Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
начерталка и инж. графика 1 -2 семестр .docx
Скачиваний:
331
Добавлен:
11.03.2016
Размер:
1.81 Mб
Скачать

Инженерная графика. Раздел "Начертательная геометрия" Метод проекций

1.1. Образование проекций

В основу метода Начертательной геометрии положен Метод проецирования. Слово «проецирование» - латинского происхождения, что означает «бросать вдаль». Таким образом, под проекцией предмета на плоскость подразумевают его изображение, «отброшенное» на эту плоскость с помощью лучей, подобно тому, как предмет, освещенный солнцем, отбрасывает свою тень на землю.

1.1.1. Центральное и параллельное проецирование

Из сказанного следует, что для построения проекций необходим аппарат проецирования, который включает в себя (рис.1.1):

  • источник лучей, пусть это будет точка S (в дальнейшем лучи будем называть проецирующими);

  • плоскость, на которой будем получать изображение – π0 (в дальнейшем - плоскость проекций);

  • проецируемый объект, пусть это будет точка А . Для построения проекции проводим проецирующий луч из центра S через точку А до пересечения с плоскостью π0 .

Точка А0 – является проекцией точки А на плоскость π0 из центра S . Данный вид проецирования называется центральным .  Если центр проекций удален в бесконечность, то проецирующие лучи будут параллельны друг другу. В этом случае направление проецирования задается стрелкой (рис. 1.2.), а проецирование называется параллельным .

Геометрические фигуры в общем случае проецируются на плоскость проекций с искажением. Проекции не сохраняют линейные и угловые величины оригинала. Характер этих искажений зависит от положения геометрической фигуры в пространстве, от аппарата проецирования и от положения плоскости проекций.  Однако некоторые геометрические свойства фигур остаются неизменными в процессе проецирования. Такие свойства называются независимыми или инвариантными для данного аппарата проецирования.  Основные свойства параллельного проецирования приведены в работе [2 , стр. 8]., см. также в работе Андрющенко К.Е. «Метод проекций».

1.1.2. Прямоугольное (ортогональное) проецирование

Прямоугольное проецирование является частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирующих лучей S перпендикулярно к плоскости проекций π0, рис. 1.3.

Для прямоугольного проецирования справедливы все свойства параллельных проекций. Кроме того, для прямоугольного проецирования необходимо отметить еще одно очень важное свойство: если одна сторона прямого угла (AB) параллельна плоскости проекций (π0), а другая (BC) не перпендикулярна, то на эту плоскость проекций (рис.1.3) прямой угол проецируется без искажения, то есть в свою натуральную величину (Н.В.): угол АВС равен углу А'В'С'.  О проецировании плоских углов см. [2, стр. 31] 

При рассматриваемом аппарате проецирования каждой точке пространства соответствует только одна точка на плоскости. Однако при проецировании на одну плоскость не выполняется требование Начертательной геометрии о том, что чертеж должен быть обратимым, поскольку одной точке на плоскости может соответствовать бесконечное множество точек, расположенных на восстановленном проецирующем луче.

1.1.3. Задание точки, расположенной в различных углах (октантах) пространства  Для однозначного определения положения точки в пространстве проецирование выполняют на две и более плоскостей проекций.  На рис. 1.4 представлено проецирование точки на три взаимно перпендикулярных плоскости проекций. Плоскость П1 располагают горизонтально и называют горизонтальной плоскостью проекций; П2 – фронтальная плоскость проекций; П3 –профильная плоскость проекций.

 

Как видно из рисунка, горизонтальная проекция точки (A') определяется координатами Ах и Ау; фронтальная (А'') – Ах и Аz; профильная (А''') - Ау и Аz.  Расстояние от точки до горизонтальной плоскости π1 в пространстве определяется величиной отрезка [А A'], на чертеже - [А''Ах], то есть [А A'] = [А''Ах]. Эта величина дает представление о высоте расположения точки относительно горизонтальной плоскости.  Аналогично величина отрезка [А А''] в пространстве равна величине [A' Ах] на чертеже и дает представление о глубине расположения точки относительно фронтальной плоскости. Так же [А А'''] = [A' Ау] и = [А''Аz].  Таким образом, высоту точек измеряют на фронтальной плоскости. Глубину – на горизонтальной.  Плоскости проекций не ограничиваются только своими положительными направлениями, поэтому все пространство делится ими на восемь углов – восемь октантов. Нумерация октантов производится против хода часовой стрелки, начиная с первого, изображенного на рис. 1. 5 а.  Чтобы получить плоскую модель, надо горизонтальную и профильную плоскости проекций совместить с фронтальной путем вращения их вокруг осей.

