- •Конспект лекций
- •§2. Основные операции над матрицами и их свойства
- •§3. Линейная зависимость и независимость вектор-столбцов
- •§4. Определители второго и третьего порядков
- •§5. Определитель порядка n
- •§6. Свойства определителей
- •§7. Обратная матрица
- •§1. Основные определения
- •§2. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений
- •§3. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •§4. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
- •§5. Теорема Кронекера-Капелли
- •I Понятие ранга матрицы.
- •II Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Раздел II Аналитическая геометрия.
- •§1. Действительные числа. Числовая ось
- •§2. Системы координат
- •I Система координат на прямой
- •II Декартова прямоугольная система координат на плоскости
- •III дпск в пространстве
- •IV Полярная система координат
- •§3. Векторы: основные определения
- •§4. Линейные операции над векторами
- •I Сложение векторов
- •II Умножение вектора на число
- •III Вычитание векторов
- •IV Основные свойства линейных операций
- •§5. Проекции вектора на оси. Направляющие косинусы
- •§6. Разложение вектора
- •I Частный случай
- •II Общий случай
- •§7. Скалярное произведение векторов
- •I Определение
- •II Механический смысл
- •II Свойства скалярного произведения
- •IV Выражение скалярного произведения через проекции
- •§8. Векторное произведение векторов
- •I Определение
- •II Механический смысл
- •III Свойства векторного произведения
- •IV Выражение векторного произведения через проекции
- •§9. Смешанное произведение трех векторов
- •I Правые и левые тройки векторов
- •II Определение смешанного произведения и его смысл
- •III Выражение смешанного произведения через проекции
- •IV Условие компланарности векторов
- •§1. Уравнение линии на плоскости
- •I Две задачи аналитической геометрии.
- •II Параметрическое задание линии
- •III о пересечении двух линий
- •IV Уравнение линии в различных системах координат
- •§2. Общее уравнение прямой на плоскости
- •§3. Уравнения прямой с угловым коэффициентом
- •§4. Взаимное расположение двух прямых
- •§5. Расстояние от точки до прямой на плоскости
- •§6. Другие формы уравнения прямой на плоскости
- •I Каноническое уравнение
- •II Уравнение прямой “в отрезках”.
- •III Параметрические уравнения прямой
- •IV Полярное уравнение прямой
- •§1. Уравнение поверхности и уравнения линии
- •I Поверхность
- •II Линия в пространстве
- •§2. Общее уравнение плоскости
- •§3. Неполные уравнения плоскости
- •§4. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§5. Расстояние от точки до плоскости
- •§6. Другие виды уравнения плоскости
- •I Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •II Уравнение плоскости “в отрезках”
- •§7. Прямая в пространстве
- •I Общие уравнения прямой
- •II Канонические уравнения прямой
- •III Параметрические уравнения прямой
- •§8. Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •§9. Взаимное расположение двух прямых в пространтве
- •§10. Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве
- •§1. Общее уравнение
- •§2. Окружность
- •§3. Эллипс
- •I Каноническое уравнение эллипса
- •II Определяющее свойство эллипса
- •III Элементы эллипса
- •IV Нормальное уравнение эллипса.
- •V Параметрические уравнения эллипса (1):
- •§4. Гипербола
- •I Каноническое уравнение гиперболы
- •II Определяющее свойство гиперболы
- •III Элементы гиперболы
- •IV Нормальное уравнение гиперболы
- •§5. Парабола
- •I Каноническое уравнение параболы
- •II Определяющее свойство параболы
- •III Элементы параболы
- •IV Нормальное уравнение параболы
- •§6. Касательные к кривым 2го порядка
- •I Определения
- •II Уравнения касательных
- •III Некоторые свойства касательных
- •Вопросы к модульному контролю – 1.1
- •Образец билета мк-1.1
- •Учебное издание конспект лекций
- •6.050102 “Программная инженерия”)
§2. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений
Рассмотрим случай, когда число уравнений системы совпадает с числом уравнений. (т.н. квадратная система):
(1)
Матрицу, составленную из коэффициентов системы (1), А=(аij), называют основной матрицей системы, а её определитель Δ=det(A) называют определителем системы.
Теорема. Квадратная система (1) с отличным от нуля определителем имеет решение, и притом, единственное. Его можно найти по формулам
(2)
где Δj – это определитель, получающийся из определителя Δ после замены в нем j-го столбца столбцом свободных членов системы (1).
Доказательство. Докажем сначала, что числа, определяемые формулами (2), дают решение системы (1). Возьмём левую часть i-го уравнения системы и подставим в нее эти числа, при этом определитель Δj разложим по j-му столбцу:
Внутренняя сумма (т.е. множитель, стоящий возлеbk) в полученном выражении либо равна определителю Δ, если k=i, либо равна 0, если k≠j. Значит во внешней сумме только i-е слагаемое отлично от нуля и вся эта сумма равна bi·Δ. Откуда получаем, что левая часть i-го уравнения при подстановке (2) равна , т.е. правой части этого уравнения. Итак, числа (2) дают решение системы (1).
Докажем теперь единственность решения (2), для чего предположим, что существуют числа с1,с2,…,сn такие, что:
(3)
есть система верных числовых равенств. Выполним с этими верными равенствами следующее: 1е умножим на алгебраическое дополнение элемента а11, 2е – на дополнение элемента а21 и т.д. и почленно сложим. Получим следующее:
(a11A11+a21A21+…+an1An1)c1+(a12A11+a22A21+…+an2An1)c2+…
…+(a1nA11+a2nA21+…+annAn1)cn=b1A11+b2A21+…+bnAn1.
Первая скобка в левой части равна определителю Δ, а все остальные скобки равны 0. Правая же часть есть разложение определителя Δ1 по первому столбцу. Итак, мы получили
Δ·с1 = Δ1.
Если же указанную процедуру повторить, взяв в качестве множителей алгебраические дополнения элементов а12, а22,…,аn2, то получим
Δ·с2 = Δ2
и так далее по аналогии Δ·сn= Δn. Поскольку по условию Δ≠0, то полученные равенства эквивалентны соотношениям
что и означает, что у системы (1) нет других решений кроме тех, что даются формулами Крамера. Теорема доказана.
Значение формул Крамера заключается главным образом в том, что в тех случаях, когда они применимы, эти формулы дают явное выражение для решения системы через коэффициенты и свободные члены. Практическое использование формул Крамера связано с довольно громоздкими вычислениями определителей n-го порядка. К этому следует добавить, что, если коэффициенты уравнений и свободные члены представляют собой лишь приближенные значения каких-либо измеряемых физических величин или округляются в процессе вычислений, то использование формул Крамера может привести к большим ошибкам и в ряде случаев является нецелесообразным.
Замечание. Из полученных в процессе доказательства равенств
cj·Δ = Δj , j=1,2,…,n
следует важный вывод:
если Δ=0, а хотя бы один из Δ1, Δ2,…, Δn отличен от 0, то системы (1) решений не имеет; в случае же когда Δ=Δ1=Δ2=…=Δn=0 система (1) может быть или несовместной, или неопределенной.
И еще один полезный вывод из теоремы: если однородная система n уравнений с n неизвестными имеет нетривиальное решение, то её определитель равен 0.