matanaliz

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Астраханский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

c, получим F 0(c) = f0(c)

(c) = 0, откуда следует

формула (4.2).¤

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 337 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

62 Лекция 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

																y(1) = 1 + 13 = 2:																					p
Запишем уравнения касательной к кривой																														y = x +
Запишем уравнения касательной к кривой																																							3 в точке
																																					x
с абсциссой x0 =1: y ¡ 2 =																				5			1		)		,			5					1 . Пользуясь
с абсциссой x0 =1: y ¡ 2 =																				2(x ¡					)				y = 2x ¡
условием перпендикулярности двух прямых k1k2 =2 ¡1, получим
уравнение нормали в этой же точке:
															2			1												2				22
						y ¡ 2 = ¡5											(x ¡			) ) y = ¡5x +															5		:
	3.6. Примеры для самостоятельного решения
Найти производные следуþщих функцèé.
																													3	2			7									1
												4																	3	2			7		3							1
1. y = 2x5												4		+ 1 + 2px 2. y = 3 px + px																									1		+
1. y = 2x5														+ 1 + 2px 2. y = 3 px + px																											+
									¡ x2							x											2												3			x5
									¡ x2							x											2										¡ px					x5
																																					4		3
																																					4		3
3. y = sin2x											²		px . 4. y = sin5x										²				1			cos3x						¢	px
																											3			5
																										px ..				5
6. y = tg3x ¢ ln (4x) . 7. y = ctg (5x) ¢ ln3 (2x). 8. tg(5x) ¢ 23x
9. y =				arctg (x)													y =		arcsinx					.		11. y =						lnx							cosx
9. y =																	y =							.		11. y =										12.				x
					1						2 .				10.					1		2											x .			12.				x
							+ x													1	¡ x	2
13.			y =							x3							y =psin22x.											15.		y = 3sinx.									16.			y =
13.			y =					x2 + 1									y =psin22x.											15.		y = 3sinx.									16.			y =
= arcsin (p								x2 + 1							14.
							).
						x	).
17. y = tg2 (lnx) 18. y = log32 (tgx). 19. y = log5																																						tg2x
y = arcsin						42x																															¡		¢.			20.
21.			5						p	x											22.					y			=	cos3(3x)ln(5x)												23
				¡cos						¢ ln(x2 + 1).											22.					y			=	cos3(3x)ln(5x)												23
	3	2			3
y = px			ln ( x)
24.											5		4				3tg2x.				25.										2		5						3			26.
											5		4				3tg2x.				25.										2		5						3			26.
											p		x		²											y			=	ln			( x) ² px
y =	7cos3x y =												x		²											y			=	ln			( x) ² px
y =			ctg (3x)

27. y = (sinx)x. 28. y = (tgx)x. 29. y = (sinx)cosx 30. y = xlnx

Найти производные от y ïî x, когда функция задана в пара-

метрической форме.

y = 4sin3t,

y = t ¡ t3,

y = 3sint,

½ x = 4cost:

32.

½ x = 4cos3t:

33.

½ x = 1 ¡ t2:

y =

t ¡ 1

34.

35.

Составить уравнения касательной и

t + 1

< x =

y = f(x)

в точке

для функции

нормали:

1 , 0

, 0

) y = arctgx x =

) y = ln ¡x

¢ x =

3.6. Примеры для самостоятельного решения

Составить уравнения касательной и нормали для функций, за-

данных в параметрической форме, в точке t0

36.

y = cos2t,

y = t(tsint + 2cost),

½ x = sint,

t0 = ¼=6. 37.

½ x = t(tcost ¡ 2sint), t0 = ¼=4:

Найти производные второго порядка.

2 . 39.

y =

5cos3x 40.

. 41.

y = tg

38. y = xpx

y = sin

y =

=? 46.

y =

sin t

42. y = ln

x2 + 1 . 43. y = arctg2x. 44. y = arcsin2x

cos2t, d2y

3 ,

d2y

45.

½ x = sint,

½ x = 2cos3t,

47.

dx2

½ x = t2,

dx2

y = lnt,

d2y

3.6.1.

Ответы:.

1. 10x4 +

+ p1

. 2.

¡ x

7px4

¡ x6

3xpx

sin2x

5cos5x

sin5x

3cos3x

x cos x +

xpx

4px

sin x

+ tg3x

ctg (5x)

5 ln3 (2x)

5²23

3ln (4x)

cos2 (3x)

xln3

sin2 (5x)

cos2 (5x)

+ 3tg(5x) ² 23xln2 .

x12 ln ³x´.

1 + x2

10.

