3.2. Поверхности вращения. Главные линии поверхности. Принадлежность точки к поверхности

Поверхностью вращения называют поверхность, которая образуется произвольной кривой при ее вращении вокруг неподвижной оси. Ниже приведены примеры поверхностей вращения.

На рис. 3.3 – 3.4 представлены разновидности тора. Тором называется поверхность, которая получается при вращении окружности вокруг оси. Открытый тор (или кольцо), когда окружность не пересекается с осью. Если окружность пересекается с осью или касается ее, поверхность называется закрытым тором. Глобоид – поверхность, образованная вращением дуги окружности вокруг оси, расположенной с внешней стороны дуги. Параболоид образуется при вращении параболы вокруг ее оси. Однополостный гиперболоид образуется при вращении гиперболы вокруг мнимой оси или при вращении прямой линии (отрезка) вокруг оси, скрещивающейся с этой прямой.

  

  

Сфера образуется при вращении окружности вокруг оси, проходящей через ее центр.

На рис. 3.9 представлен чертеж сферы. При проецировании сферы на горизонтальную плоскость часть проецирующих лучей (выделены синим цветом), осветят верхнюю половину сферы, а часть лучей коснется поверхности.

Линия касания проецирующих лучей с поверхностью называется контурной линией. Проекция контурной линии на одну плоскость (в данном случае на горизонтальную) дает очертание (очерк) поверхности, а на другую (на фронтальную) – линию видимости. Аналогично при проецировании на фронтальную плоскость - контурная линия красного цвета; на профильную – зеленого.

Для построения точки, принадлежащей поверхности, через точку проводят линию (на поверхности сферы это окружность) и по линиям связи строят вторую проекцию точки.

На чертеже условимся обозначать видимые точки в виде окружности . Невидимые - в виде звездочки *.

Пусть задана фронтальная проекция точки А (А") - рис. 3.9. По условию точка принадлежит поверхности и на фронтальной она видимая. Для построения ее горизонтальной проекции через точку проводим параллель, то есть линию, параллельную горизонтальному контуру. По линиям связи строим горизонтальную проекцию параллели (окружность). Точка А принадлежит данной параллели. Принимая во внимание, что точка А расположена выше линии видимости для плоскости π₁, изображаем ее горизонтальную проекцию как видимую. Кроме того, чтобы она была видимой и на фронтальной плоскости (она так задана по нашему условию), располагаем ниже красной линии видимости для плоскости π₂.

Точка В (В") на фронтальной плоскости расположена ниже линии видимости для π₁, следовательно, ее горизонтальная проекция изображена звездочкой, то есть невидимой точкой. Но на горизонтальной - она так же, как и точка А, расположена ниже красной линии, так как по условию данной задачи на фронтальной она задана как видимая.

3.3 Линейчатые поверхности. Принадлежность линии и точки к поверхности

Линейчатой называется поверхность, образующей которой является прямая линия.

В общем случае линейчатая поверхность однозначно определяется тремя направляющими линиями [8, стр. 142].

Задать поверхность на чертеже – значит указать условия, позволяющие построить каждую точку этойповерхности. Для задания поверхности достаточно иметь проекции направляющей линии и указать, как строится образующая прямая, проходящая через любую точку направляющей. Однако, для придания наглядности изображения, вычерчивают очерк, линии видимости и строят точки на поверхности.

Коническая поверхность образуется прямой линией, проходящей через некоторую неподвижную точку и последовательно через все точки некоторой кривой направляющей линии. Если направляющей линией является окружность, то поверхность называется наклонным или эллиптическим конусом.

  

На рис. 3.10 представлены: направляющая окружность – m; неподвижная точка – S; прямолинейная образующая - l . Это первая часть определителя – геометрическая. Образующая движется по направляющей, оставаясь неподвижной в точке S. Описание закона движения является алгоритмической частью определителя. При этих условиях поверхность на чертеже считается заданной. Для придания наглядности, на рис. 3.11 построены очертания поверхности, линии видимости и промежуточная точка, принадлежащая поверхности.

Построение точек, принадлежащих поверхности, осуществляется следующим образом. Пусть задана фронтальная проекция точки А (А"). На фронтальной плоскости она изображена как невидимая. Для построения ее горизонтальной проекции через точку задаем линию, принадлежащую поверхности. Этой линией будет окружность, так как линия задана параллельно основанию, а основанием является окружность. Центр окружности лежит на осевой линии поверхности. Проводим линию связи из центра окружности на горизонтальную плоскость до пересечения с горизонтальной осевой поверхности. Строим окружность, которой принадлежит точка А.. По линии связи отмечаем ее местоположение с учетом видимости для горизонтальной плоскости, где точка является видимой. Аналогичные построения выполняются для наклонного (эллиптического) цилиндра.

Тема 4