Лекція №2. Відношення порядку. Множина дійсних чисел. Точна верхня (нижня) границя.

1. Відношення порядку. Верхня границя. Приклади.

Означення. Відношення називається бінарним відношенням на множині Е, якщо.

Означення. Бінарне відношення називається відношенням порядку, якщо виконуються наступні властивості:

а) (х, х),(рефлективність),

б) (х, у) , (у, z)(x, z)(транзитивність),

в) (х, у) , (у, х)х = у (антисиметричність).

Часто в такому випадку пишуть , якщо (х,у). Говорять: х передує або співпадає з у.

Приклад. 1. На множині всіх підмножин множини , якщо.

2. В прикладі лекції 1 .

3.

Означення. Відношення порядку є повним або Е – впорядковане, якщо для необхідно маємо: x < y, або х = у, або x > y.

Наприклад, у прикладах 1, 2 відношення порядку не повне, в прикладі 3 – повне.

Означення. Говорять, що підмножина А впорядкованої множини Е обмежена зверху (мажорована), якщо існує елемент , наступний за усіма елементами множини А, тобто , с- мажоранта або верхня границя множини А.

Означення. Говорять, що підмножина А впорядкованої множини Е обмежена знизу (мінорована), якщо існує елемент , попередній усім елементам множиниА, тобто , дес - міноранта або нижня границя множини А.

Означення. с - максимум А, якщо і(с=max A).

Означення. с - мінімум А, якщо і(c=min A).

Твердження. Якщо множина А впорядкованої множини Е має максимальний (мінімальний) елемент с, то він єдиний.

Доведення. Нехай існує два максимальні елемента множини А – с₁, с₂. Тоді с₁ с₂ так як с₁ А, і с₂ с₁ так як с₂А. Звідси с₁ = с₂, отже множина А впорядкованої множини Е має єдиний максимальний елемент.

Означення. Говорять, що с - точна верхня границя підмножини А впорядкованої множини Е, якщо с є мінімумом множини верхніх границь множини А. Позначають с = sup А.

Означення. c - точна нижня границя підмножини А впорядкованої множини Е, якщо с є максимумом множини нижніх границь множини А. Позначають с=inf A.

2. Зростаючі функції.

Нехай Е і F - дві впорядковані множини.

Означення. Відображення називається зростаючим, якщо із, і відображенняназивається спадним, якщо.

Якщо маємо строгі нерівності, то функція строго зростаюча (спадна).

Будемо використовувати ще й наступні терміни: якщо Е впорядкована множина, то [a, b] – замкнений інтервал х: ; (a, b) – відкритий інтервал, a < x < b та ін.

3. Дійсні числа. Теорема про точну верхню границю.

Означення. Множина R називається множиною дійсних чисел, а елементи дійсними числами, якщо виконуються аксіоми:

1. аксіоми додавання;

2. аксіоми множення;

3. аксіоми порядку;

4. аксіома повноти: якщо X i Y непусті підмножини R такі, що і,, то , щоі.

(Самостійно знайти формулювання аксіом І, ІІ, ІІІ (з курсу алгебри)).

Поняття верхньої (нижньої) границі і точної верхньої (точної нижньої) границі автоматично переноситься на множину R.

Приклад. Нехай дана множина А=[0, 1), тоді min A=0, sup A=1.

В множині R Означення точної верхньої (нижньої) границі можна сформулювати дещо по іншому, а ніж у загальному випадку.

Означення.

1. с = sup A, , якщо:

1.

2.

2. с = inf A, , якщо:

1.

2.

Теорема. (про верхню (нижню) границю). Нехай непуста множина, обмежена зверху (знизу), тоді існує точна верхня (нижня) границя множини А, причому єдина.

Доведення. , В існує оскільки А обмежена. Множини А і В задовольняють аксіому неперервності. Тоді, що, с – мінімальна верхня границя, тобто с = sup A, причому с – єдине, згідно з раніше доведеним твердженням.

Крім множини дійсних чисел R¹ ми будемо розглядати простір = , а також відображення означенні на цих просторах. Нижче домовимося говорити якщо:

1. - функціяназивається послідовністю, та застосовується позначення.

2. , то маємо дійсну функцію від дійсної змінної.

3. - то маємо дійсну функцію від n змінних.

Приклад. К- кінетична енергія системи n матеріальних частинок залежить від їх швидкостей. Е=К+V – повна енергія – залежить як від конфігурації системи nq, так і від набору швидкостей.

Впорядковані пари (q, ), що відповідають системі, утворюють підмножину Ф в, що називається фазовою підмножиною системи частинок.(якщо система замкнена, то Е – const, закон збереження енергії).