algebra1

делителем 1, а это и значит, что 1 наибольший общий делитель этих элементов.

(2) Поскольку q делитель неприводимого элемента p, q ассоциирован с p или q делитель 1. Но вторая возможность отпадает, так как неприводимый элемент q по определению не может быть делите-

ëåì 1.

(3) Очевидно.

2 Простые элементы

Элемент p коммутативного ассоциативного кольца A называется простым, если он не делит 1, и если из того, что произведение ab двух элементов a; b 2 A делится на p, следует, что хотя бы один из элементов a, b делится на p. Отметим, что нулевой элемент 0 является простым элементом кольца A тогда и только тогда, когда в A нет делителей 0.

Предложение 10. Любой ненулевой простой элемент коммутативного ассоциативного кольца с 1 неприводим.

Доказательство. Пусть p 6= 0 простой элемент кольца A; по определению простого элемента p не делит 1. Поэтому если бы элемент p

не был бы приводим, то по предложению 8 существовало бы разложение p = ab элемента p, оба сомножителя a, b которого не делятся

на p. Но это противоречит простоте p: хотя бы один из сомножителей произведения ab = p, делящегося на простой элемент p, должен делиться на p.

Прежде, чем сформулировать следующее предложение, дадим одно определение. Пусть X конечное множество, состоящее из n эле-

ментов. Упорядоченный набор (x1; : : : ; xn) элементов из X называется перестановкой множества X, если все элементы этого набора различны; тогда среди его элементов встретятся все элементы из X

Предложение 11. Пусть A коммутативное ассоциативное кольцо с 1.

(1)Пусть a1, ... , an элементы из A, p 6= 0 простой элемент A, и пусть произведение a1 : : : an делится на p. Тогда хотя бы один из сомножителей a1, ... , an делится на p.

(2)Пусть p1; : : : ; pn; q1; : : : ; qm ненулевые простые элементы кольца A. Если p1 : : : pn q1 : : : qm, то m n и существует такая перестановка (i1; : : : ; in) множества f1; : : : ; ng, что

pi1 q1; : : : ; pim qm:

21

(3) Пусть p1; : : : ; pn; q1; : : : ; qm ненулевые простые элементы кольца A. Если p1 : : : pn q1 : : : qm, то m = n и существует такая перестановка (i1; : : : ; in) множества f1; : : : ; ng, что

pi1 q1; : : : ; pin qn:

Доказательство. (1) Индукция по n. Если n = 2, то это просто определение простого элемента. Пусть n > 2, и для n 1 сомножителя утверждение уже доказано. Если an не делится на p, то, поскольку p простой элемент, из того, что произведение a1 : : : an 1an делится на p, следует, что a1 : : : an 1 делится на p, а тогда, по предположению индукции, на p делится хотя бы один из элементов a1; : : : ; an 1.

(2) Это главное утверждение нашего предложения. Будем доказывать его индукцией по m. Случай m = 0 бессодержателен. Пусть

m 1 и для меньших значений этого параметра утверждение уже доказано. Произведение p1 : : : pn делится на элемент q1 : : : qm, êîòî- рый в свою очередь делится q1 : : : qm 1. По предположению индукции существует такая перестановка (j1; : : : ; jn) множества f1; : : : ; ng, что

pj1 q1; : : : ; pjm 1 qm 1. Тогда pj1 : : : pjm 1 q1 : : : qm 1, и значит, q1 : : : qm 1 = "pj1 : : : pjm 1 для некоторого " 2 A . Мы имеем:

pj1 : : : pjm 1 pjm : : : pjn q1 : : : qm 1qm = "pj1 : : : pjm 1 qm:

Поэтому существует элемент x 2 A, такой что

pj1 : : : pjm 1 pjm : : : pjn = "pj1 : : : pjm 1 qmx;

сократив обе части этого равенства на pj1 : : : pjm 1 6= 0 (это можно делать, потому что A область целостности), получим, что

pjm : : : pjn = "qmx qm:

По свойству (1) найдется делящийся на простой элемент qm сомножи- òåëü pjs левой части последнего равенства (s m). По предложению 10 простые элементы pjs è qm неприводимы; поэтому по свойству (2) предложения 9 pjs qm. Положим im = js, is = jm, ik = jk ïðè 1 k n, k 6= m; s. Тогда (i1; : : : ; in) перестановка множества

f1; : : : ; ng, è pi1 q1; : : : ; pim qm.

