- •Конспект лекций
- •§2. Основные операции над матрицами и их свойства
- •§3. Линейная зависимость и независимость вектор-столбцов
- •§4. Определители второго и третьего порядков
- •§5. Определитель порядка n
- •§6. Свойства определителей
- •§7. Обратная матрица
- •§1. Основные определения
- •§2. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений
- •§3. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •§4. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
- •§5. Теорема Кронекера-Капелли
- •I Понятие ранга матрицы.
- •II Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Раздел II Аналитическая геометрия.
- •§1. Действительные числа. Числовая ось
- •§2. Системы координат
- •I Система координат на прямой
- •II Декартова прямоугольная система координат на плоскости
- •III дпск в пространстве
- •IV Полярная система координат
- •§3. Векторы: основные определения
- •§4. Линейные операции над векторами
- •I Сложение векторов
- •II Умножение вектора на число
- •III Вычитание векторов
- •IV Основные свойства линейных операций
- •§5. Проекции вектора на оси. Направляющие косинусы
- •§6. Разложение вектора
- •I Частный случай
- •II Общий случай
- •§7. Скалярное произведение векторов
- •I Определение
- •II Механический смысл
- •II Свойства скалярного произведения
- •IV Выражение скалярного произведения через проекции
- •§8. Векторное произведение векторов
- •I Определение
- •II Механический смысл
- •III Свойства векторного произведения
- •IV Выражение векторного произведения через проекции
- •§9. Смешанное произведение трех векторов
- •I Правые и левые тройки векторов
- •II Определение смешанного произведения и его смысл
- •III Выражение смешанного произведения через проекции
- •IV Условие компланарности векторов
- •§1. Уравнение линии на плоскости
- •I Две задачи аналитической геометрии.
- •II Параметрическое задание линии
- •III о пересечении двух линий
- •IV Уравнение линии в различных системах координат
- •§2. Общее уравнение прямой на плоскости
- •§3. Уравнения прямой с угловым коэффициентом
- •§4. Взаимное расположение двух прямых
- •§5. Расстояние от точки до прямой на плоскости
- •§6. Другие формы уравнения прямой на плоскости
- •I Каноническое уравнение
- •II Уравнение прямой “в отрезках”.
- •III Параметрические уравнения прямой
- •IV Полярное уравнение прямой
- •§1. Уравнение поверхности и уравнения линии
- •I Поверхность
- •II Линия в пространстве
- •§2. Общее уравнение плоскости
- •§3. Неполные уравнения плоскости
- •§4. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§5. Расстояние от точки до плоскости
- •§6. Другие виды уравнения плоскости
- •I Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •II Уравнение плоскости “в отрезках”
- •§7. Прямая в пространстве
- •I Общие уравнения прямой
- •II Канонические уравнения прямой
- •III Параметрические уравнения прямой
- •§8. Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •§9. Взаимное расположение двух прямых в пространтве
- •§10. Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве
- •§1. Общее уравнение
- •§2. Окружность
- •§3. Эллипс
- •I Каноническое уравнение эллипса
- •II Определяющее свойство эллипса
- •III Элементы эллипса
- •IV Нормальное уравнение эллипса.
- •V Параметрические уравнения эллипса (1):
- •§4. Гипербола
- •I Каноническое уравнение гиперболы
- •II Определяющее свойство гиперболы
- •III Элементы гиперболы
- •IV Нормальное уравнение гиперболы
- •§5. Парабола
- •I Каноническое уравнение параболы
- •II Определяющее свойство параболы
- •III Элементы параболы
- •IV Нормальное уравнение параболы
- •§6. Касательные к кривым 2го порядка
- •I Определения
- •II Уравнения касательных
- •III Некоторые свойства касательных
- •Вопросы к модульному контролю – 1.1
- •Образец билета мк-1.1
- •Учебное издание конспект лекций
- •6.050102 “Программная инженерия”)
IV Полярное уравнение прямой
Если прямая проходит через полюс полярной системы координат и наклонена к полярной оси под углом φ0, то она определяется совокупностью уравнений
Рассмотрим теперь случай, когда прямая p не проходит через полюс. Пусть M0(ρ0;φ0) – основание перпендикуляра, опущенного из полюса на эту прямую. Возьмем текущую точку M(ρ;φ). В прямоугольном треугольнике
∆M0MO
угол
ρ p A φ0 O M M0
Это и есть полярное уравнение прямой.
Тема Плоскость и прямая в пространстве.
§1. Уравнение поверхности и уравнения линии
I Поверхность
Соотношение вида F(x,y,z)=0, где F(x,y,z) – выражение с переменными, называется уравнением с тремя переменными. Например, x+2y+3z–1=0, x2+y2–25=0, x–1=0.
Говорят, что три числа x=x0, y=y0, z=z0 удовлетворяют данному уравнению с тремя переменными, если при подстановке их в это уравнение вместо переменных оно становится верным числовым равенством.
Пусть теперь в пространстве задана некоторая поверхность и выбрана некоторая ДПСК. Тройку чисел (x,y,z) понимаем как координаты точки пространства.
Определение 1. Уравнением данной поверхности называют такое уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на ней.
Определение 2. Поверхность, определяемая данным уравнением вида F(x,y,z)=0, есть множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
С этими определениями связны две задачи аналитической геометрии в пространстве: 1) по словесному определению поверхности, по свойствам ее точек составить уравнение поверхности; 2) зная уравнения поверхности, выяснить свойства ее точек, изобразить поверхность.
Замечание. Задание поверхности уравнением F(x,y,z)=0 называется неявным. Если же это уравнение удается разрешить относительно одной из переменных и получить, например, z=f(x,y), то говорят о явном задании поверхности. Отметим, что существует и параметрический способ задания поверхности, но его мы будем рассматривать позже.
II Линия в пространстве
Линию в пространстве естественно рассматривать как пересечение двух поверхностей.
Именно, если F(x,y,z)=0 и Ф(x,y,z)=0 есть уравнения двух поверхностей, пересекающихся по некоторой линии L, то линия L есть множество общих точек этих поверхностей, т.е. множество точек, координаты которых удовлетворяют одновременно обоим уравнениям.
Таким образом, система двух уравнений
(1)
определяет линию L, т.е. является уравнениями этой линии.
Например, уравнения
двух плоскостей определяют прямую, проходящую через начало координат и точку P(1;1;2) (координаты точек О и Р удовлетворяют обоим уравнениям).
Однако, задание линии уравнениями (1) не всегда удобно. Возможен, и очень естественен с кинематической точки зрения, другой подход к понятию линии: линия – это траектория движения материальной точки. Этот подход приводит к параметрическим уравнениям линии, когда абсцисса, ордината и аппликата текущей точки линии выражаются функциями вспомогательной переменной – параметра t:
Например, параметрические уравнения
задают так называемую винтовую линию. Ее можно понимать как траекторию точки, движущейся равномерно по образующей кругового цилиндра, если сама образующая равномерно вращается вокруг оси цилиндра.