§2. Общее уравнение плоскости

Будем считать, что в пространстве задана некоторая ДПСК.

Определение. Всякий ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости, называется ее нормальным вектором. Обозначение:

Теорема. В декартовых координатах всякая плоскость определяется уравнением первой степени, т.е. уравнением вида

Ax+By+Cz+D=0. (1)

И обратно: всякое уравнение вида (1) определяет в пространстве некоторую плоскость.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы об общем уравнении прямой на плоскости.

Уравнение (1) называют общим уравнением плоскости. Коэффициенты A,B,C – это проекции нормального вектора плоскости.

Уравнение вида

A(x–x₀)+B(y–y₀)+C(z–z₀)=0

является уравнением плоскости, проходящей через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и имеющей нормальный вектор

Пример. Составить уравнение плоскости α, проходящей через данную точку M₀(1;2;3) и перпендикулярной плоскостям β:x+2y–z=0 и γ:2x–y+3z+1=0.

Решение. Нормальные векторы иплоскостейβ и γ перпендикулярны своим плоскостям, а значит параллельны плоскости α, т.к. и. Но тогда векторное произведение, будучи перпендикулярным своим сомножителям, будет также перпендикулярным к плоскости, т.е. оно является нормальным вектором этой плоскости. Найдем его:

Вектор , коллинеарный, также будет нормальным вектором искомой плоскостиα. Теперь можем составить ее уравнение:

1(x–1)+(–1)(y–2)+(–1)(x–3)=0 или

x–y–z+4=0.

§3. Неполные уравнения плоскости

Рассмотрим сейчас некоторые частные случаи общего уравнения плоскости Ax+By+Cz+D=0, именно случаи, когда какие-либо из коэффициентов A,B,C,D обращаются в ноль.

1. D=0; плоскость Ax+By+Cz=0 проходит через начало координат.

2. A=0; плоскость By+Cz+D=0 параллельна оси Ox (поскольку ее нормальный вектор перпендикулярен осиOx).

3. B=0; плоскость Ax+Cz+D=0 параллельна оси Oy (ибо этой оси перпендикулярен ее нормальный вектор ).

4. С=0; плоскость Ax+By+D=0 параллельна оси Oz (по причине аналогичной в пунктах 2) и 3)).

5. A=0, B=0; плоскость Cz+D=0 параллельна координатной плоскости Oxy (в силу 2) и 3) она параллельна осям Ox и Oy).

6. A=0, C=0; плоскость By+D=0 параллельна координатной плоскости Oxz.

7. B=0, C=0; плоскость Ax+D=0 параллельна координатной плоскости Oyz.

8. B=0, D=0; плоскость Ах+Cz=0 проходит через ось ординат.

9. C=0, D=0; плоскость Ах+By=0 проходит через ось аппликат.

10. А=0, D=0; плоскость Ву+Сz=0, проходит через ось абсцисс.

1

0

2

z

y

3

0

z

y

x

1

x

x+2y–2=0 3x+z–3=0

1

3

2

1

x=1

0

3

y=3

y=0

z=0

0

z

z=2

2

y

x

0

z

y

x

z

y

x

z

y

x

6x+2y+3z–6=0

x=0

§4. Взаимное расположение двух плоскостей

Рассмотрим две плоскости

α₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0,

α₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.

Как и в случае прямых на плоскости, взаимное расположение плоскостей полностью определяется их нормальными векторами и.

Условие параллельности плоскостей:

, что означает

.

Условие перпендикулярности плоскостей:

что означает

.

Угол (острый) φ между плоскостями:

.