- •Академия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Содержание
- •Тема 1. Элементарная математика 13
- •Тема 2. Аналитическая геометрия 38
- •Тема 3. Линейная алгебра 81
- •Введение Лекция 1. Основы математической логики
- •Высказывания и логические связки
- •Контрольные вопросы к лекции №1
- •Тема 1. Элементарная математика Лекция 2. Элементы теории множеств
- •Основные понятия
- •Основные операции над множествами
- •Отображения
- •Отношения эквивалентности и упорядоченности
- •Контрольные вопросы к лекции №2
- •Лекция 3. Числовые множества
- •Основные понятия
- •Соединения. Бином Ньютона
- •Комплексные числа
- •Операции над комплексными числами
- •Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа
- •Контрольные вопросы к лекции №3
- •Тема 2. Аналитическая геометрия Лекция 4. Векторы
- •Основные понятия
- •Линейные операции над векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Линейная зависимость векторов
- •Базис. Координаты вектора в базисе
- •Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении
- •Направляющие косинусы
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
- •Контрольные вопросы к лекции №4
- •Лекция 5. Прямая
- •Основные понятия
- •Взаимное расположение прямых
- •Контрольные вопросы к лекции №5
- •Лекция 6. Плоскость
- •Основные понятия
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Контрольные вопросы к лекции №6
- •Лекция 7. Кривые второго порядка
- •Уравнение фигуры
- •Гипербола
- •Парабола
- •Исследование на плоскости уравнения второй степени
- •Контрольные вопросы к лекции №7
- •Тема 3. Линейная алгебра Лекция 8. Понятие евклидова пространства
- •Коллинеарные векторы
- •Размерность и базис векторного пространства
- •Контрольные вопросы к лекции №8
- •Лекция 9. Матрицы
- •Основные понятия
- •Операции над матрицами
- •Определитель матрицы
- •Ранг матрицы
- •Обратная матрица
- •Контрольные вопросы к лекции №9
- •Лекция 10. Понятие линейного оператора
- •Переход к новому базису
- •Линейное преобразование переменных
- •Собственные значения и собственные вектора матриц
- •Контрольные вопросы к лекции №10
- •Лекция 11. Многочлены
- •Основные понятия
- •Теорема о делении с остатком
- •Теорема Безу
- •Контрольные вопросы к лекции №11
- •Лекция 12. Квадратичные формы
- •Понятие квадратичной формы
- •Канонический базис квадратичной формы
- •Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы
- •Канонический базис Якоби квадратичной формы
- •Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы
- •Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка
- •Контрольные вопросы к лекции №12
- •Лекция 13. Системы линейных уравнений
- •Основные понятия
- •Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Однородные системы уравнений
- •Разрешенные системы линейных уравнений
- •Контрольные вопросы к лекции №13
- •Лекция 14. Основы линейного программирования
- •Линейное программирование
- •Задача линейного программирования
- •Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме
- •Множества допустимых решений
- •Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками
- •Симплекс-метод с естественным базисом
- •Симплексный метод с искусственным базисом (м-метод)
- •Теория двойственности
- •Теоремы двойственности
- •Контрольные вопросы к лекции 14
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
- •Высшая математика
- •Часть I
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Контрольные вопросы к лекции №1
Понятия доказательного рассуждения и правдоподобного рассуждения.
Метод математической индукции.
Обобщение, специализация, аналогия.
Понятие логической связки.
Отрицание, дизъюнкция и конъюнкция.
Понятия импликации и эквиваленции.
Тема 1. Элементарная математика Лекция 2. Элементы теории множеств
Основные понятия:
множество; элемент множества; числовые множества; конечные множества; бесконечные множества; подмножества; пустое множество; объединение множеств; пересечение множеств; разность множеств; симметрическая разность множеств; декартово произведение множеств; отображение; образ; прообраз; сюръективное отображение; инъективное отображение; биективное отображение; мощность множества.
Основные понятия
Множество– одно из важнейших понятий математики. Вводится аксиоматически и не может быть определено через какие-либо элементарные понятия.
Кантор описывает множество следующим образом:
Множество есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции и интеллекта, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества.
Термин «множество» характеризует совокупность, объединение некоторых объектов произвольной природы – элементов множества, которые обладают каким-либо общим для них свойством (признаком). Этот общий признак содержится в самом названии (задании) множества. Множество состоит из элементов и считается заданным, если о каждом из рассматриваемых объектов известно, входит он во множество или нет. Множество может быть задано либо перечислением его элементов, либо описанием свойств его элементов. Символическая записьозначает принадлежность элементамножеству. Записьозначает, что элементне принадлежит множеству.
; ;. Рис. 2.1. |
Множество называютподмножествомдругого множестваили множество включено во множество , если каждый элемент множества является одновременно элементом множества. Это обозначается . Выделение подмножеств из множеств можно провести по различным признакам. В результате могут получиться как непересекающиеся подмножества (например, и ), так и подмножества, имеющие общие элементы (и ). |
Если множество состоит из конечного числа элементов, оно называется конечным. При этом число элементов множества может быть очень велико или вообще неизвестно. Множество может состоять также из бесконечного количества элементов, тогда оно называется бесконечным.
Свойства включения:
Каждое множество есть подмножество самого себя ;
Если , а, то;
, т.е. множестваиравнытогда и только тогда, когда эти множества состоят из одних и тех же элементов;
Каждый элемент множества определяет некоторое подмножество множества:.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустыми обозначается .
Любое множество содержит в качестве подмножества.
Каждое множество имеет, по крайней мере, два различных подмножества:и.
Множество иназываютнесобственнымиподмножествами множества. Все остальные подмножества множестваназываютсясобственнымиилиистинными. В этом случае, когдаговорят, чтострого включенов(обозначается):
Множество всех подмножеств множества называетсямножеством-степеньюP множества.
Если не содержит элементов, т.е., то его единственным подмножеством является.
Если – одноэлементное множество, т.е., то его подмножествами являютсяи. Число этих подмножеств равно 2.
Если – двухэлементное множество, т.е., то его подмножествами являются,,и. Число этих подмножеств равно 4.
Несложно убедиться в том, что множество-степень P конечного–элементного множествасостоит изподмножеств.