Контрольные вопросы к лекции №10

1. Переход к новому базису и понятие матрицы перехода.

2. Понятие линейного оператора.

3. Собственные значения и собственные вектора матрицы.

4. Операция диагонализации матрицы и понятие ортогональной матрицы.

Лекция 11. Многочлены

Основные понятия:

многочлен; степень многочлена; коэффициенты; старший коэффициент; сложение многочленов; умножение многочленов; делитель; частное; остаток; корень многочлена; кратность корня многочлена; линейные многочлены; схема Горнера; рациональная дробь; правильная рациональная дробь; простейшие (или элементарные) дроби; метод неопределенных коэффициентов.

Основные понятия

Многочленом от переменной степениназывается выражение вида:

,

где ‑ действительные или комплексные числа, называемые коэффициентами,‑ натуральное число,‑ переменная величина, принимающая произвольные числовые значения.

Если коэффициент примногочленаотличен от нуля, а коэффициенты при более высоких степенях равны нулю, то числоназывается степенью многочлена, – старшим коэффициентом, а– старшим членом многочлена. Коэффициентназывается свободным членом. Если все коэффициенты многочлена равны нулю, то многочлен называется нулевым и обозначается0. Степень нулевого многочлена не определена.

Два многочлена называются равными, если они имеют одинаковую степень и коэффициенты при одинаковых степенях равны.

Суммой многочленов и,называется многочлен, где

Произведением многочленов иназывается многочлен:

где .

Легко проверить, что сложение и умножение многочленов ассоциативно, коммутативно и связаны между собой законом дистрибутивности.

Многочлен называется делителем многочлена , если существует многочлентакой, что.

Теорема о делении с остатком

Для любых многочленов существуют многочленыи, такие, чтопричем степеньменьше степениили. Многочленыиопределены однозначно.

Многочлены иназываются соответственно частным и остатком. Еслиделитто остаток.

Число называется корнем многочлена, если.

Теорема Безу

Число является корнем многочленатогда и только тогда, когдаделится на

Пусть ‑ корень многочлена, т.е.Разделимна_,где степеньменьше степени, которая равнаЗначит, степеньравна, т.е.. Значит,,. Так как, то из последнего равенства следует, чтот.е..

Обратно, пусть делит, т.е.. Тогда.

Следствие.Остаток от деления многочлена наравен.

Многочлены первой степени называются линейными многочленами. Теорема Безу показывает, что разыскание корней многочлена равносильно разысканию его линейных делителей со старшим коэффициентом 1.

Многочлен можно разделить на линейный многочленс помощью алгоритма деления с остатком, но существует более удобный способ деления, известный под названием схемы Горнера.

Пусть и пусть_,где. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной с левой и правой частях последнего равенства, имеем:

, откуда

(11.1)

Число называется корнем кратностимногочлена, еслиделит, ноуже не делит.

Чтобы поверить, будет ли число корнем многочленаи какой кратности, можно воспользоваться схемой Горнера. Сначаладелится назатем, если остаток равен нулю, полученное частное делится наи т.д. до получения не нулевого остатка.

Число различных корней многочлена не превосходит его степени.

Большое значение имеет следующая основная теорема.

Основная теорема.Всякий многочлен с числовыми коэффициентами ненулевой степени имеет хотя бы один корень (может быть комплексный).

Следствие. Всякий многочлен степени имеет вC(множестве комплексный чисел) столько корней, какова его степень, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.

(11.2)

где ‑ корни, т.е. во множествеCвсякий многочлен разлагается в произведение линейных множителей. Если одинаковые множители собрать вместе, то:

,

где уже различные корни,‑ кратность корня.

Если многочлен ,, с действительными коэффициентами имеет корень, то числотакже корень

Значит, у многочлена с действительными коэффициентами комплексные корни входят парами.

Следствие. Многочлен с действительными коэффициентами нечетной степени имеет нечетное число действительных корней.

Пусть икорниТогдаделится наино так как уинет общих делителей, тоделится на прозведение.

Утверждение 2.Многочлен с действительными коэффициентами степени всегда разлагается на множестве действительных чисел в произведение линейных многочленов, отвечающих его вещественным корням, и многочленов 2-ой степени, отвечающих паре сопряженных комплексных корней.

При вычислении интегралов от рациональных функций нам понадобится представление рациональной дроби в виде суммы простейших.

Рациональной дробьюназывается дробьгде и‑ многочлены с действительными коэффициентами, причем многочлен. Рациональная дробьназывается правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Если рациональная дробь не является правильной, то, произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде, гдеи– некоторые многочлены, а– правильная рациональная дробь.

Лемма 1. Если – правильная рациональная дробь, а числоявляется вещественным корнем кратностимногочлена , т.е. и, то существует вещественное числои многочленс вещественными коэффициентами, такие, чтогде дробьтакже является правильной.

При этом несложно показать, что полученное выражение является рациональной дробью с вещественными коэффициентами.

Лемма 2. Если – правильная рациональная дробь, а число(и– вещественные,) является корнем кратности многочлена , т.е. и, и если, то существуют вещественные числаии многочленс вещественными коэффициентами, такие, чтогде дробьтакже является правильной.

Рациональные дроби вида ,,,, ‑ трехчлен с действительными коэффициентами, не имеющий действительных корней, называются простейшими (или элементарными) дробями.

Всякая правильная рациональная дробь представима единственным образом в виде суммы простейших дробей.

При практическом получении такого разложения оказывается удобным так называемый метод неопределенных коэффициентов. Он состоит в следующем:

• Для данной дроби пишется разложение, в котором коэффициентысчитаются неизвестными;

• После этого обе части равенства приводятся к общему знаменателю и у получившихся в числителе многочленов приравниваются коэффициенты.

При этом если степень многочлена равна, то в числителе после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени, т.е. многочлен скоэффициентами.

Число неизвестных также равняется:.

Таким образом, получается система уравнений снеизвестными. Существование решения у этой системы следует из приведенной выше теоремы.