Теоремы двойственности

Теоремы двойственности позволяют установить взаимосвязь между оптимальными решениями пары двойственных задач: можно либо найти оптимальное решение другой задачи, не решая ее, либо установить его отсутствие.

Возможны следующие случаи:

• обе задачи из пары двойственных имеют оптимальные решения;

• одна из задач не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции, а другая – ввиду несовместности системы ограничений.

Первая теорема двойственности.

Для двойственных задач линейного программирования имеет место один из взаимоисключающих случаев:

1. В прямой и двойственной задачах имеются оптимальные решения, при этом значения целевых функций на оптимальных решениях совпадают: _;

2. В прямой задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена сверху. При этом у двойственной задачи будет пустое допустимое множество.

3. В двойственной задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена снизу. При этом у прямой задачи допустимое множество оказывается пустым;

4. Обе из рассматриваемых задач имеют пустые допустимые множества.

Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей нежесткости):

Пусть – допустимое решение прямой задачи, а– допустимое решение двойственной задачи. Для того, чтобы они были оптимальными решениями соответствующих взаимодвойственных задач, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:

Эти условия устанавливают связь между оптимальными значениями прямой и двойственной задач и позволяют, зная решение одной из них, находить решение другой задачи.

Теорема об оценках:

Значения переменных в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членовсистемы ограничений – неравенств прямой задачи на величину:

.

Диапазон изменения компонент вектора , в котором сохраняется оптимальный базис, называетсяобластью устойчивости оптимальных оценок.

Экономический смысл первой теоремы двойственности следующий. План производства и набор ресурсовоказываются оптимальными тогда и только тогда, когда прибыль от реализации продукции, определенная при известных заранее ценах продукции, равна затратам на ресурсы по «внутренним» (определяемым только из решения задачи) ценам ресурсов. Для всех других планов прибыль от продукции всегда меньше или равна стоимости затраченных ресурсов, т.е. ценность выпущенной продукции не превосходит суммарной оценки затраченных ресурсов. Значит, величинахарактеризует производственные потери в зависимости от рассмотренной производственной программы и выбранных оценок ресурсов.

Контрольные вопросы к лекции 14

1. Понятие математического моделирования.

2. Задача линейного программирования и ее каноническая форма.

3. Целевая функция и система ограничений.

4. Понятие выпуклой линейной комбинации.

5. Базисное, опорное и оптимальное решения.

6. Двойственная задача линейного программирования и объективно обусловленные оценки.

Экзаменационные вопросы

1. Основы математической логики. Высказывания и логические связки.

2. Элементы теории множеств.

3. Основные операции над множествами.

4. Отображения.

5. Отношения эквивалентности и упорядоченности.

6. Числовые множества. Основные понятия.

7. Соединения. Бином Ньютона.

8. Комплексные числа. Операции над комплексными числами.

9. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.

10. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось.

11. Линейная зависимость векторов. Базис. Координаты вектора в базисе.

12. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении.

13. Направляющие косинусы. Скалярное произведение.

14. Векторное произведение. Смешанное произведение.

15. Прямая. Уравнения прямой.

16. Взаимное расположение прямых.

17. Плоскость. Нормальное уравнение плоскости.

18. Плоскость. Взаимное расположение плоскостей.

19. Кривые второго порядка. Эллипс.

20. Кривые второго порядка. Гипербола.

21. Кривые второго порядка. Парабола.

22. Исследование на плоскости уравнения второй степени.

23. Понятие евклидова пространства. – мерные векторы. Коллинеарные векторы.

24. Размерность и базис векторного пространства.

25. Матрицы. Основные понятия. Операции над матрицами.

26. Матрицы. Определитель матрицы. Обратная матрица. Ранг матрицы.

27. Понятие линейного оператора. Переход к новому базису. Линейное преобразование переменных.

28. Собственные значения и собственные вектора матриц.

29. Многочлены. Теорема о делении с остатком.

30. Многочлены. Теорема Безу.

31. Квадратичные формы.

32. Канонический базис квадратичной формы. Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы. Канонический базис Якоби.

33. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы.

34. Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка.

35. Системы линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений.

36. Системы линейных уравнений. Правило Крамера решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

37. Однородные системы уравнений. Разрешенные системы линейных уравнений.

38. Задача линейного программирования. Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме.

39. Множества допустимых решений. Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками.

40. Теория двойственности. Теоремы двойственности. Двойственная задача линейного программирования.