- •Академия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Содержание
- •Тема 1. Элементарная математика 13
- •Тема 2. Аналитическая геометрия 38
- •Тема 3. Линейная алгебра 81
- •Введение Лекция 1. Основы математической логики
- •Высказывания и логические связки
- •Контрольные вопросы к лекции №1
- •Тема 1. Элементарная математика Лекция 2. Элементы теории множеств
- •Основные понятия
- •Основные операции над множествами
- •Отображения
- •Отношения эквивалентности и упорядоченности
- •Контрольные вопросы к лекции №2
- •Лекция 3. Числовые множества
- •Основные понятия
- •Соединения. Бином Ньютона
- •Комплексные числа
- •Операции над комплексными числами
- •Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа
- •Контрольные вопросы к лекции №3
- •Тема 2. Аналитическая геометрия Лекция 4. Векторы
- •Основные понятия
- •Линейные операции над векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Линейная зависимость векторов
- •Базис. Координаты вектора в базисе
- •Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении
- •Направляющие косинусы
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
- •Контрольные вопросы к лекции №4
- •Лекция 5. Прямая
- •Основные понятия
- •Взаимное расположение прямых
- •Контрольные вопросы к лекции №5
- •Лекция 6. Плоскость
- •Основные понятия
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Контрольные вопросы к лекции №6
- •Лекция 7. Кривые второго порядка
- •Уравнение фигуры
- •Гипербола
- •Парабола
- •Исследование на плоскости уравнения второй степени
- •Контрольные вопросы к лекции №7
- •Тема 3. Линейная алгебра Лекция 8. Понятие евклидова пространства
- •Коллинеарные векторы
- •Размерность и базис векторного пространства
- •Контрольные вопросы к лекции №8
- •Лекция 9. Матрицы
- •Основные понятия
- •Операции над матрицами
- •Определитель матрицы
- •Ранг матрицы
- •Обратная матрица
- •Контрольные вопросы к лекции №9
- •Лекция 10. Понятие линейного оператора
- •Переход к новому базису
- •Линейное преобразование переменных
- •Собственные значения и собственные вектора матриц
- •Контрольные вопросы к лекции №10
- •Лекция 11. Многочлены
- •Основные понятия
- •Теорема о делении с остатком
- •Теорема Безу
- •Контрольные вопросы к лекции №11
- •Лекция 12. Квадратичные формы
- •Понятие квадратичной формы
- •Канонический базис квадратичной формы
- •Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы
- •Канонический базис Якоби квадратичной формы
- •Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы
- •Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка
- •Контрольные вопросы к лекции №12
- •Лекция 13. Системы линейных уравнений
- •Основные понятия
- •Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Однородные системы уравнений
- •Разрешенные системы линейных уравнений
- •Контрольные вопросы к лекции №13
- •Лекция 14. Основы линейного программирования
- •Линейное программирование
- •Задача линейного программирования
- •Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме
- •Множества допустимых решений
- •Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками
- •Симплекс-метод с естественным базисом
- •Симплексный метод с искусственным базисом (м-метод)
- •Теория двойственности
- •Теоремы двойственности
- •Контрольные вопросы к лекции 14
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
- •Высшая математика
- •Часть I
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка
В общем случае кривая второго порядка в базисе описывается уравнением. Ее первые три слагаемые образуют квадратичную формус матрицей:
.
Задача о приведении кривой к каноническому виду сводится к задаче о приведении к каноническому виду квадратичной формыэтой кривой.
Пусть и– собственные значения матрицы, аи– ортонормированные собственные векторы матрицы, соответствующие собственным значениями.
Ортонормированные векторы иназываются главными направлениями этой кривой.
Пусть является матрицей перехода от ортонормированного базисак ортонормированному базису.
Тогда ортогональное преобразование:
приводит квадратичную форму к каноническому виду, а уравнение кривой – к видув прямоугольной декартовой системе координат, оси которой направлены вдоль векторов, а начало совпадает с точкойсистемы координат.
Выделив в этом уравнении полные квадраты, получим , где– некоторые числа. Осуществив параллельный перенос системы координатв новое начало, получим канонический вид уравненияв системе координат. В зависимости от чиселэта кривая будет эллипсом, гиперболой, параболой, парой прямых, точкой или мнимой кривой.
Контрольные вопросы к лекции №12
Понятие квадратичной формы.
Построение матрицы квадратичной формы.
Канонический и нормальный вид квадратичной формы.
Канонический базис квадратичной формы и приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Канонический базис Якоби.
Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.
Лекция 13. Системы линейных уравнений
Основные понятия:
система линейных уравнений; решение системы линейных уравнений; совместная система линейных уравнений; определенная система линейных уравнений; эквивалентные системы линейных уравнений; матрица системы; расширенная матрица системы линейных уравнений; теорема Кронекера-Капелли; правило Крамера; метод Гаусса; однородная система линейных уравнений; разрешенная переменная; набор разрешенных переменных; свободные переменные.
Основные понятия
Для исследования процессов функционирования экономики, при построении математических моделей конкретных задач, возникающих перед менеджером в процессе его деятельности, в ряде случаев используются системы линейных уравнений. Так, например, при межотраслевом анализе – изменение объема выпуска отрасли при фиксированном коэффициенте прямых затрат в случае изменения спроса необходимо искать путем решения системы линейных уравнений, которая является моделью изучаемого процесса.
Нахождение решений системы линейных уравнений может быть осуществлено различными методами. Выбор метода зависит от рассматриваемой задачи и соответствующей математической модели. В ряде случаев необходимо лишь знать – существует ли решение рассматриваемой системы.
Цель данного раздела – исследовать совместность системы линейных уравнений и дать некоторые методы их решения. Эти методы позволяют найти точное решение системы. Кроме этого, существуют методы, позволяющие находить приближенные решения, например, метод Якоби, метод Гаусса-Зейделя, метод пошагового агрегирования. В этом разделе они не рассматриваются.
Рассмотрим совокупность уравнений:
, |
(13.1) |
где ‑ действительные числа, а‑ неизвестные. Эту совокупность называют системой линейных уравнений снеизвестными, числа‑ коэффициенты системы (1),‑ свободные члены. Упорядоченный набордействительных чиселназывается решением системы (13.1), если после подстановки в каждое из уравнений (13.1) вместочисел, это уравнение превращается в тождество.
Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения.
Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если у нее есть, по крайней мере, два различных решения.
Две системы с неизвестными называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.
Матрица , составленная из коэффициентов системы (13.1), называется матрицей системы.
Обозначив через , систему (13.1) можно записать в виде матричного уравнения:
(13.2) |
Матрица , полученная приписыванием к матрицесправа столбца свободных членов системы (13.1), называетсярасширенной матрицей системы(13.1).
При исследовании системы (13.1) ищут ответ на следующие три вопроса:
когда система совместна;
если система совместна, то определена ли она;
как отыскать ее решения.