Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975

(25.37)

Для второго игрока аналогичным образом необходимо найти оптимальную максиминную стратегию V = V0 из условий

(25.38)

В этом случае второй игрок обеспечит себе выигрыш не меньше значения

(25.39)

Первый игрок не может иметь гарантии, что его проигрыш будет меньше,

чем минимальный выигрыш ψ (V0), который в соответствии с (25.39) гарантируется второму игроку. Поэтому η (U°) > ψ (V0). В случае равенства η (U°) = ψ (V0) возникает так называемая седловая точка игры, для которой

(25.40)

а также

(25.41)

Оптимальные стратегии U° и V0, соответствующие седловой точке игры, определяют для каждого игрока наилучший способ действий. Отклонение любого из игроков от оптимальной стратегии (при условии, что второй игрок придерживается своей оптимальной стратегии) может только ухудшить его результат.

Оптимальные минимаксная и максиминная стратегии U° и V0, не соответствующие седловой точке игры, не обладают подобным свойством.

Примеры дифференциальных игр и методы решения таких задач, как конфликтная задача сближения, игровая задача наведения, информационная игровая задача, задача оптимального преследования и уклонения и др. изложены в работе [64].

ЛИТЕРАТУРА

1.Айзерман М. А., Теория автоматического регулирования. Изд-во «Наука», 1966.

2.Айзерман М. А., Гантмахер Ф. Р., Абсолютная устойчивость регулируемых систем. Изд-во АН СССР, 1963.

3.Андронов А. А., Витт А. А., Xаикин С. Э., Теория колебаний. Изд. 2-е, Физматгиз, 1959.

4.Анисимов В. И., Вавилов. А. А., Фатеев А. В., Сборник примеров и задач по линейной теории автоматического регулирования. Госэнергоиздат, 1959.

5.Беллман Р., Динамическое программирование. Изд-во иностр. литер., 1959.

6. Беллман Р., Процессы управления с адаптацией. Изд-во «Наука», 1964.

7.Беллман Р ., Введение в теорию матриц. Изд-во «Наука», 1969.

8.Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О., Некоторые вопросы математической теории процессов управления. Изд-во иностр. литер., 1962.

9.Беллман Р., Дрейфус С., Прикладные задачи динамического программирования. Изд-

во «Наука», 1965.

10.Бесекерский В. А., Динамический синтез систем автоматического регулирования. Изд-

во «Наука», 1970.

11.Под ред. Бесекерского В. А., Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления. Изд. 4-е, изд-во «Наука», 1972.

12.Бесекерский В. А., Востоков С. В., Цейтлин Я. М., Электромеханические сглаживающие устройства. Изд-во «Судостроение», 1964.

13.Бесекерский В. А., Попов Е. П., Теория систем автоматического регулирования. Изд-во

«Наука», 1966.

14.Бесекерский В. А., Фабрикант Е. А., Динамический синтез систем гироскопической стабилизации. Изд-во «Судостроение», 1968.

15.Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Изд. 2-е, Физматгиз, 1958.

16Боднер В. А., Теория автоматического управления полетом. Изд-во «Наука», 1964.

17.Боднер В. А., Козлов М. С., Стабилизация летательных аппаратов и автопилоты. Оборонгиз, 1961.

18.Болтянский В. Г., Математические методы оптимального управления. Изд-во «Наука», 1966.

19.Булгаков Б. В., Колебания. Гостехиздат, 1954.

20.Бутенин Н. В., Элементы теории нелинейных колебаний. Судпромгиз, '1962.

21.Быховский М. Л., Чувствительность и динамическая точность систем управления. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1964, № 6.

22.Вавилов А. А., Частотные методы расчета нелинейных систем. Изд-во «Энергия», 1970.

23.Ван - Трис Г., Синтез оптимальных нелинейных систем управления. Изд-во «Мир», 1969.

24.Васильев Д. Ф., Митрофанов Б. А., Рыбкин Г. Л. и др., Проектирование и расчет следящих систем. Изд-во «Судостроение», 1964.

25.Васильев Д. В., Чуич В. Г., Системы автоматического управления. Изд-во «Высшая школа», 1967.

26.Виленкин С. Я., Статистические методы исследования стационарных процессов и систем автоматического регулирования. Изд-во «Советское радио», 1967.

27.Власов Н. П., Теория линейных следящих систем, работающих на переменном токе. Изд-во «Энергия», 1964.

28.Воронов А. А., Основы теории автоматического управления. Часть I. Линейные системы регулирования одной величины. Изд-во «Энергия», 1965.

29.Воронов А. А., Основы теории автоматического управления. Часть П. Специальные линейные и нелинейные системы автоматического регулирования одной величины. Издво «Энергия», 1966.

