- •Конспект лекций
- •§2. Основные операции над матрицами и их свойства
- •§3. Линейная зависимость и независимость вектор-столбцов
- •§4. Определители второго и третьего порядков
- •§5. Определитель порядка n
- •§6. Свойства определителей
- •§7. Обратная матрица
- •§1. Основные определения
- •§2. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений
- •§3. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •§4. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
- •§5. Теорема Кронекера-Капелли
- •I Понятие ранга матрицы.
- •II Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Раздел II Аналитическая геометрия.
- •§1. Действительные числа. Числовая ось
- •§2. Системы координат
- •I Система координат на прямой
- •II Декартова прямоугольная система координат на плоскости
- •III дпск в пространстве
- •IV Полярная система координат
- •§3. Векторы: основные определения
- •§4. Линейные операции над векторами
- •I Сложение векторов
- •II Умножение вектора на число
- •III Вычитание векторов
- •IV Основные свойства линейных операций
- •§5. Проекции вектора на оси. Направляющие косинусы
- •§6. Разложение вектора
- •I Частный случай
- •II Общий случай
- •§7. Скалярное произведение векторов
- •I Определение
- •II Механический смысл
- •II Свойства скалярного произведения
- •IV Выражение скалярного произведения через проекции
- •§8. Векторное произведение векторов
- •I Определение
- •II Механический смысл
- •III Свойства векторного произведения
- •IV Выражение векторного произведения через проекции
- •§9. Смешанное произведение трех векторов
- •I Правые и левые тройки векторов
- •II Определение смешанного произведения и его смысл
- •III Выражение смешанного произведения через проекции
- •IV Условие компланарности векторов
- •§1. Уравнение линии на плоскости
- •I Две задачи аналитической геометрии.
- •II Параметрическое задание линии
- •III о пересечении двух линий
- •IV Уравнение линии в различных системах координат
- •§2. Общее уравнение прямой на плоскости
- •§3. Уравнения прямой с угловым коэффициентом
- •§4. Взаимное расположение двух прямых
- •§5. Расстояние от точки до прямой на плоскости
- •§6. Другие формы уравнения прямой на плоскости
- •I Каноническое уравнение
- •II Уравнение прямой “в отрезках”.
- •III Параметрические уравнения прямой
- •IV Полярное уравнение прямой
- •§1. Уравнение поверхности и уравнения линии
- •I Поверхность
- •II Линия в пространстве
- •§2. Общее уравнение плоскости
- •§3. Неполные уравнения плоскости
- •§4. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§5. Расстояние от точки до плоскости
- •§6. Другие виды уравнения плоскости
- •I Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •II Уравнение плоскости “в отрезках”
- •§7. Прямая в пространстве
- •I Общие уравнения прямой
- •II Канонические уравнения прямой
- •III Параметрические уравнения прямой
- •§8. Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •§9. Взаимное расположение двух прямых в пространтве
- •§10. Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве
- •§1. Общее уравнение
- •§2. Окружность
- •§3. Эллипс
- •I Каноническое уравнение эллипса
- •II Определяющее свойство эллипса
- •III Элементы эллипса
- •IV Нормальное уравнение эллипса.
- •V Параметрические уравнения эллипса (1):
- •§4. Гипербола
- •I Каноническое уравнение гиперболы
- •II Определяющее свойство гиперболы
- •III Элементы гиперболы
- •IV Нормальное уравнение гиперболы
- •§5. Парабола
- •I Каноническое уравнение параболы
- •II Определяющее свойство параболы
- •III Элементы параболы
- •IV Нормальное уравнение параболы
- •§6. Касательные к кривым 2го порядка
- •I Определения
- •II Уравнения касательных
- •III Некоторые свойства касательных
- •Вопросы к модульному контролю – 1.1
- •Образец билета мк-1.1
- •Учебное издание конспект лекций
- •6.050102 “Программная инженерия”)
§6. Другие формы уравнения прямой на плоскости
В целях удобства решения стандартных задач в аналитической геометрии используются некоторые специальные формы записи уравнения прямой. Естественно, что все они могут быть получены путем алгебраических преобразований из общего уравнения (на то оно и общее!). Но мы будем выводить эти формы непосредственно, чтобы отчетливее выявлять их геометрический смысл.