¡ (1 ¡ x2)3

11.

2xarctg (x)

+ xarcsinx

qx4 + 3x2

12.

xsinx + cosx

¡x2 + 1¢

2 . 14. 2sin (4x).

15.

13.

ln3 ² 3sinxcosx.x16.

2 ² 42xln4

17. 2tg (lnx)

px ¡4log3 (tgx)

21. 5cospx

ln5sinpx ln(x2 + 1)

xcos2 (lnx). 18.

ln3 ² sin2x.

19. ln5 ² sin2x. 20.

44x .

¶.

x2 + 1

22.

cos3(3x)

9cos2(3x)sin(3x)ln5x. 23.

ln9x2 + 3 .

3px

5px

. 25. px2

cos

tg x

px4

tg xln3

ln25x

24.

2ln5x +

³ln

26. ¡3 ²

cos x + sin23x´.

7cos3x

³ln (tgx) +

´.

27. (sinx)

(ln (sinx) + xctgx).

28. (tgx)

sin2x

64 Лекция 3.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

(

lnx

µ sinx

¶.

29.

sinx)cosx

cos2x

sinxln (sinx)

30.

lnx

31. ¡

3ctgt.

32. tgt. 33. 3t2 ¡ 1

. 34. -1.

35 à

3 ,

, á

) y =

4x +

y = ¡ x +

) y =

= 0, 8x + ln5 ¡ 1, 6, y = ¡1, 25x + ln5 + 2, 5: 36 4x + 2y ¡ 3 =

0; 2

x ¡

y +

37.

x + y = ¼

16;

= y ¡ x = ¼

9pxsin.

2x2

¡ x

38.

39. 9

5cos3xln5

sin23xln5

cos3x . 40. 8cos4x

41.

2 . 43.

2 :

¡ cos33x . 42.

x2 + 1

4x2 + 1

44.

¢46.

1¡

47.

q¡1 ¡ 4x2¢3 .

45.

6cos4tsint

2t4 .

Ë å ê ö è ÿ 4

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ. ЭКСТРЕМУМЫ ФУЕКЦИИ

4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления


Определение 4.1.				Функция	f(x) называется возраста-
þùåé	(убывающей)			в точке	x = c, åñëè â	окрестности
этой точки f(x)			< f(c), когда x < c, f(x)			> f(c), когда
x > c, (f(x) > f(c), когда x < c, f(x) < f(c), когда x > c).
Теорема 4.1. Для того, чтобы дифференцируемая функция
f(x) точке x = c			была возрастающей (убывающей) в этой
точке,0	необходимо0		и достаточно, чтобы выполнялось условие
f (cÄ î ê		¡à ç à ò å ë¢.ь с т в о. Необходимость. Докажем теорему
) > 0		f (c) < 0

для возрастающей функции. Функция возрастает в точке x = c.

Из условия0 дифференцируемости следует существование производной f (c) (Теорема 3.1). Из определения производной имеем

" > 0

± > 0

< ± =

f(x) ¡ f(c)

f0(c) < " : Ðàñ-

j ¡

)

x ¡ cf(x)¡ f(c)

кроем последнее неравенство f0(c)¯

" <

¯< f0

x ¡ c

Возьмем " < f

f0(c). По условию¯

¯функция возрастает в точке x = c. В соответ-

ствии с определением¯ ¯

в окрестности этой точки

f(x) < f(c),

когда x < c, f(x) > f(c), когда

x > c. Тогда

f(x) ¡ f(c)

> 0.

f(x) ¡ f(c)

x ¡ c

Из неравенства

< f0(c) + " следует f0(c) + " > 0. Â

x ¡ c

этом случае f

f0(c)

Достаточность. f0(c) > 0. Рассуждая так же, как при до-

получаем

f(x) f(c)

По условию

" <

¯f (c)¯

¯0. Òî¯-

казательстве необходимости

выбирая

величину

f (c)

" <

< f (c) + ":

f (c) >

ãäà

3 Цыкунов А. М.

f0(c) <6

66				Лекция 4. Основные теоремы. Экстремумы фуекции
	f0(c) + " > 0, f0(c) ¡ " > 0: В этом случае
							)	f(c) > 0,			f(x) > f(c),
	f(x) ¡ f(c)			> 0		2 ½ f(xx ¡¡ c > 0,				2 ½	x > c,
	f(x) ¡ f(c)			> 0		2 ½ f(xx ¡¡ c > 0,				2 ½
	x	¡	c		()	6	)	f(c) < 0,	()	6	) < f(c),
		¡			()	6	f(xx	¡ c < 0,	()	6	f(xx < c,
						6	½	¡		6 ½
						4				4

откуда, в соответствии с определением, следует, что функция возрастает.¤

Определение 4.2. Функцияf(x) имеет в точке x = c ëî-

кальный максимум (минимум), если существует окрестность точки c такая, что в этой окрестности выполнено неравен-

ñòâî f(x) < f(c),

(f(x) > f(c)): Локальный максимум и локальный минимум

называются точками экстремумами.

