- •Конспект лекций
- •§2. Основные операции над матрицами и их свойства
- •§3. Линейная зависимость и независимость вектор-столбцов
- •§4. Определители второго и третьего порядков
- •§5. Определитель порядка n
- •§6. Свойства определителей
- •§7. Обратная матрица
- •§1. Основные определения
- •§2. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений
- •§3. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •§4. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
- •§5. Теорема Кронекера-Капелли
- •I Понятие ранга матрицы.
- •II Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Раздел II Аналитическая геометрия.
- •§1. Действительные числа. Числовая ось
- •§2. Системы координат
- •I Система координат на прямой
- •II Декартова прямоугольная система координат на плоскости
- •III дпск в пространстве
- •IV Полярная система координат
- •§3. Векторы: основные определения
- •§4. Линейные операции над векторами
- •I Сложение векторов
- •II Умножение вектора на число
- •III Вычитание векторов
- •IV Основные свойства линейных операций
- •§5. Проекции вектора на оси. Направляющие косинусы
- •§6. Разложение вектора
- •I Частный случай
- •II Общий случай
- •§7. Скалярное произведение векторов
- •I Определение
- •II Механический смысл
- •II Свойства скалярного произведения
- •IV Выражение скалярного произведения через проекции
- •§8. Векторное произведение векторов
- •I Определение
- •II Механический смысл
- •III Свойства векторного произведения
- •IV Выражение векторного произведения через проекции
- •§9. Смешанное произведение трех векторов
- •I Правые и левые тройки векторов
- •II Определение смешанного произведения и его смысл
- •III Выражение смешанного произведения через проекции
- •IV Условие компланарности векторов
- •§1. Уравнение линии на плоскости
- •I Две задачи аналитической геометрии.
- •II Параметрическое задание линии
- •III о пересечении двух линий
- •IV Уравнение линии в различных системах координат
- •§2. Общее уравнение прямой на плоскости
- •§3. Уравнения прямой с угловым коэффициентом
- •§4. Взаимное расположение двух прямых
- •§5. Расстояние от точки до прямой на плоскости
- •§6. Другие формы уравнения прямой на плоскости
- •I Каноническое уравнение
- •II Уравнение прямой “в отрезках”.
- •III Параметрические уравнения прямой
- •IV Полярное уравнение прямой
- •§1. Уравнение поверхности и уравнения линии
- •I Поверхность
- •II Линия в пространстве
- •§2. Общее уравнение плоскости
- •§3. Неполные уравнения плоскости
- •§4. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§5. Расстояние от точки до плоскости
- •§6. Другие виды уравнения плоскости
- •I Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •II Уравнение плоскости “в отрезках”
- •§7. Прямая в пространстве
- •I Общие уравнения прямой
- •II Канонические уравнения прямой
- •III Параметрические уравнения прямой
- •§8. Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •§9. Взаимное расположение двух прямых в пространтве
- •§10. Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве
- •§1. Общее уравнение
- •§2. Окружность
- •§3. Эллипс
- •I Каноническое уравнение эллипса
- •II Определяющее свойство эллипса
- •III Элементы эллипса
- •IV Нормальное уравнение эллипса.
- •V Параметрические уравнения эллипса (1):
- •§4. Гипербола
- •I Каноническое уравнение гиперболы
- •II Определяющее свойство гиперболы
- •III Элементы гиперболы
- •IV Нормальное уравнение гиперболы
- •§5. Парабола
- •I Каноническое уравнение параболы
- •II Определяющее свойство параболы
- •III Элементы параболы
- •IV Нормальное уравнение параболы
- •§6. Касательные к кривым 2го порядка
- •I Определения
- •II Уравнения касательных
- •III Некоторые свойства касательных
- •Вопросы к модульному контролю – 1.1
- •Образец билета мк-1.1
- •Учебное издание конспект лекций
- •6.050102 “Программная инженерия”)
§5. Расстояние от точки до плоскости
Пусть даны точка M*(x*;y*;z*) и плоскость α: Ax+By+Cz+D=0. Формула для расстояния d(M*,α) от точки M* до плоскости α выводится аналогично формуле для расстояния от точки до прямой на плоскости. Если M0 некоторая точка плоскости α, то
.
Применяя формулу, выражающую проекцию одного вектора на другой через их скалярное произведение, и учитывая условие (т.е.Ax0+By0+Cz0+D=0 – верное равенство), получим
.
Это и есть формула для вычисления расстояния от точки M*(x*;y*;z*) до плоскости α:Ax+By+Cz+D=0.
Пример. Составить уравнение плоскостей, параллельных данной плоскости α: 2x–2y–z–3=0 и отстоящих от нее на расстояние d=5.
Решение. Найдем какое-нибудь решение уравнения 2x–2y–z–3=0. Пусть, например x=0, y=0, тогда z= –3, значит точка M0(0;0;–3)α. По условию искомые плоскости параллельны данной. Значит, их уравнения отличаются от уравнения данной плоскости α лишь свободным членом:
β:2x–2y–z+D=0.
Запишем расстояние от точки M0 до плоскости β и приравняем его 5:
,
или ,.
Отсюда имеем D1=–18, D2=12. Искомые плоскости имеют уравнения:
2x–2y–z–18=0 и 2x–2y–z+12=0.
ЛЕКЦИЯ 8
§6. Другие виды уравнения плоскости
I Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Выведем уравнение плоскости, которая проходит через три различные точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) и M3(x3,y3,z3), не лежащие на одной прямой. Так как указанные точки не лежат на одной прямой, векторы инеколлинеарны, а потому произвольная точкаM(x,y,z) лежит в одной плоскости с точками M1, M2, M3 тогда и только тогда, когда векторы ,икомпланарны. Но компланарность равносильна равенству нулю смешанного произведения векторов. Записав смешанное произведение через проекции векторов, получим:
. (1)
Это и есть уравнение плоскости проходящей через данные три точки.
II Уравнение плоскости “в отрезках”
Рассмотрим плоскость, которая пересекает все координатные оси и не проходит через начало координат. Введем обозначения для точек пересечения с осями: M1(a;0;0), M2(0;b;0) и M3(0;0;c). Составим уравнение плоскости, используя формулу (1):
.
Вычислив определитель, получим:
(x–a)bc+yac+zab=0.
Разделим обе части уравнения на abc:
.
И окончательно
. (2)
Это и есть уравнение плоскости “в отрезках”.
§7. Прямая в пространстве
I Общие уравнения прямой
Как уже говорилось ранее, в аналитической геометрии линию в пространстве понимают как пересечение двух поверхностей. В частности, прямую линию мы будем рассматривать как пересечение двух плоскостей. Поэтому, если в пространстве задананекоторая ДПСК,то уравнениями прямойслужит система двух уравнений первой степени:
(1)
Будем называть эти уравнения общими уравнениями прямой (конечно, предполагается, что прямые пересекаются).
Очевидно, существует бесчисленное множество пар плоскостей, пересекающихся по данной прямой, и соответственно этому существует бесчисленное множество общих уравнений (1) для данной прямой.
Общие уравнения удобны при решении задачи о пересечении прямой и плоскости или двух прямых, задачи о проектировании прямой на плоскость. В других задачах более удобными оказываются иные формы уравнений прямой.