Линейное преобразование переменных

Линейным преобразованием переменных называется выражение системы переменных через новую систему переменныхс помощью линейных однородных функций:

Линейное преобразование вполне определяется матрицей размером, составленной из коэффициентов при. Эту матрицу называютматрицейлинейного преобразованияилиматрицей линейного оператора.

Пусть и– два линейных пространства размерностиисоответственно. Отображениеназывается линейным оператором, если:

1. 

2. 

Линейное преобразование переменных с квадратной матрицей называется невырожденным, если матрицаневырожденная и вырожденным, если матрицавырожденная.

Теорема.Для всякого невырожденного линейного преобразования переменных с квадратной матрицей существует обратное преобразование, которое является также линейным, и его матрица равна.

Собственные значения и собственные вектора матриц

Число называетсясобственным значением(или характеристическим числом) квадратной матрицыпорядка, если можно подобрать такой–мерный ненулевой вектор, что.

Для того, чтобы найти собственные значения матрицы , рассмотрим матрицу:

Если раскрыть определитель матрицы , то получится многочлен–й степени:

Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы . Его коэффициентызависят от элементов матрицы. Понятие многочлена будет подробно разобрано в следующем разделе.

Следует отметить, что ,. Уравнениеназываетсяхарактеристическим уравнением матрицы .

Теорема. Множество всех собственных значений матрицысовпадает с множеством всех решений характеристического уравненияматрицы.

Доказательство:

,

– ненулевой набор чисел,– вырожденная матрица– решение уравнения:

.

Собственным векторомквадратной матрицыпорядка, принадлежащим ее собственному значению называется-мерный вектор, для которого.

Множество всех собственных векторов матрицы , принадлежащих ее собственному значению , обозначим через . Отыскание собственных векторов сводится к решению однородной системы линейных уравнений.

Теорема.Множество всех собственных векторов матрицыпорядка, принадлежащих ее собственному значению, совпадает с множеством всех решений однородной системы линейных уравнений, где_.

Доказательство:

В развернутом виде равенство записывается как система уравнений:

Если зафиксировано число , то задача нахождения собственного вектора матрицысводится к поиску ненулевого решения системылинейных однородных уравнений снеизвестными, которые являются координатами вектора . Эта система имеет ненулевое решение только тогда, когда выполняется условие:

,

т.е. число является собственным числом матрицы.

Знание всех собственных векторов матрицы позволяет решить задачудиагонализацииэтой матрицы, то есть нахождения треугольной или диагональной матрицы, имеющий такие же собственные значения.

Теорема. Предположим, что квадратная матрица -го порядка имеетлинейно независимых собственных векторов. Тогда если взять эти векторы в качестве столбцов матрицы, то матрицабудет диагональной матрицей, у которой на диагонали стоят собственные значения матрицы, т.е.:

Теорема. Если и– два различных собственных значения симметрической матрицы, то соответствующие им собственные векторыиудовлетворяют соотношению, т.е. они ортогональны.

Таким образом, собственные значения симметрической матрицы различны, а, значит, если пронормировать соответствующие им собственные векторы, то система собственных векторов матрицы станет ортонормированной, а матрица, столбцами которой будут эти векторы, станетортогональной.

Ортогональной называется вещественная квадратная матрица, у которой соответствующая ей система векторов-столбцов является ортонормированной системой евклидова пространства.

Теорема. Матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда.

В соответствии с этой теоремой , и преобразование эквивалентно преобразованию

_{При определении характеристических чисел матрицы было введено новое понятие характеристического многочлена. Подробный анализ понятия многочлена приводится в следующем разделе.}