(3) Это утверждение простое следствие из утверждения (2); надо лишь заметить, что не только p1 : : : pn делится на q1 : : : qm, íî и наоборот, q1 : : : qm делится на p1 : : : pn, а потому справедливы оба неравенства n m, m n.

3 Неприводимость и простота в кольцах главных идеалов

Мы видели выше (предложение 10), что всякий ненулевой простой элемент неприводим. Вообще говоря, обратное утверждение неверно,

22

и мы увидим это в одной из следующих глав, когда будем заниматься теорией делимости в более сложных кольцах. Но для колец главных идеалов все проще.

Предложение 12. Пусть A коммутативное ассоциативное кольцо с 1, в котором все идеалы главные. Тогда любой неприводимый элемент кольца A является простым.

Доказательство. Пусть p неприводимый элемент кольца A; по определению неприводимого элемента p не является делителем 1, и поэтому остается доказать, что если произведение ab двух элементов a; b 2 A делится на p, то хотя бы один из элементов a, b делится на p. Действительно, если a не делится на p, то по предложению 9, (1) элементы a и p взаимно просты, а тогда по утверждению (3) предложения 7 из того, что ab p, следует, что b p.

x 5: Основная теорема арифметики для целых чисел

1 Особенности теории делимости для целых чи- сел

Для целых чисел теория делимости чуть-чуть проще, чем в общем случае. Прежде всего, в Z "почти нет" делителей 1: их только 2

это число 1 и число 1. Далее, ассоциированными с числом a 2 Z являются только числа a; таким образом, для каждого числа из Z

существует одно и только одно ассоциированное с ним неотрицательное число. Отметим еще, что произведение неотрицательных чисел неотрицательно.

Как и для любой области главных идеалов, неприводимые элементы кольца целых чисел являются простыми. Множество простых ненулевых элементов кольца Z состоит из двух классов положи-

тельных простых элементов 2, 3, 5, 7, 11, ... , которые называются простыми числами, и отрицательных простых элементов 2, 3, 5

è ò.ä.

2 Основная теорема арифметики

Теорема 7. Всякое целое число a 2 Z, отличное от 0, может быть представлено в виде произведения a = "p1 : : : pn, ãäå " = 1, n 0, p1; : : : ; pn положительные простые числа. Это представление единственно с точностью до порядка сомножителей: если есть другое представление a = q1 : : : qm, ãäå = 1, m 0, q1; : : : ; qm

23

положительные простые числа, то " = , m = n и существует перестановка (i1; : : : ; in) множества f1; : : : ; ng, такая что

q1 = pi1 ; : : : ; qn = pin :

Доказательство. Единственность по существу уже доказана. Пусть

a = "p1 : : : pn = q1 : : : qm;

ãäå "; = 1, à pi, qj положительные простые числа. Если a > 0, то " = = 1, а если a < 0, то " = = 1; в обоих случаях = , и потому

p1 : : : pn = q1 : : : qm. По предложению 11, (3) количества сомножителей m; n в обоих разложениях одинаковы, и существует такая пере-

становка (i1; : : : ; in) множества f1; : : : ; ng, что q1 pi1 ; : : : ; qn pin . Но положительные целые числа ассоциированы лишь тогда, когда они совпадают, поэтому q1 = pi1 ; : : : ; qn = pin .

Теперь индукцией по jaj покажем существование разложения. Если jaj = 1, то a = 1, и утверждение верно: 1 является произведением 0 простых сомножителей. Пусть jaj > 1 и для всех ненулевых

целых чисел с меньшим модулем существование разложения уже доказано. Если jaj = p простое число, то a = 1 p и есть нужное

представление (здесь количество простых сомножителей равно 1). Пусть теперь число jaj > 1 не простое число; тогда a = jaj не яв-

ляется неприводимым элементом кольца Z и не является делителем 1; поэтому существует разложение a = bc, оба сомножителя которого не делят 1, и следовательно, их модули больше 1. Но тогда

jbj = jaj=jcj < jaj; jcj = jaj=jbj < jaj;

и мы можем применить к b и c предположение индукции: существуют положительные простые числа p1; : : : ; pm; pm+1; : : : ; pn, такие что

b = "p1 : : : pm; c = pm+1 : : : pn ("; = 1):

Следовательно,

a= bc = (" )p1 : : : pmpm+1 : : : pn;

àэто и есть нужное разложение.