I Каноническое уравнение
Определение. Всякий ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется ее направляющим вектором. Стандартное обозначение:
Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку M0(x0;y0) и имеющей данный направляющий вектор . Как обычно, берём текущую точку данной прямойM(x,y) и рассматриваем вектор Векторыиколлинеарны, следовательно, их проекции пропорциональны:
. (1)
Это и есть искомое уравнение. Его называют каноническим уравнением прямой.
Пример. Через точку M0(1;2) провести прямую q, перпендикулярную прямой p:3x–4y+7=0.
Решение. Нормальный вектор прямойp перпендикулярен ей, а значит, параллелен прямой q, т.е. он для прямой q является направляющим
.
Следовательно, уравнение прямой q имеет вид
или .
Замечание 1. Если прямая проходит через две данные точки M1(x1;y1) и M2(x2;y2), то вектор – ее направляющий вектор. ПоложивM0=M1 и применив каноническую форму (1), получим уже известную форму:
. (2)
II Уравнение прямой “в отрезках”.
Рассмотрим прямую, которая пересекает обе координатные оси, причем не проходит через начало координат (ее общее уравнение – полное). Пусть A(a;0) и B(0;b) – точки пересечения прямой с осями Ox и Oy соответственно. Применив к этой прямой формулу (2), после преобразования получим
. (3)
Это уравнение принято называть уравнением “в отрезках”.
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M0(8;6) и отсекающей от координатного угла треугольник с площадью равной 12 кв.ед.
Решение. Запишем уравнение искомой прямой в отрезках
.
Наша задача – найти значения параметров a и b. Т.к. , тои после упрощения получаем8b+6a=ab. Это одно из уравнений, связывающее неизвестные параметры. Из самого смысла параметров а и b уравнения “в отрезках” получим: площадь треугольника, образованного прямой p и осями координат, выражается формулой
или .
Согласно условию нашей задачи имеем
.
Это второе уравнение. Итак, требуется решить систему уравнений
Эта система равносильна следующей
которая имеет два решения a1= –8, b1=3 и a2=4, b2= –6. Подставляя эти значения в уравнение прямой “в отрезках” и упрощая, получим искомые уравнения прямых:
3x–8y+24=0 и 3x–2y–12=0.
III Параметрические уравнения прямой
Пусть прямая проходит через точку M0(x0;y0) и имеет направляющий вектор . Тогда для любой ее точкиM(x;y) вектор коллинеарен вектору. Это означает, что существует числоt такое, что . Записав это равенство в проекциях векторов, получим:x–x0=tl, y–y0=tm, или окончательно
(4)
Это и есть параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M0(x0;y0) в направлении вектора .
Замечание 2. Если на параметр t смотреть как на время, то уравнения (4) определяют прямолинейное и равномерное движение точки M(x;y) со скоростью в направлении вектора; точкаM0(x0;y0) – начальная (t=0) точка движения.
Пример. Составить уравнения движения точки M0(1;1), движущейся прямолинейно и равномерно в направлении вектора со скоростью. Установить, в какой момент времени она пересечет прямую
x–y+9=0.
Решение. Сравнивая модуль вектора , равный, с заданной скоростьюv=15, мы видим, что в качестве вектора надо взять, т.е.. Тогда искомые уравнения имеют вид:
(5)
В любой момент времени t координаты движущейся точки вычисляются по формулам (5), в частности, и в момент пересечения с прямой x–y+9=0. Но в этот момент они должны удовлетворять и уравнению этой прямой, т.е. момент пересечения есть решение уравнения (1+9t)–(1+12t)+9=0 или –3t+9=0. Отсюда t=3.