2. Способы преобразования прямоугольных проекций

Знание способов преобразования прямоугольных проекций необходимо при решении задач в контрольной работе, а также при решении различного рода практических задач на производстве.

При рассмотрении вопросов о положении геометрических фигур относительно плоскостей проекций, было отмечено, что фигуры могут занимать общее и частное положение. Например, если исследуемые плоскости являются плоскостями уровня, то они проецируются в натуральную величину, в этих плоскостях можно выполнять любые чертежи по заданным размерам, выполнять измерения линейных и угловых величин. На практике чаще всего бывает так, что плоскости, ограничивающие то или иное изделие, занимают общее положение. Разработанные в начертательной геометрии способы преобразования позволяют любую плоскость преобразовать в проецирующую или плоскость уровня, тем самым решить необходимые задачи.

Ярким примером воплощения этих методов служит система автоматизированного проектирования Компас 3D, где при создании эскизов деталей используются (вводятся) так называемые вспомогательные плоскости, которые затем преобразуются в плоскости уровня («нормально к …»).

Разработано много способов преобразования проекций. Для решения сложных задач применяются деформации не только геометрического объекта, но и всего пространства [8, стр.55]. В данной работе рассматриваются только преобразования, предусмотренные программой.

Первое направление преобразований основано на том, что объекты (фигуры) своего положения (ориентации) в пространстве не изменяют, а плоскости проекций подстраиваются к заданным фигурам так, чтобы было удобно их проецировать. При этом предусматривается возможность переходить от одной системы плоскостей проекций к другой и обратно.

Второе основано на обратном действии. Плоскости проекций сохраняют свое неизменное положение в пространстве, а фигуры, посредством вращения их вокруг некоторой оси и при необходимости перемещения их в пространстве, занимают удобное положение для их проецирования и решения задач.

2.1. Способ замены плоскостей проекций

Способ замены плоскостей основан на том, что фигуры в пространстве не изменяют своего положения, а вводятся новые плоскости проекций и подстраиваются таким образом, чтобы фигуры по отношению к этой, введенной плоскости, заняли частное положение.

2.1.1. Преобразование прямой общего положения в прямую уровня и в проецирующую прямую

Рассмотрим две основные задачи для отрезков прямых. На рис. 2.1-а задана прямая АВ, которую надо преобразовать в прямую уровня. Ниже предлагается алгоритм преобразований, поясняющий, какие действия происходят в пространстве и что получается на чертеже.

В пространстве:	На чертеже:
1. Вводим новую плоскость проекций π4 и располагаем ее, во первых, параллельно прямойАВ и, во вторых, перпендикулярно к одной из имеющихся плоскостей проекций (в нашем примере π4 π2 ).	На чертеже плоскости проекций совмещены в одну и отделяются друг от друга лишь осями их пересечения, поэтому:  1. Вводим новую ось проекций Х1, которую располагаем проекцииА"В".
2.Новые проецирующие лучи перпендикулярны к новой плоскости проекций π4.	2. Новые линии связи перпендикулярны к новой осиХ1
3. Расстояния до общей, незаменяемой плоскости, между собой равны.	3. Отрезки [А'Ах] = [Ах1 А1v] и  [В'Вх] = [Вx1 В1v]

В новой системе π₂ /π₄ прямая АВ стала прямой уровня, так как ее проекция А"В" параллельна оси Х₁.

Для преобразования прямой общего положения в проецирующую прямую, ее необходимо предварительно преобразовать в прямую уровня, то есть решить предыдущую задачу. На рис. 2.1-б продолжаем построения:

4. Вводим новую плоскость π5, располагаем ее, во первых, перпендикулярно к АВ и, во вторых, перпендикулярно к π4.	4. Вводим новую ось проекций Х2, которую располагаем к проекции [А1v В1v] .
5.Новые проецирующие лучи перпендикулярны к новой плоскости проекций π5.	Новые линии связи перпендикулярны к новой оси Х2(одна линия связи).
6. Расстояния до общей, незаменяемой плоскости, между собой равны	3. Отрезки [А''Ах1] = [Ах2 Аv] и  [В''Вх1] = [Вx2 Вv]

 

Таким образом, первоначальная система Х(π₂ / π₁) преобразована в систему Х₁(π₄ / π₂), а прямая АВ преобразована в прямую уровня. Далее система Х₁(π₄ / π₂) преобразована в  Х₂(π₅ / π₄), а прямая АВ преобразована в проецирующую.