3 О множестве простых чисел

Основная теорема арифметики показывает, что относительно умножения множество целых чисел устроено сравнительно просто. Однако, для полноты картины хотелось бы выяснить, как умножение связано со сложением. Точнее говоря, любое натуральное число полу- чается сложением нескольких единиц, и хотелось бы знать, по какому

24

закону среди этих сумм распределены простые числа. Но оказывается, что этот вопрос чрезвычайно труден; им занимались многие выдающиеся математики, получившие первоклассные результаты, но все эти результаты только незначительное приближение к пониманию природы простых чисел. В этом пункте мы отметим лишь два элементарные свойства простых чисел, известные с древности.

Теорема 8. Множество простых чисел бесконечно.

Доказательство. Предположим, что это не так. Тогда множество всех положительных простых чисел конечно. Пусть p1; p2; : : : ; pN все простые натуральные числа. По основной теореме арифметики число p1p2 : : : pN + 1 раскладывается в произведение простых чисел:

p1p2 : : : pN + 1 = q1q2 : : : qm:

Но простое число q1 не может совпадать ни с одним из чисел p1, p2,. . . , pN : åñëè q1 = pi, òî

1 = q1q2 : : : qm p1 : : : pi : : : pN = piq2 : : : qm p1 : : : pi : : : pN pi;

что невозможно, так как простое число pi

1. Итак, предположив, что p1; p2; : : : ; pN все простые числа, мы нашли по крайней мере еще одно простое число q1, не входящее в это множество. Значит, предположение о конечности множества простых чисел было неверно.

Если посмотреть на несколько первых простых чисел

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83;

то может возникнуть впечатление, что пробелы между соседними простыми числами не слишком велики. Однако, легко показать, что они могут быть сколь угодно большими.

Теорема 9. Для любого натурального числа N существует такое натуральное число a, что не являются простыми все из N последовательных натуральных чисел a + 1; a + 2; : : : ; a + N.

Доказательство. Мы явно укажем это число. Положим a = (N + 1)! + 1 = 1 2 3 N (N + 1) + 1;

тогда для любого i, 1 i N число

a + i = 1 2 (i + 1) (N + 1) + (i + 1)

делится на i + 1. Но a + i > N + 1 i + 1, а i + 1 > 1; поэтому число a + i не простое.

25

x 6: Кольца вычетов

1 Сравнение как отношение эквивалентности

Пусть A коммутативное ассоциативное кольцо с 1, и пусть n 2 A. Мы определили выше понятие сравнения по модулю n. Напомним некоторые из основных свойств сравнений

(1)a a (mod n) для всякого a 2 A (рефлексивность сравнения);

(2)если a; b 2 A и a b (mod n), то b a (mod n) (симметрич- ность сравнения);

(3)åñëè a; b; c 2 A, a b (mod n), b c (mod n), òî a c (mod n)

(транзитивность сравнения);

(4) åñëè a; b; c; d 2 A è a c (mod n), b d (mod n), òî

(a b) (c d) (mod n); ab cd (mod n):

Отношения между элементами множества, обладающие свойствами (1)-(3) (то есть рефлексивные, симметричные и транзитивные отношения) играют в математике очень важную роль (а если вдуматься, то и не только в математике, а во всей научной деятельности). Такие отношения называются отношениями эквивалентности. Таким образом, первые три пункта предыдущего предложения утверждают, что сравнение по данному модулю является отношением эквивалентности на A. Последний пункт утверждает, что действия на A хорошо

согласуются со сравнениями. В такой ситуации мы будем говорить, что наше отношение эквивалентности устойчиво относительно алгебраических операций на A (в данном случае относительно сложения

и умножения).

2 Общие свойства отношений эквивалентности

Хотя сейчас нас интересуют только сравнения по модулю, полезно доказать некоторые простые свойства, связанные с отношениями эквивалентности, в общей ситуации; мы будем неоднократно пользоваться ими не только здесь, но и в других разделах курса.

Пусть M некоторое множество, и пусть отношение на M;

оно называется отношением эквивалентности, если обладает следующими свойствами:

(1)a a для всякого a 2 M (рефлексивность);

(2)если a; b 2 M и a b, то b a (симметричность);

(3)если a; b; c 2 M и a b, b c, то a c (транзитивность).

26

Пусть M множество, и отношение эквивалентности на нем. Для любого элемента a 2 M будем обозначать через [a] множество всех таких элементов x 2 M, что a x. Это множество называется классом эквивалентности, определенным элементом a. Еще раз подчеркнем, что класс эквивалентности это подмножество M.