30.Воронов А. А., Основы теории автоматического управления. Часть III. Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы. Изд-во «Энергия», 1970.

31.Гноенский Л. С., Каменский Г. А., Эльсгольц Л. Э., Математические основы теории управляемых систем. Изд-во «Наука», 1969.

32.Гольдфарб Л. С., О некоторых нелинейностях в системах регулирования. Автоматика и телемеханика, 1947, № 5.

33.Горская Н. С., Крутов И. Н., Рутковский В. Ю., Динамика нелинейных сервомеханизмов. Изд-во АН СССР, 1959.

34.Гузенко А. П., Основы автоматического регулирования. Изд-во «Наука», 1967.

35.Гусев В. Г., Двумерное z-преобразование и возможности его использования в статистической динамике дискретных автоматических систем. Автоматика и телемеханика, 1969, № 12.

36.Гусев В. Г., Методы исследования процессов управления и обработки информации в цифровых автоматических системах. Изд-во «Наука», 1972.

37.Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч., Пространство состояния в управлении. Изд-во «Наука», 1970.

38.Джеймс Х.,Никольс Н.,Фжллипс Р., Теория следящих систем. Изд-во иностр. литер., 1953.

39.Джури Э., Импульсные системы автоматического регулирования. Физматгиз, 1963.

40.Джури Е. И., Цыпкин Я. 3., Теория дискретных автоматических систем (обзор). Автоматика и телемеханика, 1970, № 6.

41.Егоров К. В., Основы теории автоматического регулирования. Изд-во «Энергия», 1967.

42.Емельянов С. В., Системы автоматического управления с переменной структурой.

Изд-во «Наука», 1967.

43.Под ред. Емельянова С. В., Теория систем с переменной структурой. Изд-во «Наука», 1970.

44.Зубов В. И., Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Судпромгиз, 1959.

45.Зубов В. И., Колебания в нелинейных и управляемых системах. Изд-во

«Судостроение», 1962.

48.Ишлинскии А. Ю., Механика гироскопических систем. Изд-во АН СССР, 1963.

49.Казаков И. Е.. Д о с т у и о в В. Г., Статистическая динамика нелинейных систем. Физматгиз, 1962.

50.Калман Р. Е., Об общей теории систем управления. Труды I конгресса ИФАК, т. 2, Изд-во АН СССР, 1961.

51.Катковник В. Я., Полуэктов Р. А., Многомерные дискретные системы управления. Изд-во «Наука», 1966.

52.Козлов Ю. М., Юсупов Р. М., Беспоисковые самонастраивающиеся системы. Изд-во

«Наука», 1969.

53..Кокотович П. В., Рутман Р. С., Чувствительность систем автоматического управления (обзор). Автоматика и телемеханика, 1965, № 4.

54.Коршунов Ю. М., О построении эквивалентного комплексного коэффициента усиления нелинейного импульсного элемента. Автоматика и телемеханика, 1962, № 5.

55.Коршунов Ю. М., Бобиков А. И., Цифровые сглаживающие и преобразующие системы. Изд-во «Энергия», 1969.

56.Косякин А. А., Статистическая теория квантоваяния по уровню. Автоматика и телемеханика, 1961, № 6.

57.К о с я к и н А. А., Устойчивость и колебания цифровых автоматических систем. Автоматика и телемеханика, 1970, №№ 3 и 4.

58.Кочетков В. Т.,Поцелуев А. В., Статистический синтез дискретных нелинейных систем управления. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1968, № 4.

59.Красовский А. А., О двухканальных системах автоматического'*регулирования с антисимметричными связями. Автоматика и телемеханика, 1957, № 2.

60.Красовский А. А., Аналитическое конструирование контуров управления летательными аппаратами. Изд-во «Машиностроение», 1969.

61.Красовский А. А., Поспелов Г. С., Основы автоматики и технической кибернетики. Госэнергоиздат, 1962.

62.Красовский Н. Н., К теории оптимального регулирования. Прикладная математика и механика, 1959, № 4.

63.Красовский Н. Н., Теория управления движением. Изд-во «Наука», 1968.

64.Красовский Н. Н., Игровые задачи о встрече движений. Изд-во «Наука», 1970.

65.Красовский Н. Н., Моисеев Н. Н., Теория оптимальных управляемых систем. Изв. АН

СССР, Техническая кибернетика, 1967, № 5.

66.Кринецкий И. И., Расчет нелинейных автоматических систем. Гостехиздат УССР, 1962.

67.Круг Е. К., Алексаидр и д и Т. М., Дилигенскии С. Н., Цифровые регуляторы. Госэнергоиздат, 1966.

