4. Позиционные задачи

Все задачи начертательной геометрии условно могут быть разделены на метрические и позиционные. К метрическим задачам относятся задачи на измерение линейных и угловых величин. Решение этих задач будет рассмотрено ниже.

К позиционным задачам относятся задачи на принадлежность и взаимное пересечение геометрических фигур. По существу решение позиционных задач сводится к нахождению точек одновременно принадлежащих двум или более фигурам. Задачи на определение принадлежности одной геометрической фигуры к другой частично уже рассмотрены:

• принадлежность точки к прямой (рис. 1.23) .

• принадлежность линии к поверхности. Рис. 3.9 ;

• принадлежность точки к поверхности. Рис. 3.11

Задачи на построение линий пересечения геометрических фигур условно можно разделить на три группы:

• пересечение плоскости с поверхностью;

• пересечение прямой линии с плоскостью и с поверхностью.

• взаимное пересечение поверхностей.

Решение всех типов позиционных задач на пересечение подчиняются общему алгоритму. На рис. 4.1 представлена поверхность полусферы и усеченного конуса. Для построения точек, одновременно принадлежащих этим поверхностям, воспользуемся общим алгоритмом.

1. Вводится вспомогательная поверхность, в частном случае - плоскость. Эта вспомогательная поверхность назначается таким образом, чтобы она пересекла обе фигуры по простым для построения линиям - по прямым или по окружностям.

2. Строятся линии пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных фигур.

3. Отмечаются точки взаимного пересечения построенных линий. Эти точки принадлежат обеим фигурам, следовательно, являются элементом пересечения фигур.

4. Соединяют точки в определенной последовательности и определяют видимость линии пересечения и фигур друг относительно друга.

Находить точки для построения линии взаимного пересечения фигур надо в определенной последовательности.

1. В первую очередь отмечают точки на контурных образующих или на ребрах, если поверхностигранные.

2. Находят экстремальные точки: наивысшую; наинизшую; самую левую; самую правую; самую ближнюю и самую дальнюю.

3. Отмечают точки на линиях среза (принадлежащие основаниям).

4. Если построенных точек недостаточно для выявления формы линии взаимного пересечения, строят ряд промежуточных (случайных) точек.

4.1. Пересечение плоскости с поверхностью.

4.1.1. Пересечение поверхности проецирующей плоскостью

Напомним, что проецирующей называется плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций (рис. 1-21, рис. 1-22). На одну из плоскостей проекций она проецируются в прямую линию. Основное свойство таких плоскостей заключается в том, что любая плоская фигура, принадлежащая проецирующим плоскостям, также проецируется в прямую линию. Благодаря этому свойству эти плоскости используются в качестве посредников при решении многих позиционных задач на пересечение фигур.

На рис. 4.2 приведен пример построения линии пересечения фронтально проецирующей плоскости с поверхностью пирамиды. В первую очередь отмечаем точки на ребрах пирамиды. На фронтальной плоскости проекций проецирующая плоскость f_oa'' пересечет ребра в точках 1, 2, 3. По линиям связи переносим точки на соответствующие ребра на горизонтальной плоскости. Соединяем точки с учетом видимости.

Если требуется определить натуральный вид плоского сечения, надо воспользоваться способом замены плоскостей проекций. Новую плоскость π₄ задать параллельно f_oa''. См. рис. 2.2 , где проецирующая А^1VВ^1V С^1V преобразован в плоскость уровня.

На рис. 4.3 приведен пример построения линии пересечения фронтально проецирующей плоскости f_oa''с поверхностью конуса. Линией пересечения является эллипс [2, стр. 74]. На фронтальной плоскости проекций он проецируется в отрезок прямой линии от проекции точки 1" до точки 2" (большая ось эллипса). Эти точки принадлежат фронтальным контурным образующим конуса. По линиям связи переносим их на горизонтальную плоскость проекций. Малая ось эллипса проходит через середину большой оси. На фронтальной плоскости проекций малая ось является проецирующей прямой и обозначена проекциями точек 3" = 4". Для переноса этих точек на горизонтальную плоскость проекций воспользуемся вспомогательной плоскостью – посредником. Через точки 3 и 4 зададим горизонтальную плоскость уровня f_ob''. Так как основанием конуса является окружность, то и f_ob'' пересечет конус по окружности, радиус которой равен расстоянию от точки Т (Т" Т') до осевой линии конуса. Построим эту окружность на горизонтальной плоскости проекций и перенесем на нее точки 3 (3') и 4 (4'). По большой и малой осям построим эллипс.

Для построения натурального вида этого сечения необходимо так же воспользоваться способом перемены плоскостей: проецирующую плоскость f_oa'' преобразовать в плоскость уровня.