IV Нормальное уравнение эллипса.

Исходя из определения 2, выберем ДПСК так, чтобы центр эллипса имел координаты (x₀,y₀), а его оси были параллельны координатным осям. В этой системе эллипс будет определяться уравнением

. (3)

К этому же уравнению приходим и исходя из определения 1 после параллельного переноса системы координат в точку (–x₀;–y₀).

Фокусы эллипса (3) лежат на прямой y=y₀, если a>b, и на прямой x=x₀ , если a<b.

V Параметрические уравнения эллипса (1):

Замечание. Окружность – это частный случай эллипса, когда a=b.

А эллипс можно понимать как деформированную окружность.

Типовые задачи. 1). Составить каноническое уравнение эллипса, зная некоторые из его элементов. 2). Общее уравнение эллипса, например x²+4y²+4x–8y–8=0, привести к нормальному виду и найти элементы эллипса. 3). Выяснить, какую линию определяет уравнение .

ЛЕКЦИЯ 10

§4. Гипербола

I Каноническое уравнение гиперболы

Определение 1. Гиперболой называется линия, которая в некоторой ДПСК имеет уравнение

(1)

где a и b – некоторые положительные числа.

Гипербола (как и эллипс) симметрична относительно обеих осей координат. В первой четверти уравнение (1) эквивалентно уравнению

. (2)

При гипербола (2) не существует,y(a)=0 и при стремлении x в ,у также стремится в . Чтобы выяснить характер этого стремления, рассмотрим прямуюи найдем расстояниеd(M,p), где M(x,y)– текущая точка гиперболы (2):

Умножая и деля полученное выражение на , получим

.

Теперь нетрудно заметить, что при, т.е. гипербола (2) приближается к прямойp. Эту прямую ( а с ней и прямую в

силу симметрии) называют асимптотой гиперболы.

II Определяющее свойство гиперболы

Обозначим и рассмотрим точкиF₁(–c;0) и F₂(c;0) (их называют фокусами гиперболы). Можно доказать (докажите!), что для любой точки M гиперболы (1) имеет место соотношение

.

Как и для эллипса, это свойство можно взять за определение и получить каноническое уравнение (1) в некоторой ДПСК.

Определение 2. Гипербола есть геометрическое место точек (плоскости), для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек (называемых фокусами гиперболы) есть величина постоянная

(меньшая расстояния между фокусами).

III Элементы гиперболы

Оси симметрии гиперболы называют, обычно, просто ее осями, а точку их пересечения – центром гиперболы. Для канонической гиперболы – это оси координат и начало координат. Точки пересечения гиперболы со своими осями – это вершины гиперболы. Гипербола (1) имеет две действительные вершины A₁(–a;0) и A₂(a;0) и две “мнимые” вершины B₁(0;–b) и B₂(0;b). Отрезок A₁A₂ и его длина 2а называется действительной осью гиперболы (1), а отрезок B₁B₂ и его длина 2b – мнимой осью (a и b – полуоси, действительная и мнимая). Прямоугольник со сторонами 2a и 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали этого прямоугольника – прямые – это асимптоты гиперболы.

Для любой точки M гиперболы

отрезки MF₁ и MF₂ и их длины

r₁ и r₂ называются фокальными

радиусами этой точки.

Гипербола состоит из двух частей,

которые называются ветвями.