Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Для студентов ЭКИ-1 / ALGEBRA and GEOMETRIA.doc
Скачиваний:
40
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
2.05 Mб
Скачать

§5. Расстояние от точки до плоскости

Пусть даны точка M*(x*;y*;z*) и плоскость α: Ax+By+Cz+D=0. Формула для расстояния d(M*,α) от точки M* до плоскости α выводится аналогично формуле для расстояния от точки до прямой на плоскости. Если M0 некоторая точка плоскости α, то

.

Применяя формулу, выражающую проекцию одного вектора на другой через их скалярное произведение, и учитывая условие (т.е.Ax0+By0+Cz0+D=0 – верное равенство), получим

.

Это и есть формула для вычисления расстояния от точки M*(x*;y*;z*) до плоскости α:Ax+By+Cz+D=0.

Пример. Составить уравнение плоскостей, параллельных данной плоскости α: 2x2yz3=0 и отстоящих от нее на расстояние d=5.

Решение. Найдем какое-нибудь решение уравнения 2x2yz3=0. Пусть, например x=0, y=0, тогда z= –3, значит точка M0(0;0;–3)α. По условию искомые плоскости параллельны данной. Значит, их уравнения отличаются от уравнения данной плоскости α лишь свободным членом:

β:2x2yz+D=0.

Запишем расстояние от точки M0 до плоскости β и приравняем его 5:

,

или ,.

Отсюда имеем D1=–18, D2=12. Искомые плоскости имеют уравнения:

2x2yz18=0 и 2x–2yz+12=0.

ЛЕКЦИЯ 8

§6. Другие виды уравнения плоскости

I Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Выведем уравнение плоскости, которая проходит через три различные точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) и M3(x3,y3,z3), не лежащие на одной прямой. Так как указанные точки не лежат на одной прямой, векторы инеколлинеарны, а потому произвольная точкаM(x,y,z) лежит в одной плоскости с точками M1, M2, M3 тогда и только тогда, когда векторы ,икомпланарны. Но компланарность равносильна равенству нулю смешанного произведения векторов. Записав смешанное произведение через проекции векторов, получим:

. (1)

Это и есть уравнение плоскости проходящей через данные три точки.

II Уравнение плоскости “в отрезках”

Рассмотрим плоскость, которая пересекает все координатные оси и не проходит через начало координат. Введем обозначения для точек пересечения с осями: M1(a;0;0), M2(0;b;0) и M3(0;0;c). Составим уравнение плоскости, используя формулу (1):

.

Вычислив определитель, получим:

(x–a)bc+yac+zab=0.

Разделим обе части уравнения на abc:

.

И окончательно

. (2)

Это и есть уравнение плоскости “в отрезках”.

§7. Прямая в пространстве

I Общие уравнения прямой

Как уже говорилось ранее, в аналитической геометрии линию в пространстве понимают как пересечение двух поверхностей. В частности, прямую линию мы будем рассматривать как пересечение двух плоскостей. Поэтому, если в пространстве задананекоторая ДПСК,то уравнениями прямойслужит система двух уравнений первой степени:

(1)

Будем называть эти уравнения общими уравнениями прямой (конечно, предполагается, что прямые пересекаются).

Очевидно, существует бесчисленное множество пар плоскостей, пересекающихся по данной прямой, и соответственно этому существует бесчисленное множество общих уравнений (1) для данной прямой.

Общие уравнения удобны при решении задачи о пересечении прямой и плоскости или двух прямых, задачи о проектировании прямой на плоскость. В других задачах более удобными оказываются иные формы уравнений прямой.

Соседние файлы в папке Для студентов ЭКИ-1