68.Крутько П. Д., Дискретный аналог 6-функции Дирака. Автоматика и телемеханика, 1962, № 7.

69.Крутько П. Д., Статистическая динамика импульсных систем. Изд-во «Советское радио», 1963. ,

70.Крутько П. Д., Вариационные методы синтеза систем с цифровыми регуляторами. Издво «Советское радио», 1967.

71.Кузин Л. Т., Расчет и проектирование дискретных систем управления. Машгиз,

72.Кузовков Н. Т., Динамика систем автоматического управления. Изд-во

«Машиностроение», 1968.

73.Кунцевич В. М., Импульсные самонастраивающиеся и экстремальные системы автоматического управления. Изд-во «Техника», Киев, 1966.

74.Кухтенко А. И., Проблема инвариантности в автоматике. Гостехиздат УССР, 1963.

75.Под ред. Леондеса К. Т., Современная теория систем управления. Изд-во «Наука», 1970.

76.Лето в А. М., Устойчивость нелинейных регулируемых систем. Физматгиз, 1962.

77. Лотов А. М., Динамика полета и управление. Изд-во «Наука», 1969.

78.Лившиц Н. А., Пугачев В. Н., Вероятностный анализ систем автоматического управления, т. 1 и 2. Изд-во «Советское радио», 1963.

79.Лоицянскии Л. Г., Лурье А. И., Курс теоретической механики, т. II. Гостехиздат, 1955.

80.Лурье А. И., Операционное исчисление и его приложения к задачам механики. Гостехиздат, 1950.

81.Лурье А. И., Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. Гостехиздат, 1951.

82.Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения. Гостехиздат, 1950.

83.Мееров М. В., Системы многосвязного регулирования. Изд-во «Наука», 1965.

84.Мерриэм К., Теория оптимизации и расчет систем управления с обратной связью. Изд-

во «Мир», 1967.

85.Под ред. Мишкина Э. и Брауна Л., Приспосабливающиеся автоматические системы. Изд-во иностр. литер., 1963.

86.Нелепин Р. А., Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем. Изд-во «Судостроение», 1967.

87.Под ред. Н е тушил а А. В., Теория автоматического управления. Изд-во «Высшая школа», 1968.

88.Николаев Ю. А., Петухов В. П., Феклисов Г. Н., Чемоданов Б. К., Динамика цифровых следящих систем. Изд-во «Энергия», 1970.

89.Ньютон Д., Г у л д А., Кайзер Д., Теория линейных следящих систем. Физматгиз, 1961.

90.Оппельт В., Основы техники автоматического регулирования. Госэнергиоздат,

1960.

91.Павлов А. А., Синтез релейных систем, оптимальных по быстродействию. Изд-во

«Наука», 1966.

92.Первозванский А. А., Случайные процессы в нелинейных автоматических системах. Физматгиз, 1962.

93.Перов. В. П., Статистический синтез импульсных систем. Изд-во «Советское-радио», 1959.

94.Под ред. Петрова Б. Н., Автоматическая оптимизация управляемых систем. Изд-во иностр. литер., 1960.

95.Под ред. Петрова Б. Н., Солодовникова В. В..Топчиева Ю. И., Современные методы проектирования систем автоматического управления. Изд-во «Машиностроение», 1967.

96.Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко В. Ф., Математическая теория оптимальных процессов, Физматгиз, 1961.

97.Попов В. М., Гиперустойчивость автоматических систем. Изд-во «Наука», 1970.

98.Попов Е. П., Динамика систем автоматического регулирования. ГИТТЛ, 1954.

99.Попов Е. П., Автоматическое регулирование и управление. Физматгиз, 1962.

100.Попов Е. П., Пальтов И. П., Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. Физматгиз, 1960.

101.Под ред. Попова Е. П. и Топчиева Ю. И., Метод гармонической линеаризации в проектировании нелинейных систем. Изд-во «Машиностроение», 1970.

102.Под ред. Попова Е. П. и Топчиева Ю. И., Нелинейные корректирующие Vстройства в системах автоматического управления. Изд-во «Машиностроение», 1970.

103.Под ред. Попова. Е. П. и Федорова С. М., Методы синтеза нелинейных систем автоматического .управления. Изд-во «Машиностроение», 1970.

104.Под ред. Попова Е. П. и Нелеп.ина Р. А., Точные методы исследования нелинейных систем автоматического управления. Изд-во «Машиностроение», 1970.

105.Под ред. Попова Е. П. и Пономарева В. М., Нелинейная оптимизация систем автоматического управления. Изд-во «Машиностроение», 1970.

