и g(t) функционально равны), то много- члены f(t), g(t) равны.

Доказательство. Пусть N натуральное число, превосходящее степени обоих многочленов f(t), g(t); тогда разность h(t) = f(t) g(t) многочлен, степень которого строго меньше, чем N. Но любой элемент a 2 k является корнем h(t), так как h(a) = f(a) g(a) = 0. Если h(t) 6= 0 и в поле k найдется не меньше N элементов, то получится, что ненулевой многочлен h(t) имеет больше корней, чем его степень, а это невозможно; поэтому h(t) = 0 и f(t) = g(t).

90