Елементи теорії множин. Лекція №1 Відношення. Функції.

1. Множини, дії над множинами, добуток.

Множина – основне поняття.

.

Якщо множина А складається з елементів множини Е то кажуть, що множина А є підмножиною множини .

Означення. Об’єднання двох множин А і В – множина

Означення. Перетин множин А і В - множина

Означення. Різниця множин А і В - множина

Якщо А Е,тоді Е \ А називають доповненням множини А до множини Е (або СА, якщо це не викликає плутанини).

Властивості.

1).

2).

Доведення 1.

1. Нехай іабо В(наприклад) , тоді і звідси маємо, що. Таким чином .

Нехай або ,. Таким чином

Доведення 2. (аналогічне доведенню 1)

Означення. Добутком двох множин Е і F називається множина всіх можливих впорядкованих пар (х, у), де.

При цьому пари (х, у) і (у, х) з вважаються різними. Аналогічно визначаютьсяі т.д. Крім того позначимо=.

2. Відношення. Функції. Приклади.

Означення. Відношенням називається будь-яка множина впорядкованих пар(х, у) (або ху).

Приклад. Нехай Х=У – множина цілих чисел, а ={(х,у)}, тобто (4,2), а (3,5) ні.

Іншими словами, якщо , то, Х – область визначення, а Y – область значень

Означення. Відношення називається функціональним відношенням або функцією, якщоу₁=у₂ (позначаємо ).

3. Образ, прообраз. Композиція

Нехай

Означення. Образом множини при відображенніназивається множина

.

Множину називають прообразом множини.

Властивості:

1.

2.

3.

4.

5.,

,

,

Доведення провести самостійно.

Нижче будемо використовувати наступну термінологію:

1. f – сюр’єктивне відображення, якщо f(X)=Y

2. f – ін’єктивне відображення, якщо , f(х₁)=f(x₂) x₁=x₂.

3. f – бієктивне (взаємно-однозначне) відображення, якщо воно сюр’єктивне і ін’єктивне одночасно.

Якщо відображення бієктивне, то природно виникає відображення, таке що: якщо.

Відображення - обернене для.

Нехай і, причому g визначене на f(Х), тоді можна визначити нове відображенняформулою

,

- композиція f і g ( g - зовнішнє, а f - внутрішнє відображення).

Практичне заняття № 1

Тема: Множини. Дії над множинами

Основні відомості: 1. Дії над множинами.

2. Прямий добуток множин.

3. Відношення.

Задачі

1. Дії над множинами .

1.1. Нехай А, В М. Довести еквівалентність включень АС_МВ ↔ В С_МА.

1.2 Довести, що А \ В= АСВ

1.3 Довести (В \ С) \ (В \ А) А \ С

2. Прямий добуток множин.

2.1 Знайти декартовий добуток множин і описати геометричний образ:

а) двох відрізків;

б) прямої та окружності;

в) побудувати R², Rⁿ.

2.2. Довести

(XY)(ZY)=(XZ)Y

2.3 Довести, що якщо АР , ВQ то АВ=(АQ)(BP) .

3. Відношення.

3.1 Навести приклад відношення, що складається з кінцевого числа елементів.

3.2 Побудувати відношення, яке належить [a,b][c,d] кінцеве і нескінченне.

Задачі для самостійного розв’язування.

1. Нехай А, В М Довести, що АВ тоді і тільки тоді, коли С_МАС_МВ.

Довести

2. А(ВС)=(АВ)(АС).

3. C (АВ)=САСВ

4. С(АВ)=САСВ

5. А \ (В \ C)=(A \ В)(А \ С)

6. (АВ) \ С= (А \ С)(В \ С)

7. А \ В = А СВ

8. (А С)(ВD )(АВ)(СD )

9. А\ С (A \ В) (В \ С)

10. Чи випливає з А \ В=С, що А=ВС

11. Знайти геометричний образ прямого добутку прямої і кола.

12. Знайти геометричний образ прямого добутку прямокутника і відрізка.

13. Знайти геометричний образ прямого добутку

а) прямої і відрізка;

б) відрізка й інтервалу;

в) двох інтервалів;

г) двох прямих.

Довести

14. (AB)(CD)=(AC)(BD)

15. (AB)(CD)=(AC)(BD)

16. (A \ B)C=(AC) \ (BC)

17. Нехай X=[a,b], Y=[c,d]. Побудувати відношення RXY.

18. Побудувати відносини R=XY, де X і Y із задачі 17.

19. X={a, b, c} Y={0,1, (1,1)} побудувати відношення XY і=XY.

20. X=[0,1][0,1] Y=[0,1] побудувати відношенняXY, яке містить 3 елемента і=XY