- •Конспект лекций
- •§2. Основные операции над матрицами и их свойства
- •§3. Линейная зависимость и независимость вектор-столбцов
- •§4. Определители второго и третьего порядков
- •§5. Определитель порядка n
- •§6. Свойства определителей
- •§7. Обратная матрица
- •§1. Основные определения
- •§2. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений
- •§3. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •§4. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
- •§5. Теорема Кронекера-Капелли
- •I Понятие ранга матрицы.
- •II Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Раздел II Аналитическая геометрия.
- •§1. Действительные числа. Числовая ось
- •§2. Системы координат
- •I Система координат на прямой
- •II Декартова прямоугольная система координат на плоскости
- •III дпск в пространстве
- •IV Полярная система координат
- •§3. Векторы: основные определения
- •§4. Линейные операции над векторами
- •I Сложение векторов
- •II Умножение вектора на число
- •III Вычитание векторов
- •IV Основные свойства линейных операций
- •§5. Проекции вектора на оси. Направляющие косинусы
- •§6. Разложение вектора
- •I Частный случай
- •II Общий случай
- •§7. Скалярное произведение векторов
- •I Определение
- •II Механический смысл
- •II Свойства скалярного произведения
- •IV Выражение скалярного произведения через проекции
- •§8. Векторное произведение векторов
- •I Определение
- •II Механический смысл
- •III Свойства векторного произведения
- •IV Выражение векторного произведения через проекции
- •§9. Смешанное произведение трех векторов
- •I Правые и левые тройки векторов
- •II Определение смешанного произведения и его смысл
- •III Выражение смешанного произведения через проекции
- •IV Условие компланарности векторов
- •§1. Уравнение линии на плоскости
- •I Две задачи аналитической геометрии.
- •II Параметрическое задание линии
- •III о пересечении двух линий
- •IV Уравнение линии в различных системах координат
- •§2. Общее уравнение прямой на плоскости
- •§3. Уравнения прямой с угловым коэффициентом
- •§4. Взаимное расположение двух прямых
- •§5. Расстояние от точки до прямой на плоскости
- •§6. Другие формы уравнения прямой на плоскости
- •I Каноническое уравнение
- •II Уравнение прямой “в отрезках”.
- •III Параметрические уравнения прямой
- •IV Полярное уравнение прямой
- •§1. Уравнение поверхности и уравнения линии
- •I Поверхность
- •II Линия в пространстве
- •§2. Общее уравнение плоскости
- •§3. Неполные уравнения плоскости
- •§4. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§5. Расстояние от точки до плоскости
- •§6. Другие виды уравнения плоскости
- •I Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •II Уравнение плоскости “в отрезках”
- •§7. Прямая в пространстве
- •I Общие уравнения прямой
- •II Канонические уравнения прямой
- •III Параметрические уравнения прямой
- •§8. Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •§9. Взаимное расположение двух прямых в пространтве
- •§10. Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве
- •§1. Общее уравнение
- •§2. Окружность
- •§3. Эллипс
- •I Каноническое уравнение эллипса
- •II Определяющее свойство эллипса
- •III Элементы эллипса
- •IV Нормальное уравнение эллипса.
- •V Параметрические уравнения эллипса (1):
- •§4. Гипербола
- •I Каноническое уравнение гиперболы
- •II Определяющее свойство гиперболы
- •III Элементы гиперболы
- •IV Нормальное уравнение гиперболы
- •§5. Парабола
- •I Каноническое уравнение параболы
- •II Определяющее свойство параболы
- •III Элементы параболы
- •IV Нормальное уравнение параболы
- •§6. Касательные к кривым 2го порядка
- •I Определения
- •II Уравнения касательных
- •III Некоторые свойства касательных
- •Вопросы к модульному контролю – 1.1
- •Образец билета мк-1.1
- •Учебное издание конспект лекций
- •6.050102 “Программная инженерия”)
III Элементы параболы
Ось симметрии – это просто ось параболы. Точка пересечения параболы со своей осью – это вершина параболы. Если M – точка параболы, то отрезок MF и его длина r называется фокальным радиусом точки M. Очевидно, что для параболы (1) . К элементам параболы относят также фокус и директрису.
Замечание 2. Параметр параболы p имеет еще один наглядный смысл. Проведем че- рез фокус прямую, перпендикулярную к оси параболы и пусть M и N –это точки пересечения прямой с параболой. Тогда
.
Таким образом, p характеризует “ширину” области, ограниченной параболой ( при
условии, что эта ширина измеряется перпендикулярно к оси на определенном расстоянии от вершины).
IV Нормальное уравнение параболы
Если вершина параболы имеет координаты (x0,y0), а ось параллельна оси Ox, то ее уравнение имеет вид:
.
Если же ось параллельна Oy, то
.
Типовые задачи. 1). Составить каноническое уравнение параболы, зная некоторые ее элементы. 2). От общего уравнения y2+8x–6y–7=0 перейти к нормальному и найти элементы параболы. 3). Исходя из определения 2, найти уравнение параболы, у которой фокус F(1;1), а уравнение директрисы x+y+2=0. (Заметим, что при решении этой задачи получим общее уравнение, в котором присутствует член, содержащий произведения переменных, из-за того, что ось параболы не параллельна ни одной из координатных осей).
§6. Касательные к кривым 2го порядка
I Определения
Касательную к окружности, эллипсу, гиперболе и параболе можно определить как прямую, имеющую с кривой одну общую точку, за исключением двух случаев: 1) прямая, параллельная асимптоте гиперболы, пересекает ее в одной точке, но не является касательной; 2) прямая, параллельная оси параболы, пересекает параболу в одной точке, но не является касательной.
Касательную к окружности можно определить и как прямую, проходящую через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку.
II Уравнения касательных
Методами математического анализа можно получить (нужно уметь!) уравнения касательных к линиям, заданными своими каноническими уравнениями. Пусть точка (x0 ,y0) лежит на линии. Тогда:
касательная к эллипсу имеет вид;
касательная к гиперболе имеет вид;
касательная к параболе y2=2px имеет вид y0y=p(x+x0).
Замечание. Окружность понимаем как частный случай эллипса.
III Некоторые свойства касательных
Фокусы эллипса расположены по одну сторону от любой его касательной, а фокусы гиперболы – по разные стороны.
Фокальные радиусы любой точки эллипса (гиперболы) образуют равные углы с касательной, проходящей через эту точку.
Произведение расстояний от фокусов эллипса (гиперболы) до любой касательной к линии есть величина постоянная.
Отрезок касательной к гиперболе, заключенный между ее асимптотами, делится пополам точкой касания.
Площадь треугольника, образованного касательной к гиперболе и ее асимптотами, есть величина постоянная.
Касательная к параболе в любой ее точке образует равные углы с фокальным радиусом этой точки и лучом, исходящим из нее и идущим параллельно оси параболы в ту сторону, куда парабола бесконечно простирается.
Касательные к эллипсу (гиперболе), проведенные в концах одного и того же диаметра, параллельны.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.– М.: «Наука», 1988.
2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.– СПб.:
«Профессия», 2002.
3. Привалов И.И. Аналитическая геометрия.– Киев: изд-во УСХА, 1991.
ПРИЛОЖЕНИЯ