§2. Окружность

Определение. Окружность есть геометрическое место точек (плоскости), каждая из которых находится на расстоянии R (называется радиусом окружности) от фиксированной точки C (называемой центром).

Пусть система координат выбрана так, что центр окружности имеет координаты C(x₀,y₀); тогда окружность определится уравнением (нормальным):

(x–x₀)²+(y–y₀)²=R². (1)

Если же начало координат поместить в центр окружности, получим каноническое уравнение:

x²+y²=R². (2)

Уравнения (1) и (2) – это простые следствия формулы расстояния между двумя точками плоскости.

Часто встречаются уравнения т.н. смещенной окружности, центр которой лежит на одной из осей координат на расстоянии радиуса от начала координат. Например,

(x–R)²+y²=R² или x²+y²=2Rx. (3)

Параметрические уравнения окружности (2) имеют вид:

Полярные уравнения:

окружности (2) – ρ=R;

окружности (3) – ρ=2Rcosφ.

Типовые задачи. Дано общее уравнение окружности

2x²+2y²+8x–4y+3=0.

Требуется : 1) найти радиус и центр окружности; 2) установить, как расположены относительно окружности точка А(2;7) и прямая p: y=5x+7; 3) установить, как расположена относительно данной окружности другая окружность x²+y²=25; 4) через начало координат провести касательные к окружности.

§3. Эллипс

I Каноническое уравнение эллипса

Определение 1. Эллипсом называется линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение

(1)

где a и b – некоторые положительные числа.

Уравнение (1) не изменится, если заменить x на (–x). Это означает, что вместе с точкой (x₀,y₀) эллипсу принадлежит и точка (–x₀,y₀), т.е. эллипс (1) симметричен относительно оси Oy. Аналогично, можно сделать вывод и о симметрии относительно оси Ox. Поэтому достаточно рассмотреть линию (1) лишь в первой четверти, где явное уравнение эллипса (1) имеет вид:

. (2)

Функция (2) убывает от y(0)=b до y(a)=0, при x>a – не существует. Методами математического анализа можно показать, что линия (2) выпукла вверх и перпендикулярна осям координат в точках пересечения с ними.

II Определяющее свойство эллипса

Предположим, что a>b и обозначим . ТочкиF₁(–c;0) и F₂(c;0) называются фокусами эллипса (если b>a, то и фокусы лежат наOy на расстоянии с от начала координат). Докажем, что для любой точки эллипса сумма ее расстояний до фокусов равна 2а.

Пусть M(x,y) – произвольная точка эллипса (1). Тогда ,. Вычислим расстояние:

Так как с<a, то и , поэтому выражение под знаком модуля в формуле для r₁ положительно. Значит

.

Аналогично можно показать (покажите!), что

.

Легко увидеть, что r₁+r₂=2a.

Доказанное свойство можно взять за определение эллипса, после чего получить каноническое уравнение (1) при некотором выборе ДПСК.

Определение 2. Эллипс есть геометрическое место точек (плоскости), для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек (называемых

фокусами) есть величина постоянная (большая расстояния между фокусами).

III Элементы эллипса

Эллипс имеет две оси симметрии, которые называются осями эллипса. Точка пересечения осей – это центр эллипса. Точки пересечения эллипса со своими осями – это вершины эллипса. Отрезки осей между вершинами и их длины также называют осями: большая ось (на ней лежат фокусы) и малая ось. Половины этих осей называют полуосями (большая и малая). Кроме того, для любой точки M эллипса отрезки MF₁ и MF₂ и их длины r₁ и r₂ называют фокальными радиусами этой точки (формулы для фокальных радиусов см. пункт II).

Пример. Найти элементы эллипса .

Полуоси:– большая,

– малая.

Вершины: A₁(–5;0), A₂(5;0), B₁(0;–3), B₂(0;3).

Расстояние между фокусами: .

Фокусы: F₁(–4;0), F₂(4;0).