 

На рис. 1.5-б представлены совмещенные плоскости проекций, где отмечены как положительные, так и отрицательные направления по осям ХУ и Z.  Для построения проекций точек, расположенных в различных углах пространства, необходимо учитывать знаки координат этой точки (плюс или минус). На рис.1.5-б построена проекция точки В, заданная координатами: Вх = - 4Вy = + 2Bz = -5.

Теперь вы должны выполнить задачу 1 контрольной работы

Практическое занятие 1   Задание точки, расположенной в различных углах (октантах) пространства  Ранее было отмечено, что плоскости проекций не ограничиваются только своими положительными направлениями, поэтому все пространство делится ими на восемь углов – восемь октантов. Нумерация октантов производится против хода часовой стрелки, начиная с первого. Чтобы получить плоскую модель, надо горизонтальную и профильную плоскости проекций совместить с фронтальной путем вращения их вокруг осей (см. рис. 1.5 - а).  При построении проекций точки необходимо учитывать знаки значений координат точек (плюс или минус), как это выполнено на рис. 1.5 – б.  Вам предлагается согласно вашему варианту на чертежной бумаге построить проекции восьми точек и указать номер угла (октанта). Затем, для проверки правильности своих решений, вызвать Репетиционный тест «Задание точки» и сопоставить решения и ответы.  В качестве контрольного теста Вам будет предложено два типа задач:

  1. Будет предложен чертеж одной точки. Надо определить, в каком октанте она расположена. Ответ выбрать из пяти предложенных вариантов.

  2. Будет предложено пять чертежей точки. Надо выбрать правильный чертеж.

Репетиционный тест представляет собой компьютерную программу. В программе можно последовательно, не выходя из нее, построить проекции нескольких точек. Ее можно многократно вызывать.  Чтобы быстро определить октант, в котором расположена точка, надо мысленно построить «векторы знаков». Например, точка А задана координатами: Ах = -5Ау = +3Аz = -6. Построив цепь векторов знаков (см. рис.1): X = - Y = + Z = - , видим, что точка расположена в восьмом октанте.

В связи со сложностью использования в программе условных обозначений, принятых в некоторых учебниках начертательной геометрии, например, обозначение f" и других, в программе могут использоваться иные обозначения: плоскости проекций могут быть обозначены как π1 , π2 …, соответственно вместо обозначений проекций точек А' ; А"приняты обозначения А1А2.

В процессе решения задач подобного типа надо помнить, что горизонтальная проекция точек определяется значениями по оси Х и Yп1, то есть:  Горизонтальная - А1 (Х; Yп1), фронтальная - А2 (Х; Z), профильная - А3 (Yп3; Z)                 (1)

Репетиционный тест: Тема 1.1.3. Задание точки

Рекомендации: при ответах на контрольные тесты имейте перед собой два – три листа чистой бумаги и ручку (карандаш). После вызова задачи первого типа заполните таблицу знаков:

X

Y

Z

Октант

Точка A

-

+

-

VIII

Затем нарисуйте схему, или представьте ее мысленно в пространстве, подобную рис. 1 и Вы без труда укажите правильный ответ. Воспользоваться дополнительной литературой (шпаргалками) Вы вряд ли успеете.

В задачах второго типа надо определить местоположение третьей – недостающей проекции точки по двум заданным и выбрать чертеж с правильным ответом. Алгоритм решения тот же: установите знаки по осям (заполните таблицу) и согласно выражению (1) определите, где должна располагаться третья (недостающая на каждом чертеже) проекция точки. Выберите чертеж с правильным ответом.

Контрольная работа: задача 1.