- •Академия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Содержание
- •Тема 1. Элементарная математика 13
- •Тема 2. Аналитическая геометрия 38
- •Тема 3. Линейная алгебра 81
- •Введение Лекция 1. Основы математической логики
- •Высказывания и логические связки
- •Контрольные вопросы к лекции №1
- •Тема 1. Элементарная математика Лекция 2. Элементы теории множеств
- •Основные понятия
- •Основные операции над множествами
- •Отображения
- •Отношения эквивалентности и упорядоченности
- •Контрольные вопросы к лекции №2
- •Лекция 3. Числовые множества
- •Основные понятия
- •Соединения. Бином Ньютона
- •Комплексные числа
- •Операции над комплексными числами
- •Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа
- •Контрольные вопросы к лекции №3
- •Тема 2. Аналитическая геометрия Лекция 4. Векторы
- •Основные понятия
- •Линейные операции над векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Линейная зависимость векторов
- •Базис. Координаты вектора в базисе
- •Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении
- •Направляющие косинусы
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
- •Контрольные вопросы к лекции №4
- •Лекция 5. Прямая
- •Основные понятия
- •Взаимное расположение прямых
- •Контрольные вопросы к лекции №5
- •Лекция 6. Плоскость
- •Основные понятия
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Контрольные вопросы к лекции №6
- •Лекция 7. Кривые второго порядка
- •Уравнение фигуры
- •Гипербола
- •Парабола
- •Исследование на плоскости уравнения второй степени
- •Контрольные вопросы к лекции №7
- •Тема 3. Линейная алгебра Лекция 8. Понятие евклидова пространства
- •Коллинеарные векторы
- •Размерность и базис векторного пространства
- •Контрольные вопросы к лекции №8
- •Лекция 9. Матрицы
- •Основные понятия
- •Операции над матрицами
- •Определитель матрицы
- •Ранг матрицы
- •Обратная матрица
- •Контрольные вопросы к лекции №9
- •Лекция 10. Понятие линейного оператора
- •Переход к новому базису
- •Линейное преобразование переменных
- •Собственные значения и собственные вектора матриц
- •Контрольные вопросы к лекции №10
- •Лекция 11. Многочлены
- •Основные понятия
- •Теорема о делении с остатком
- •Теорема Безу
- •Контрольные вопросы к лекции №11
- •Лекция 12. Квадратичные формы
- •Понятие квадратичной формы
- •Канонический базис квадратичной формы
- •Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы
- •Канонический базис Якоби квадратичной формы
- •Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы
- •Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка
- •Контрольные вопросы к лекции №12
- •Лекция 13. Системы линейных уравнений
- •Основные понятия
- •Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Однородные системы уравнений
- •Разрешенные системы линейных уравнений
- •Контрольные вопросы к лекции №13
- •Лекция 14. Основы линейного программирования
- •Линейное программирование
- •Задача линейного программирования
- •Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме
- •Множества допустимых решений
- •Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками
- •Симплекс-метод с естественным базисом
- •Симплексный метод с искусственным базисом (м-метод)
- •Теория двойственности
- •Теоремы двойственности
- •Контрольные вопросы к лекции 14
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
- •Высшая математика
- •Часть I
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Однородные системы уравнений
Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:
Очевидно, что всякая однородная система совместна и имеет нулевое (тривиальное) решение. Поэтому применительно к однородным системам линейных уравнений часто приходится искать ответ на вопрос о существовании ненулевых решений. Ответ на этот вопрос можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема.Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных.
Доказательство:Допустим, система, ранг которой равен, имеет ненулевое решение. Очевидно, чтоне превосходит. В случаесистема имеет единственное решение. Поскольку система однородных линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, то именно нулевое решение и будет этим единственным решением. Таким образом, ненулевые решения возможны только при.
Следствие 1:Однородная система уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.
Доказательство:Если у системы уравнений, то рангсистемы не превышает числа уравнений, т.е.. Таким образом, выполняется условиеи, значит, система имеет ненулевое решение.
Следствие 2:Однородная система уравнений снеизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.
Доказательство:Допустим, системалинейных однородных уравнений, матрица которойс определителем, имеет ненулевое решение. Тогда по доказанной теореме, а это значит, что матрицавырожденная, т.е..
Разрешенные системы линейных уравнений
Переменная называется разрешенной, если какое-нибудь уравнение системы содержитс коэффициентом, равным единице, а во все остальные уравнения системы переменнаяне входит, т.е. входит с коэффициентом, равным нулю.
Например, система уравнений:
содержит разрешенные переменные . Переменныеиразрешенными не являются.
Если каждое уравнение содержит разрешенную переменную, то такую систему называют разрешенной. Очевидно, что приведенная в качестве примера система уравнений является разрешенной.
Выбрав из каждого уравнения разрешенной системы по одной разрешенной переменной, можно сформировать набор попарно различных переменных, который называется набором разрешенных переменныхданной системы. В общем случае набор разрешенных переменных определен неоднозначно. Например, у рассмотренной выше системы можно выбрать два набора разрешенных переменных:и.
Переменные системы, которые не входят в данный набор разрешенных неизвестных, называются свободными. Если в системе фиксирован набор разрешенных переменных, то переменныеявляются свободными; если в набор разрешенных переменных системы входят, то свободными переменными являются.
Допустим, что разрешенная система уравнений содержит переменные ,и что наборявляется набором разрешенных переменных данной системы. Возможны два случая:и.
В первом случае, когда , все переменные системы образуют набор разрешенных переменных системы. Из определения набора разрешенных переменных вытекает, что данная система содержитуравнений. Из определения разрешенных переменных следует, что переменнаясодержится только в первом уравнении, переменная– только во втором и т.д., переменная– только в–м уравнении. Таким образом, разрешенная система имеет вид:
Очевидно, что такая система уравнений имеет только одно решение .
Во втором случае, когда разрешенная система состоит изуравнений вида:
Переменные являются свободными переменными системы. Если выразить разрешенные переменные системычерез ее свободные переменные, то система примет вид:
Теорема(свойство свободных переменных).Если свободным переменным системы придать произвольные значения, тогда:
можно построить решение системы уравнений, у которого значения свободных переменных будут равны соответственно;
если у решений исистемы уравнений значения свободных переменных совпадают, то и сами решения совпадают.
Доказательство: Если значения свободных переменных подставить в систему, то получится:
То есть:
является решением системы уравнений, так как после подстановки координат в эту систему получаются верные равенства. Поскольку у значения свободных переменных равны, соответственно, то – и есть искомое решение системы.
Следствие.Все решения системы получаются так же, как и решение .
Значения для свободных переменных можно выбирать бесконечным числом различных способов, поэтому система уравнений является неопределенной.
Разрешенная система уравнений совместна всегда. Она будет определенной, если число уравнений равно числу неизвестных, и неопределенной, если число уравнений меньше числа неизвестных.