Контрольные вопросы к лекции №8

1. Понятие евклидова пространства.

2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов.

3. Понятия размерности и базиса линейного пространства.

4. Линейное преобразование векторов.

Лекция 9. Матрицы

Основные понятия:

матрица; элемент матрицы; размер матрицы; строка; столбец; квадратная матрица; главная диагональ; побочная диагональ; диагональная матрица; скалярная матрица; единичная матрица; нулевая матрица; сумма матриц; произведение матриц; согласованные матрицы; транспонирование матриц; определитель матрицы; минор; алгебраическое дополнение; линейная зависимость; линейная комбинация; ранг матрицы; окаймляющий минор; элементарные преобразования матрицы; обратная матрица.

Основные понятия

Прямоугольная таблица:

(9.1)

состоящая из строк истолбцов, называетсяматрицейразмераили-матрицей.

Матрицу (9.1) будем обозначать или. Числаназываются элементами матрицы, индексобозначает номер строки, а индекс‑ номер столбца, на пересечении которых расположен элемент.

Если , то матрица (9.1) называется квадратной матрицей порядка.

В квадратной матрице -го порядка диагональ, состоящая из элементовназывается главной диагональю, состоящая из элементов‑ побочной диагональю.

Квадратная матрица:

называется диагональной. Если в диагональной матрице все диагональные элементы равны, т.е., то такая матрица называетсяскалярной. Скалярная матрица, у которойназывается единичной и обозначается буквой. Например, единичная матрица третьего порядка:

.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается через 0.

Матрицы иназываются равными, если их размеры одинаковы и элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах, равны.

Операции над матрицами

Суммой двух матриц иодинакового размера называется матрицатого же размера с элементами, равными суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е..

Сложение матрицобладает следующими свойствами:

1. Коммутативность, т.е. .

2. Ассоциативность, т.е. .

3. Для любых двух матриц и одинакового размера существует единственная матрица такая, что . Матрица обозначается и называется разностью матриц и . Уравнение имеет решение , получающаяся при этом матрица называется противоположной и обозначается .

Произведением матрицы на число называется матрица, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы , умноженным на число .

Умножение матрицы на действительное число обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. (ассоциативность);

5. (дистрибутивность);

6. (дистрибутивность).

Матрица называетсясогласованнойс матрицей , если число столбцов матрицыравно числу строк матрицы. В этом случае произведением матрицына матрицуназывается матрица, где, т.е. элемент, стоящий в-той строке и-том столбце матрицы произведения равен сумме произведений элементов-той строки матрицына соответствующие элементы-го столбца матрицы.

Свойства умножения:

1. Если матрица согласована с матрицей, а матрицасогласована с матрицей, то‑ассоциативность умножения;

2. ‑свойство дистрибутивности;

3. Умножение матриц не коммутативно, т.е., как правило,.

Транспонированием матрицы называется операция замены местами строк и столбцов с сохранением порядка их следования, т.е.-я строка матрицыстановится-тым столбцом транспонированной матрицы. Матрица, транспонированная к матрицеобозначается.

Свойства транспонирования:

1. 

2. 

3. 

4.