Иными словами, в окрестности точки x = c значение f(c)

является наибольшим (наименьшим) значением.

Теорема 4.2. (Теорема Ферма о необходимом условии нали- чия экстремума) Если функция f(x) дифференцируема на (a; b)

и в точке c 2 (a; b) имеет экстремум, то f0(c) = 0:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как в точке x = c локальный экстремум, то функция f(x)в этой точке не возрастает и не

убывает. В соответствии с теоремой 4.1 в этой точке < 0 è f0(c) >6 0. Следовательно, f0(c) = 0:¤

Теорема 4.3. (теорема Ролля) Если функция y = f(x)

непрерывна	на отрезке [a; b], дифференцируема на (a; b) è
f(a) = f(b),	то существует точка c 2 [a; b] такая, что
f0(c) = 0:
Ä î ê à	з а т е л ь с т в о. Из условий непрерывно-
сти следует,	что функция достигает на отрезке M = sup f(x)

è m = inf f(x) (теорема 2.7). Рассмотрим два случая. 1. M =

= m = const Тогда f0(x) = 0 для любого x 2 [a; b]. 2. M > m В этом случае, хотя бы одно из значений M èëè m, достигается

во внутренней точке c сегмента. Следовательно, в этой точке имеется экстремум и f0(c) = 0:¤

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что внутри сегмента имеется, хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

Теорема 4.4. (теорема Лагранжа) Если функция y = f(x)

непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на (a; b), òî

Теорема 4.5.

Êîøè) Если функции

4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления

существует точка c 2 [a; b] такая, что справедлива формула

f(b) ¡ f(a) = f0(c)(b ¡ a):

(4.1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем на сегменте [a; b]

вспомогательную функцию F (x) = f(x) ¡ f(a) ¡ f(b) ¡ f(a)(x ¡

b ¡ a

¡ a): Эта функция непрерывна и дифференцируема. Кроме того

F (a) = F (b) = 0: Выполнены условия теоремы Ролля. Тогда су-

ществует точка	c 2 (a; b)				такая, что			F 0(c) = 0: Вычислим
производную F 0(x) = f0(x)				¡		f(b) ¡ f(a)		Подставив значение	c,
						b ¡ a
получим F 0(c) = f	0(c)	¡	f(b) ¡ f(a)				= 0, откуда следует формула
				b	¡	a
f(b) ¡ f(a) = f0(c)(b ¡ a):¤

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что на сегменте [a; b] найдется, хотя бы одна точка, в которой

касательная параллельна хорде, соединяющей точки f(a) è f(b).

На рис. 4.1 касательная в точке C параллельна хорде AB.

Формулу Лагранжа (4.1) еще называют формулой конечных приращений.

(теорема

f(x) è g(x)

непрерывны на сегменте [a; b],

дифференцируемы во всех внутренних точках этого сегмента и g(x) 6= 0 для любых

x 2 [a; b], то существует

точка c 2 (a; b) такая, что справедлива формула

f(b) ¡ f(a)

f0(c)

Ðèñ. 4.1.

(4.2)

g(b) ¡ g(a)

g0(c)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем на сегменте [a; b] вспомога-

тельную функцию F (x) = f(x)

f(a)

f(b) ¡ f(a)

(g(x)

g(a)):

¡ g(b) ¡ g(a)

Эта функция

непрерывна

и дифференцируема.

Кроме

òîãî,

F (a) = F (b) = 0: Выполнены условия теоремы Ролля. Тогда су-

ществует точка

c 2 (a; b)такая, что

F 0(c) = 0:Вычислим про-

изводную F 0(x) = f0(x)

f(b) ¡ f(a)

(x): Подставив значение

¡ g(b)

g(a)

68 Лекция 4. Основные теоремы. Экстремумы фуекции

4.1.1. Раскрытие неопределенностей (правило Лопита-

ля). Рассмотрим правило Лопиталя, которое являетсяh0универi h i- сальным способом раскрытия неопределенностей вида 0 , 11

Теорема 4.6. Пусть функции f(x) è g(x) дифференцируемы в окрестности некоторой точки c, за исключением, может

быть, самой точки c è

lim f(x) =

lim g(x) = 0: Кроме то-

x!0

ãî, â 0данной окрестности g0

(x) 6= 0: Тогда, если существует

lim

f (x)

lim

f(x)

(x)

, то существует

g(x) и справедлива формула

lim

f(x)

= lim

(x)

(4.3)

g(x)

(x)

x!0

x!0 g0

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доопределим значения функций в точке x = c, f(c) = g(c) = 0. Тогда функции будут непрерывны

на сегменте [c; x] и дифференцируемы внутри этого сегмента.

