matanaliz

22 Лекция 1. Введение в математический анализ

(xn > xn+1) 8n, то последовательность называется возрастающей (убывающей) или строго возрастающей (строго убывающей).

Такие последовательности называются еще монотонными.

Теорема 1.13. Если монотонная последовательность fxng ограничена сверху (снизу) и A > xn (B 6 xn), òî îíà ñõî-

дится и nlim!1 xn = A, (nlim!1 xn = B)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем теорему для возрастающей последовательности. По определению 1.6. Если xn < A, òî 9N >

> 0 : xN > A ¡ " : Òàê êàê fxng возрастающая 8n > N, A ¡ " <

< xN < xn 6 A < A + " =) A ¡ " < xn < A + " =) 8" >

Получили сумму единицы с суммой геометрической прогрессии, у которой первый элемент равен единице, а знаменатель 1/2. Сумма этой прогрессии равна двум. В результате имеем

Этот предел носит название второго замечательного предела.

1.2.6. Подпоследовательности и частичный предел последовательности.. Определение 1.13. Последовательность fzkg называется подпоследовательностью последовательно-

"-окрестности точки b имеется бесконечно много элементов

этой последовательности.

Пример 1.11. Последовательность fsin °ng , 0 < ° < 1 íå

Из данного определения и теоремы 1.9 следует, что сходящиеся последовательности имеют только одну предельную точку, совпадающую с пределом.

Теорема 1.14. (Больцано-Вейерштрасс) Из любой ограни- ченной последовательности можно выделить сходящую подпоследовательность.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если последовательность fxng ограничена, то существуют числа aè b такие, что a 6 xn 6 b. В сегменте [a; b] имеется бесконечно большое количество элемен-

тов последовательности fxng. Разделим данный сегмент пополам и возьмем ту половину, в которой имеется бесконечно много элементов последовательности fxng. Обозначим этот сегмент

[a1; b1] . Этот сегмент снова разделим пополам и возьмем ту

половину, в которой имеется бесконечно много элементов последовательности fxng. Обозначим полученную половину сегмента

[a1; b1] через [a2; b2]. Будем повторять эту процедуру беско-

нечное число раз. В результате получим систему вложенных сегментов. Воспользуемся следствием к теореме 1.13, согласно которому существует единственная точка », принадлежащая

всем сегментам. При этом nlim!1 bn = nlim!1 an = ». Если из каждого k сегмента взять одну точку yk, то получим сходящую подпосле-

довательность fykg. Ïðè ýòîì lim yk = »:¤ Из этой теоремы следует k!1

С л е д с т в и е. Ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку. Действительно, точка » является

пределом последовательности. Следовательно, в ее окрестности имеется бесконечно большое количество элементов последовательности. Это означает, что она является предельной точкой.

Теорема 1.15. Если последовательность имеет предельную точку, то из нее можно выделить сходящую подпоследовательность.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.14. Возьмем сегмент [a; b], внутри которого находится предельная

точка последовательности. Далее, повторяя рассуждения, приведенные в доказательстве теоремы 1.14, получим справедливость утверждения.

1.2.7. Необходимые и достаточные условия сходимости последовательностей. Теорема 1.16. Для того чтобы после- довательность fxng сходилась к числу A необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и чтобы ее верхний и нижний пределы x è x совпадали.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Если последовательность fxng сходится, то она ограничена и имеет одну

предельную точку (Теоремы 1.9, 1.10). Следовательно x= x Достаточность. В интервале (x ¡ "; x + ") содержатся все

элементы последовательности, начиная с некоторого номера N. Òàê êàê x= x, то данный интервал совпадает с окрестностью точки A, ò. å. A является пределом последовательности fxng :¤

Определение 1.16 Последовательность fxng называется фундаментальной, если 8" > 0 9N > 0; n > N,

) jxm ¡ xnj < ":

Теорема 1.17. (Критерий Коши) Для того чтобы последовательность fxng сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Если последовательность fxng сходится к числу A, òî 8" > 0 9N > 0; n >

> N =) jxn ¡ Aj < "=2

Пусть n > N, m > N: Тогда, jxm ¡ xnj = j(xm ¡ A) ¡ (xn ¡ A)j 6

6 jxm ¡ Aj + jxn ¡ Aj < "=2 + "=2 = ": Доказали, что последовательность fxng фундаментальная.

Достаточность. Последовательность fxng фундаментальная. Пусть m = n + k, k 2 N: Тогда, начиная с некоторого номера

Nвсе элементы последовательности будут находиться внутри

x. В соответствии с теоремой 1.16 такая последовательность сходящаяся.?

1.3. Контрольные вопросы

1. Что такое модуль комплексного числа?

2. Что такое аргумент комплексного числа?

3. Объясните геометрическую интерпретацию комплексного числа.

4. Объясните, какие формы записи существуют для комплексных чисел.

5. Сформулируйте определение предела последовательности.

6. Какие типы последовательностей вы знаете?

7. Перечислите свойства сходящих последовательностей.

8. Сформулируйте необходимые и достаточные условия сходимости последовательности.

9. Сформулируйте определение монотонной последовательно-

ñòè.10. Какая точка называется предельной точкой?

ëîâ.11. Сформулируйте определение верхнего и нижнего преде-

12. Каким условиям должна удовлетворять монотонная последовательность, чтобы она была сходящей?

13. Какая последовательность называется фундаментальной?

14. В каком случае у последовательности можно выделить сходящую подпоследовательность?

1.4. Методические указания по решению задач

В соответствии с определением предела последовательности мы должны указать номер N такой, что выполняется неравенство

1 < ":

2(2n ¡ 1)

Для отыскания номера N решим это неравенство относительно

n.

n > 1 + 1:

4" 2

В качестве N можно взять любое целое число из сигьента целую

тогда N > 1. Åñëè " > 0, 5, то неравенство 2(2n1¡ 1) < ": выполнено для 8n 2 N: Таким образом, доказано, что для произволь-

1.2. Вычислить предел последовательности lim (3 ¡ n)2 ¡ (2 ¡ n)2

n!1 (3 ¡ n)2 + (3 + n)2 .

Цель дальнейших преобразований вынесение старших степеней переменной n за скобки в числителе и знаменателе: