IV Полярная система координат

Рассмотренная выше ДПСК является наиболее употребительной. Однако, при решении некоторых задач могут оказаться более удобными и другие системы. Одной их таких СК на плоскости является так называемая полярная СК.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О (называемой полюсом), луча, исходящего их этой точки (называемого полярной осью) и единичного отрезка для измерения длин. Кроме того, необходимо указать, какие повороты вокруг точки О считаются положительными. Обычно считаются положительными повороты, совершаемые против часовой стрелки.

Пусть М – произвольная точка плоскости, на которой задана ПСК. Обозначим через ρ расстояние d(O,M) и через φ – угол, на который

нужно повернуть полярную ось для совмещения ее с лучом ОМ. Угол φ будем понимать так, как это принято в тригонометрии, т.е. с точностью до слагаемого вида ±2nπ.

Полярными координатами точки М называются ρ и φ. При этом число ρ называется полярным радиусом точки М, а число φ – полярным углом. Чтобы избежать неоднозначности будем рассматривать только так называемое главное значение угла φ, т.е. значение, удовлетворяющее соотношению –π<φ≤π или 0≤φ<2π. Тогда каждая точка плоскости характеризуется вполне определенной парой чисел (ρ,φ). Исключение составляет полюс: его полярный угол не имеет определенного значения (полярный радиус равен нулю).

Вслучаях, когда приходится одновременно пользоваться и декартовой и полярной системами, возникает необходимость в формулах перехода от одной к другой. В частном

случае, когда полюс ПСК совпадает

с началом координат ДПСК, полярная

ось совпадает с положительной полуосью

абсцисс, эти формулы имеют вид

Заметим, что последняя формула для определения значения φ требует знания, в какой четверти находится точка.

§3. Векторы: основные определения

Некоторые физические величины, такие как скорость, ускорение, сила, характеризуются не только числовым значением, но и направлением. Они называются векторными величинами. Математической моделью такой величины служит вектор.

Вектором называют направленный отрезок, т.е. отрезок, для которого указано, какая из ограничивающих его точек считается началом, а какая концом.

На чертежах векторы обозначаются в виде стрелки →. В тексте вектор записывается либо двумя большими буквами с общей чертой наверху (первая из них – это начало, а вторая – конец), либо одной малой буквой с чертой, либо малой буквой полужирного шрифтаa .

Длиной вектора или модулем называется длина отрезка изображающего вектор. Обозначение ,иногдаАВ.

Вектор, длина которого равна нулю (т.е. конец совпадает с началом) называется нулевым: . Направление нулевого вектора следует считать вполне неопределенным. (нулевой вектор можно считать перпендикулярным любому вектору и коллинеарным любому вектору).

Единичным вектором, или ортом, называют вектор, длина которого равна 1.

Векторы, лежащие на одной прямой, или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Обозначение : | |. Коллинеарные векторы, направленные в одну сторону, называются одинаково направленными, а направленные в противоположные стороны – противоположно-направленными. Обозначения: , .

Векторы иназывают равными и пишут , если: 1) (имеют равные длины); 2) (одинаково направлены).

Такое определение равенства векторов означает, что векторы рассматривают с точностью до их положения на плоскости, в пространстве, т.е. не различая векторов, получающихся друг из друга параллельным переносом. В этом смысле векторы называют свободными. Точка приложения вектора – его начало – может быть выбрана произвольным образом.

Три вектора называются компланарными, если лежат в одной плоскости, или в параллельных плоскостях. В противном случае они называются некомпланарными.

Нетрудно доказать такие утверждения:

1. Если | | , то ,,– компланарные (для любого).