Выполнены условия теоремы Коши, в соответствии с которой

имеем

f(x) ¡ f(c)

f0(»)

[c; x]:

g(x) ¡ g(c)

g0(») ,

(x) 6= 0, то существует

f0(x)

Òàê êàê g

g0(x)

Принимая во внимание

доопределение значений функций f(c) = g(c) = 0, получим

f(x)

f0(»)

» 2 [c; x]:

g(x)

g0(»)

Найдем

пределы

lim

f(x)

= lim

(»)

c, переменная

g(x)

x!0

x!0 g0

(») . Ïðè

» ! c. Поэтому можно записать

f0(x)

lim

f(x)

= lim

:¤

g(x)

x!0

x!0 g0(x)

Неопределенность

сводится к неопределенности

Формула (4.3) справедлива и для неопределенности типа

[ ¢ 1]

èëè

4.2. Формула Тейлора

. Следует отметить, что число c может быть любым числом,

в том числе

§1

2¢

x 0

(tg x)2

x 0

Примеры

4.1.

lim

sin x2

= lim

sin x2

lim

2xcos x2

(cos x2cos2x) =

lim x³

h i

(tg x)

= x!0

2tgx

x!0 tgx

x´

³cos

= lim

= 1:

В данном случае два раза воспользовались

³cos2x

правилом Лопиталя, так как после первого применения этого

правила неопределенность не была раскрыта.

логарифмируем это

ln y = sin x ln x

è ïðî-

á)

lim xsin x =

. Введем обозначение y = xsin x

x!0

равенство

. Решив это урав-

нение y = esin x ln x

получим lim xsin x = lim esin x ln x

Принимая

x!0

во внимание непрерывность экспоненциальной функции, получа-

åì

lim esin x ln x

= lim e(sin x ln x). Вычисляем предел (sin x ln x):

x!0

Имеем неопределенность [¡1 ¢ 0] : Преобразуем выражение под

знаком предела

¡1

sin2x

lim

ln x

= lim

lim

x0!

1 i

cosx

¡ x! x

x! cosx

sinx

sin2x

sin

sin x

= h00

i 1

¡ x!0

= 0: Â

результате

получаем

x!0

lim

lim x

= e = :

4.2. Формула Тейлора

Теорема 4.7. (теорема Тейлора) Если функция f(x) имеет в окрестности некоторой точки a производные до n + 1-ого порядка включительно, тогда между точками a è x найдется точка » такая, что будет справедлива формула

f(x) = f(a) +		f0(a)	(x ¡ a) +	f00(a)	(x ¡ a)2 + ¢¢¢ +
		1!		2!
	f(n)(a)				(4.4)
+			(x ¡ a)n + Rn+1(x),
		n!

окрестности точки x = a и возьмем переменную Введем вспомогательную функцию

70 Лекция 4. Основные теоремы. Экстремумы фуекции

ãäå R		1(x) =	x ¡ a		p	(x ¡ »)n+1	f(n+1)(») остаточный член
	n+		³x ¡ »	´
						n!p

p > 0 произвольное число.

Äо к а з а т е л ь с т в о. Возьмем полином '(x, a) =

=f(a) + f0(a)(x ¡ a) + f00(a)(x ¡ a)2 + ¢¢¢ + f(n)(a)(x ¡ a)n:

1! 2! n!

Тогда из (4.4) получим Rn+1(x) = f(x) ¡ '(x, a): Задача состоит в доказательстве того, что данная разность равна остаточному члену, приведенному в теореме. Зафиксируем значение x > a â

t 2 [a; x]:

Ã(t) = f(x) ¡ '(x, t) ¡ (x ¡ t)p G(x), G(x) = Rn+1(x):

(x ¡ a)p

Подставим значение полинома '(x)


Ã(t) = f(x) ¡ (f(t) +			f0(t)	(x ¡ t) +	f00(t)	(x ¡ t)2 + ¢¢¢ +
			1!		2!
+	f(n)(t)	(x ¡ t)n) ¡ (x ¡ t)p G(x):
	n!