Лемма 1. Элемент b 2 M принадлежит классу эквивалентности [a] тогда и только тогда, когда [a] = [b].

Доказательство. Пусть [a] = [b]. Поскольку b b, элемент b принадлежит классу [b] = [a].

Обратно, пусть b 2 [a]; тогда, по определению, a b. Если x 2 [b], то b x, и по транзитивности a x, то есть x 2 [a]; таким образом, [b] [a]. Пусть, наоборот, x 2 [a]. Тогда a x; кроме того, из соотношения a b следует из-за симметричности отношения эквивалентности, что b a. Снова пользуясь транзитивностью, получаем: b x, то есть x 2 [b], и доказано включение [a] [b]. Сопоставляя полученные включения [b] [a], [a] [b], находим, что [a] = [b].

Предложение 13. Пусть M множество, и отношение эквивалентности на M. Любые два класса эквивалентности относительно этого отношения или не пересекаются, или совпадают.

Доказательство. Если пересечение классов эквивалентности [a] и [b] непусто, то существует элемент c 2 M, такой что c 2 [a] и c 2 [b]. Но тогда по лемме 1 [a] = [c] и [b] = [c], то есть [a] = [b].

3 Классы вычетов

Пусть опять A коммутативное ассоциативное кольцо с 1, и пусть n 2 A. Как мы отметили в начале параграфа, сравнение по модулю n является отношением эквивалентности; классы элементов из A от-

носительно этого отношения эквивалентности называются классами вычетов по модулю n. Класс вычетов по модулю n, определенный

элементом a 2 A, будем обозначать [a]n, или, когда ясно, о каком мо- дуле идет речь, просто [a]. Еще раз подчеркнем, что класс вычетовэто подмножество A. Как и для любого отношения эквивалентности, элемент b 2 A принадлежит классу вычетов [a]n тогда и только тогда, когда [a]n = [b]n, а любые два класса вычетов по модулю n или не пересекаются, или совпадают.

4 Кольцо классов вычетов

Пусть A коммутативное ассоциативное кольцо с 1, и пусть n 2 A. Обозначим через A=(n) множество всех таких подмножеств A, которые являются классами вычетов по модулю n. Таким образом, мно-

27

жество X A является элементом A=(n) если и только если суще-

ствует элемент a 2 A, такой что X = [a]n. Конечно, этот элемент a, вообще говоря, не единственный; подойдет любой элемент из множества X.

Для того, чтобы сделать это определение более понятным, опишем явно множество классов вычетов для случая A = Z.

Предложение 14. Пусть n 2 Z, n > 0. Тогда множество классов вычетов Z=(n) состоит из n классов [0]n, [1]n, ... , [n 1]n.

Доказательство. Пусть a 2 Z, и пусть r остаток от деления a на n. Тогда a r = nq n, где q неполное частное; следовательно, a r (mod n). Таким образом, r 2 [a]n, и потому по лемме [a]n = [r]n. Остается заметить, что 0 r < n, то есть что [a]n = [r]n îäèí èç классов [0]n, [1]n, ... , [n 1]n, и что эти классы попарно различны, ибо при 0 i; j < n, i 6= j разность i j не делится на n.

Определим теперь на множестве классов вычетов A=(n) две алгебраические операции сложение и умножение. Пусть ; 2 A=(n). Напомним, что и подмножества A. Выберем в них какие-то элементы a 2 A, b 2 A, так что = [a]n, = [b]n, è ïîëî- æèì + = [a + b]n, = [ab]n. На первый взгляд эти определения

некорректны, так как зависят от выбора представителей в классах, . Однако, если a0 2 , b0 2 другие представители тех же

классов, то a0 a (mod n), b0 b (mod n), и по утверждению (4) предложения 9 будет a0 + b0 a + b (mod n), a0b0 ab (mod n), òàê ÷òî [a0 + b0]n = [a + b]n, [a0b0]n = [ab]n, то есть определенные нами сум- ма и произведение классов , не зависят от выбора представителей

в классах.

Определения суммы и произведения классов удобно использовать в следующей форме: [a]n + [b]n = [a + b]n, [a]n[b]n = [ab]n.

Теорема 10. Пусть A коммутативное ассоциативное кольцо с 1, и пусть n 2 A. Тогда множество классов вычетов A=(n) явля-

ется относительно только что определенных операций сложения и умножения коммутативным ассоциативным кольцом с 1.