106.Под ред. Попова Е. П. и Доступова Б. Г., Статистические методы в проектировании нелинейных систем автоматического управления. Изд-во «Машиностроение», 1970.

107.Поспелов Г. С., Импульсные системы автоматического регулирования. В сб.

«Автоматическое управление и вычислительная техника», вып. 3, Машгиз, 1950. .

108.Пугачев В. С., Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. Физматгиз, 1963.

109.Под ред. Пугачева В. С., Основы автоматического управления. Изд-во «Наука», 1968.

110.Пупков К. А., Статистический расчет нелинейных систем автоматического управления. Изд-во «Машиностроение», 1965.

111.Розенвассер Е. Н., Юсупов Р. М., Чувствительность систем автомата ческого управления. Изд-во «Энергия», 1969.

112.Ротач В. Я., Импульсные системы автоматического регулирования. Изд-во

«Энергия», 1964.

113.Свешников А. А., Прикладные методы теории случайных функций. Судпром-гиз, 1961. .

114.Серебренников М. Г., Гармонический анализ. Гостехиздат, 1948.

115.Симкин М. М., Сложные установившиеся движения в нелинейных импульсных системах. Докл. АН СССР, т. 145, № 3, 1965.

116.Смит О. Дж. М., Автоматическое регулирование. Физматгиз, 1962.

117.Соколов Т. Н., Электромеханические системы автоматического управления. Госэнергожздат, 1952.

118.СолодовА. В., Линейные системы автоматического управления с переменными параметрами. Физматгиз, 1962.

119.Солодов А. В., Теория информации и ее применение к задачам автоматического управления и контроля. Изд-во «Наука», 1967.

120.Солодовников В. В., Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. Физматгиз, 1960.

121.Под ред. Солодов н и кова В. В., Теория автоматического регулирования. Книги I, II и III. Изд-во «Машиностроение», 1967.

122.Старикова М. В., Автоколебания и скользящий режим в системах автоматического регулирования. Машгиз, 1962.

123.Торо В. Д., Паркер С. Р., Принципы проектирования систем автоматического управления. Изд-во «Машиностроение», 1963.

124.Траксел Дж., Синтез систем автоматического регулирования. Машгиз, 1959.

125.Под ред. Траксела Дж. Дж., Справочная книга по технике автоматического регулирования. Госэнергоиздат, 1962.

126.Ту Ю. Т., Цифровые и импульсные системы автоматического управления. Изд-во

«Машиностроение», 1964.

127.Тэлер Дж., Пестель М., Анализ и расчет нелинейных систем автоматического управления. Изд-во «Энергия», 1964.

128.Удерман Э. Г., Метод корневого годографа в теории автоматического управления. Госэнергоиздат, 1963.

129. Уланов Г. М., Регулирование по возмущению. Госэнергоиздат, 1960.

130.Фатеев А. В., Основы линейной теории автоматического регулирования. Госэнергоиздат, 1959.

131.Федоров С. М., Литвинов А. П., Автоматические системы с цифровыми управляющими машинами. Изд-во «Энергия», 1965.

132.Фельдбаум А. А., Вычислительные устройства в автоматических системах. Физматгиз, 1959.

133.Фельдбаум А. А., Основы теории оптимальных автоматических систем. Изд-во

«Наука», 1966.

134.Xлыпало Е. Н., Нелинейные системы автоматического регулирования. Изд-во

«Энергия», 1967.

135.Цыпкин Я. 3., Теория релейных систем автоматического регулирования. Гостехиздат, 1955.

136.Цыпкин Я. 3., Теория линейных импульсных систем. Физматгиз, 1963.

137.Цыпкин Я. 3., Основы теории нелинейных импульсных автоматических систем. Труды II конгресса ИФАК, т. 3. Изд-во «Наука», 1965.

138. Цыпкин Я. 3., Основы теории обучающихся систем. Изд-во «Наука», 1970.

139.Чанг Шелдон С. Л., Синтез оптимальных систем автоматического управления. Изд-во «Машиностроение», 1964.

140.Чернецкий В. И., Дидук Г. А., Потапенко А. А., Математические методы и алгоритмы исследования автоматических систем. Изд-во «Энергия», 1970.

141.Честнат Г., Майер Р., Проектирование и расчет следящих систем и систем регулирования, части 1 и 2. Госэнергоиздат, 1959.

142.Четаев Н. Г., Устойчивость движения. Гостехиздат, 1946.

143.Шаталов А. С., Структурные методы в теории управления и электроавтоматике. Госэнергоиздат, 1962.

144. Юревич Е. И., Теория автоматического управления. Изд-во «Энергия», 1969.