Эта функция непрерывна и дифференцируема. Проверим ее значение на концах сегмента [a; x]. Очевидно, что в точке

t = x, Ã(x) = 0: Подставим значение t = a, принимая во внима-

ние равенство G(x) =	Rn+1(x)	и формулу (4.4) Ã(a) = f(x) ¡
	(x ¡ a)p

¡ f(x) = 0. Функция Ã(t) удовлетворяет условиям теоремы Рол-

ля. Тогда, существует точка » 2 [a; x] такая, что Ã0(») = 0: Вычислим Ã0(t) =

= ¡ µf0(t) ¡ f

01(!t) + f 1(!t)(x ¡ t) + f 2(!t)

(x ¡ t)2 ¡ 2f 2(!t)

(x ¡ t) +

000

+ ¢¢¢ + f

(t)(x ¡ t)n

¡ nf( n!(t)

(x ¡ t)n¡1

¡ p (x ¡ t)p¡1 G(x)¶ =

(n+1)

¡f(n+1)(t)(x ¡ t)n + p (x ¡ t)p¡1 G(x): n!

Подставив t = », получим ¡		f(n+1)(»)			(x ¡ »)n + p (x ¡ »)p¡	1	G(x),
		n!
	f(n+1)		(»)		1. Принимая во
откуда имеем G(x) =				(x ¡ »)n¡p+
		n!p

= o ((x ¡ a)n) .

Из формулы

4.2. Формула Тейлора

внимание

равенство

G(x) =

Rn+1(x)

, определим

Rn+1(x) =

n+1

(x ¡ a)

p, можно получить

(x ¡ »)

x ¡ a

f(n+1)(»): ¤

n!p

Придавая различные значения величине

различные

формы

остаточного члена. Пусть p = n + 1. Тогда

будем иметь

1(x) =

x ¡ a

n+1

(x ¡ »)n+1

f(n+1)(») =

f(n+1)(»)

a)n+1 :

(n + 1)!

³x ¡ » ´

n!(n + 1)

Эта форма остаточного члена является формой Лагранжа.

Остаточный член в форме Пиано. Покажем, что при сделанных предположениях относительно функции f(x), Rn+1(x) =

Rn+1(x) = f(x) ¡ '(x, a) следуют равенства:

(n)

Rn+1(a) = Rn+1(a) = Rn+1

(a) = ¢¢¢ = Rn+1(a) = 0:

Найдем

предел

lim

Rn+1(x)

, применив

n ðàç

правило

Ëîïè-

x!a

(x ¡ a)

(x)

òàëÿ lim

Rn+

= lim

Rn+1(x)

¢¢¢

lim

Rn+1

(x ¡ a)n

a)n¡1

x!a

x!a n (x

x!a

n!(x ¡ a)

R(n)

(x)

= lim

n+1

= 0:

Èç

правила

сравнения

бесконечно

малых

x!a

следует равенство

Rn+1(x) = o ((x ¡ a)n) :¤

Если в формуле (4.4) a = 0, то она называется формулой

Маклорена

f(x) = f(0) +

f0(0)

x +

f00(0)

x2 + ¢¢¢ +

f(n)(0)

xn + Rn+1(x):

(4.5)

Примеры 4.2. à) Пусть f(x) = ex Разложим функцию по

формуле

Маклорена

остаточным

членом

форме

Пиано.

f(0) = 1, f(n)

(0) = 1 для любого значения n. Тогда, получим

x 3

ex = 1 + x +

+ ¢¢¢ +

+ o(xn):

á) f(x) = sin x, f(0) = 0, f(n)(x) = sin (x + n

), f(2m)(0) =

= sinm¼ = 0,

m¡

)(0) = sin ³m¼ ¡

´ = (¡1)m¡

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 337 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.04.2015590.18 Кб23L_r_OpenOffice_org_Impress_samostoyatelno.pdf
#
12.04.20151.56 Mб52makeeva3английсский тех перевод.pdf
#
12.04.20153.28 Mб18Manual.pdf
#
26.09.2019108.03 Кб9marketing_ekzamen.doc
#
11.11.2019231.42 Кб11Markets Дроздова.doc
#
15.03.20161.91 Mб23matanaliz.pdf
#
12.04.20151.18 Mб38matrialka_otvety.docx
#
19.11.2019851.43 Кб18meeting people (2).docx
#
12.04.2015648.06 Кб19mehanika1980.pdf
#
12.04.2015424.45 Кб101MEKhANIKA_FIZIKA.doc
#
12.04.20153.21 Mб8MetodDB.pdf