Доказательство. Надо проверить, что выполняются аксиомы коммутативного ассоциативного кольца с 1. Напомним эти аксиомы.

(1)+ ( + ) = ( + ) + для любых ; ; 2 A=(n) (ассоциативность сложения);

(2)+ = + для любых ; 2 A=(n) (коммутативность сложения);

(3)существует такой элемент 0 2 A=(n), что 0 + = для любого 2 A=(n);

28

(4)для любого 2 A=(n) существует элемент 2 A=(n), такой что + ( ) = 0;

(5)( ) = ( ) для любых ; ; 2 A=(n) (ассоциативность умножения);

(6)= для любых ; 2 A=(n) (коммутативность умножения);

(7)существует такой элемент 1 2 A=(n), что 1 = 1 = для любого 2 A=(n);

(8) ( + ) = + , ( + ) = + для любых

; ; 2 A=(n) (дистрибутивность умножения относитель-

[0], [1], [ a]. Проверим, что соотношения (1) - (8) выполняются.

(1) В кольце A выполняется соотношение a + (b + c) = (a + b) + c, поэтому

+ ( + ) = [a] + ([b] + [c]) = [a] + [b + c] = [a + (b + c)] =

=[(a + b) + c] = [a + b] + [c] = ([a] + [b]) + [c] = ( + ) + :

(2)В кольце A выполняется соотношение a + b = b + a, поэтому

+ = [a] + [b] = [a + b] = [b + a] = [b] + [a] = + :

(3)В кольце A выполняется соотношение 0 + a = a, поэтому

0 + = [0] + [a] = [0 + a] = [a] = :

(4) В кольце A выполняется соотношение a + ( a) = 0, поэтому

+ ( ) = [a] + [ a] = [a + ( a)] = [0] = 0:

(5) В кольце A выполняется соотношение a(bc) = (ab)c, поэтому

( ) = [a]([b][c]) = [a][bc] = [a(bc)] = [(ab)c] =

=[ab][c] = ([a][b])[c] = ( ) :

(6)В кольце A выполняется соотношение ab = ba, поэтому

= [a][b] = [ab] = [ba] = [b][a] = :

(7)В кольце A выполняется соотношение 1 a = a, поэтому

(8) В кольце A выполняется соотношение a(b+c) = ab+ac, поэтому

( + ) = [a]([b] + [c]) = [a][b + c] = [a(b + c)] = [ab + ac] = = [ab] + [ac] = [a][b] + [a][c] = + :

29

5 Кольцо Z=(n)

Как мы видели, кольцо Z=(n) состоит из n элементов

[0]n; [1]n; [2]n; : : : ; [n 1]n:

Для того чтобы сложить или перемножить два таких элемента [i]n, [j]n, надо сложить или перемножить определяющие их целые числа i, j, а затем получившийся результат заменить на его остаток от деления на n; класс этого остатка и будет результатом соответствующего действия. Например, [6]11 + [7]11 = [2]11, [6]11 [7]11 = [9]11, потому что остатки от деления чисел 6 + 7 = 13, 6 7 = 42 на 11 равны

соответственно 2 и 9.

В качестве примера приведем таблицы сложения и умножения для кольца Z=(6). В левом вертикальном ряду каждой из этих таблиц

указаны все возможные значения элемента 2 Z=(6), а в верхнем горизонтальном ряду значения элемента 2 Z=(6). На пересечении

соответствующих рядов в первой таблице указано значение суммы+ , а во второй таблице значение произведения .

Глядя на эти таблицы, мы можем заметить, что сложение и умножение коммутативны обе таблицы симметричны относительно диагонали. Далее, сразу видно, что есть нулевой элемент, прибавление которого к любому элементу не меняет этот последний элемент, и, аналогично, есть единичный элемент для умножения. То, что в каждой строке таблицы сложения есть [0], показывает, что для каждого

элемента есть противоположный элемент . Конечно, ассоциа-

тивность сложения и умножения и дистрибутивность в этих таблицах так наглядно не проявляются.

Глядя на таблицу умножения для Z=(6), замечаем, что в ней довольно много нулей. Так, [4] [3] = [0], хотя оба сомножителя [4] и [3] отличны от [0]. Таким образом, хотя Z=(6) коммутативное ассо-

циативное кольцо с 1, оно не является областью целостности: в нем есть делители нуля.

30