Смешанное произведение

Смешанным произведениемтройки векторов,иназывается число, равное скалярному произведению векторана векторное произведение. Если рассматриваемые векторы,инекомпланарны, то векторное произведениеесть вектор, длина которого численно равна площади построенного на них параллелограмма. Направлен этот вектор по нормали к плоскости параллелограмма. Если этот вектор скалярно умножить на вектор, то получившееся число будет равно произведению площади основания параллелепипеда, построенного на тройке векторов,и, и его высоты, т.е. объему этого параллелепипеда.

Таким образом, смешанное произведение векторов (которое обозначается) есть число, абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда, построенного на векторах,и.

Знак произведение положителен, если векторы ,и, образуют правую тройку векторов, т.е. векторнаправлен так, что кратчайший поворот отк виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Из геометрического смысла смешанного произведения непосредственно следует необходимое и достаточное условие некомпланарности векторов ,и:для того, чтобы векторы ,ибыли некомпланарными необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было отлично от нуля.

Если , и, то:

,

или в свернутой форме:

.

Справедливы следующие свойства смешанного произведения векторов:

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей ;

2. При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный .

Контрольные вопросы к лекции №4

1. Понятие скалярной величины.

2. Понятие векторной величины.

3. Понятия единичного вектора и нулевого вектора.

4. Модуль вектора, формула расстояния между двумя точками.

5. Понятие коллинеарности векторов.

6. Понятие компланарности векторов.

7. Понятие проекции вектора на ось.

8. Линейные операции над векторами.

9. Скалярое произведение векторов.

10. Векторное произведение векторов.

11. Смешанное произведение векторов.

Лекция 5. Прямая

Основные понятия:

векторное параметрическое уравнение прямой; параметрические уравнения прямой в пространстве; канонические уравнения прямой; направляющий вектор прямой.

Основные понятия

Прямая в пространстве может быть однозначно определена, если известна точка, принадлежащая прямой, и ненулевой вектор, параллельный прямой (направляющий вектор прямой).

Пусть задана такая точкаи вектор(Рис. 5.1).

Если ‑ произвольная текущая точка прямой, то векторколлинеарен векторуи их соответствующие координаты пропорциональны.

(5.1)

Этим соотношениям удовлетворяют координаты любой точки прямой и только этой прямой. Равенства (5.1) называютсяканоническими уравнениями прямой в пространстве.

Обозначим радиус-вектор точки,‑ радиус-вектор точки. Тогда:

(5.2)

В силу коллинеарности векторов исуществует числотакое, что. Тогда из (5.2) получим векторное параметрическое уравнение прямой:

(5.3)

В координатной форме уравнение (5.3) равносильно трем уравнениям:

,,

(5.4)

которые называются параметрическими уравнениямипрямой в пространстве.

Исключая из уравнений (5.4) параметр , легко перейти к каноническим уравнениям прямой (5.1).

Обратный переход от (5.1) к (5.4) осуществляют, приравнивая каждое из трех соотношений (5.1) к . При этом, если знаменатель какого-либо соотношения равен нулю, то необходимо приравнять к нулю его числитель.

Пусть заданы точки и. Составим уравнение прямой, проходящей через заданные точки, пользуясь рис. 5.1.

Очевидно, что в этом случае направляющим вектором прямой будет вектор. Используя (5.1), получаем искомые уравнения в виде:

(5.5)

Прямую в пространстве можно определить как пересечение двух плоскостей. Рассматривая совместно уравнения этих плоскостей, получим уравнение линиив общем виде:

(5.6)

Система двух уравнений первой степени (5.6) определяет прямую линию при условии, что нормальные векторы инеколлинеарны. Только в этом случае плоскости будут пересекаться. Уравнения (5.6) носят название «общее уравнение прямой в пространстве».

Чтобы перейти от общих уравнений прямой (5.6) к ее каноническим уравнениям (5.1), нужно на прямой найти какую-нибудь точку и определить ее направляющий вектор.

Точку находят, давая произвольное значение одной из переменных,или. Решая систему (5.6), получают значения оставшихся двух переменных.

Направляющий вектор параллелен линии пересечения плоскостей (5.6) и, следовательно, перпендикулярен обоим нормальным векторам плоскостей:

.

Поэтому в качестве можно взять вектор:

(5.7)