Направляющие косинусы

Пусть дан вектор . Единичный вектор того же направления, что и(орт вектора) находится по формуле:

.

Пусть ось образует с осями координат углы.Направляющими косинусами оси называются косинусы этих углов:. Если направлениезадано единичным вектором, то направляющие косинусы служат его координатами, т.е.:

.

Направляющие косинусы связаны между собой соотношением:

.

Если направление задано произвольным вектором, то находят орт этого вектора и, сравнивая его с выражением для единичного вектора, получают:

Скалярное произведение

Скалярными произведениемдвух векторовиназывается число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:.

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. Если и‑ ненулевые векторы, тотогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Если, то угол междуи- острый, если, то угол - тупой;

5. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е..

Следовательно, .

Геометрический смысл скалярного произведения: скалярное произведение вектора на единичный векторравно проекции векторана направление, определяемое, т.е..

Из определения скалярного произведения вытекает следующая таблица умножения ортов :

.

Если векторы заданы своими координатами и, т.е.,, то, перемножая эти векторы скалярно и используя таблицу умножения ортов, получим выражение скалярного произведениячерез координаты векторов:

.

Векторное произведение

Векторным произведением векторана векторназывается вектор, длина и направление которого определяется условиями:

1. , где‑ угол междуи;

2. перпендикулярен каждому из векторови;

3. направлен так, что кратчайший поворот отк виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. Векторное произведение равно нулю (нуль вектору) тогда и только тогда, когда иколлинеарны. В частности,для любого вектора;

5. Если инеколлинеарны, то модуль векторного произведения равен площади параллелограммапостроенного на этих векторах, как на сторонах.

Из первых трех свойств следует, что векторное умножение суммы векторов на сумму векторов подчиняется обычным правилам перемножения многочленов. Надо только следить за тем, чтобы порядок следования множителей не менялся.

Основные орты перемножаются следующим образом:

.

Если и, тоcучетом свойств векторного произведения векторов, можно вывести правило вычисления координат векторного произведения по координатам векторов-сомножителей:

_.

Если принять во внимание полученные выше правила перемножения ортов, то:

(4.11)

Более компактную форму записи выражения для вычисления координат векторного произведения двух векторов можно построить, если ввести понятие определителя матрицы.

Рассмотрим частный случай, когда вектора ипринадлежат плоскости, т.е. их можно представить каки.

Если координаты векторов записать в виде таблицы следующим образом: , то можно сказать, что из них сформирована квадратная матрица второго порядка, т.е. размером, состоящая из двух строк и двух столбцов. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, которое вычисляется из элементов матрицы по определенным правилам и называется определителем. Определитель матрицы второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали и побочной диагонали:

.

В таком случае:

Абсолютная величина определителя, таким образом, равна площади параллелограмма, построенного на векторах и, как на сторонах.

Если сравнить это выражение с формулой векторного произведения (4.7), то:

(4.12)

Это выражение представляет собой формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка по первой строке.

Таким образом:

Определитель матрицы третьего порядкавычисляется следующим образом:

и представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых.

Формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка легко запомнить, если воспользоваться правиломСаррюса, которое формулируется следующим образом:

• Каждое слагаемое является произведением трех элементов, расположенных в разных столбцах и разных строках матрицы;

• Знак “плюс” имеют произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной главной диагонали;

• Знак “минус” имеют произведения элементов, принадлежащих побочной диагонали, и два произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной побочной диагонали.